初中数学竞赛专项训练05：方程的应用.doc

初中数学竞赛专项训练05：方程的应用 2011 菁优网一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为（）A、3：5B、4：3C、4：5D、3：4考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用。专题：行程问题。分析：设两人的速度为未知数，根据“甲在乙到达A之后35分钟到达B”，得到等量关系：甲用的时间乙用的时间=，列出方程，求得甲乙的速度之比即可解答：解：设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为v1千米，到B的路程为v2千米，从而有方程：，化简得，解得=或=（不合题意舍去）故选D点评：根据时间找到相应的等量关系是解决问题的关键；难点是把方程整理为所求未知数的一元二次方程求解2、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件如果获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A、5B、7C、9D、10考点：二次函数的应用。专题：应用题。分析：第k档次产品比最低档次产品提高了（k1）个档次，则数量在60的基础上将减少3（k1）；利润在8的基础上将增加2（k1），据此可求出总利润关系式，求最值即可解答：解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k1）个档次，所以每天利润为y=603（k1）8+2（k1）=6（k9）2+864所以，生产第九档次产品获利润最大，每天获利864元故选C点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题3、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%（利润=），若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）A、25%B、20%C、16%D、12.5%考点：二元一次方程组的应用。分析：可以设进价和提价的利润为未知数，根据利润计算公式及提价后获得的利润可以得到两个方程，解方程组即可解答：解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为x%，则，解这个方程组，得x=16，即提价后的利润率为16%故选C点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键4、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（ca）天后，剩下工作由乙单独完成还需b天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（）天A、B、C、D、考点：一元一次方程的应用。专题：工程问题。分析：等量关系为：（甲的工作效率+乙的工作效率）甲乙合作的天数=总工作量1，把相关数值代入计算即可解答：解：设甲乙合作用x天完成则乙的工作效率为：（1甲工作c天的工作量）乙的工作天数，由题意：，（+）x=1，x=1，解得故选B点评：考查一元一次方程的应用；得到乙的工作效率是解决本题的突破点；得到甲乙合作的工作量的等量关系是解决本题的关键5、A，B，C三个足球队举行循环比赛，下表给出部分比赛结果：则：A，B两队比赛时，A队与B队进球数之比为（）A、2：0B、3：1C、2：1D、0：2考点：推理与论证。专题：图表型。分析：本题需先根据图表得出A与B比赛时，可以看出A胜了2场的时候，B就胜了0场，由此可以得出A与B的比是多少，即可求出答案解答：解：A与B比赛时，A胜2场，B胜0场，A与B的比为2：0故选A点评：本题主要考查推理与论证，在解题时要结合图表，找出之间的关系是解题的关键6、甲乙两辆汽车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a千米（0a50）现将甲车起跑处从原点后移a千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是（）A、甲先到达终点B、乙先到达终点C、甲乙同时到达终点D、确定谁先到与a值无关考点：分式方程的应用。分析：甲乙两辆汽车行驶的时间相同，路程不同，运用路程的比值相同，可以列出方程解答即可解决解答：解：设从起点到终点S千米，当甲行驶s千米时，乙行驶（sa）千米；当甲走（s+a）千米时，设乙走x千米，根据题意列方程得，s：（sa）=（s+a）：x，x=s，a20，s0，0，ss，即甲走（s+a）千米时，乙走千米，乙没有到达终点甲先到故选A点评：此题主要考查路程速度，时间三者之间的关系；二人速度不变，时间相同，所行驶的路程对应的比是相等的7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时，逆流航行这段路程需b小时，那么一木块顺水漂流这段路需（）小时A、B、C、D、考点：列代数式（分式）。专题：行程问题。分析：把甲乙两个码头之间的距离看作1，可求得小船顺水的速度及逆水的速度，让两个代数式相减后除以2即为漂流的速度，为1除以漂流的速度即为所求的时间解答：解：设甲乙两个码头之间的距离为1，小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时，逆流航行这段路程需b小时，小船顺水的速度为，逆水的速度为，漂流的速度为（）2=，漂流的时间为1=，故选B点评：考查列代数式；得到漂流的速度是解决本题的突破点；用到的知识点为：漂流的速度=（顺水速度逆水速度）28、A的年龄比B与C的年龄和大16，A的年龄的平方比B与C的年龄和的平方大1632，那么A，B，C的年龄之和是（）A、210B、201C、102D、120考点：平方差公式。分析：设A、B、C各人的年龄为A、B、C，根据题目的两个条件列出两个方程，运用平方差公式因式分解，整体代入即可解答：解：设A、B、C各人的年龄为A、B、C，则A=B+C+16 A2=（B+C）2+1632 由可得（A+B+C）（ABC）=1632 ，由得ABC=16 ，代入可求得A+B+C=102故选C点评：本题考查了平方差公式在实际中的运用，三个未知数，两个方程一般不能求出未知数的值，需要根据公式灵活变形，整体代入二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的，然而实际情况并不理想，甲厂仅有的产品，乙厂仅有的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为2：1考点：分式方程的应用。专题：计算题。分析：设两厂的年产量为两个未知数，等量关系为：原计划销往济南的总产量：实际销往济南的总产量=：，把相关数值代入可得两个未知数的关系，相比即可求得年产量之比解答：解：设甲厂该产品的年产量为x，乙厂该产品的年产量为y则：，解得x=2y，x：y=2：1，故答案为：2：1点评：考查分式方程的应用，得到原计划的总产量与实际总产量的关系式的解决本题的关键；得到两个厂年产量的关系式是解决本题的突破点10、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元则租用该公司客车最少需用租金3520元考点：一元一次不等式的应用。分析：若只租甲种客车需要36040=9辆若只租乙种客车需要8辆，但有一辆不能坐满只租甲种客车正好坐满，这种方式一定最贵因而两种客车用共租8辆两种客车的载客量大于360，根据这个不等关系，就可以求出两种客车各自的数量，进而求出租金解答：解：若只租甲种客车需要36040=9辆若只租乙种客车需要8辆，因而两种客车用共租8辆设甲车有x辆，乙车有8x辆，则40x+50（8x）360解得：x4整数解为1、2、3、4汽车的租金W=400x+480（8x）即W=80x+3840W的值随x的增大而减小，因而当x=4是，W最小故取x=4，W的最小值是3520元点评：本题是一次函数与不等式相结合的问题，能够通过条件得到两种客车共租8辆，是解决本题的关键11、时钟在四点与五点之间，在4点分或4点分时刻（时针与分针）在同一条直线上？考点：一元一次方程的应用；钟面角。专题：整体思想。分析：时钟在四点与五点之间时，时针与分针在同一条直线上，可知时针与分针可以重合或者成180角从而可以设四点过x分后，两针在同一直线上，从而列出方程求解解答：解：设四点过x分后，两针在同一直线上，若两针重合，则，求得分，若两针成180度角，则，求得分所以在4点分或4点分时，两针在同一直线上故填：4点分或4点分点评：解题关键是要读懂题目的意思，了解钟面角，根据题目给出的条件，列出方程，再求解12、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按20.3%的利率获得了利润（精确到一位小数）考点：有理数的混合运算。专题：经济问题。分析：现在卖出的价格为1+60%，而考虑到三年来物价的总涨幅为40%可以知道房子的目前市值，即为95%（1+40%），二者的比值再减去1即为所求的利润的利率解答：解：钱先生购房开支为标价的95%，考虑到物价上涨因素，钱先生转让房子的利率为故答案为20.3点评：本体以经济问题考查了有理数的混合运算，关键是列出式子13、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇11次考点：一元一次方程的应用。分析：以游泳时间为x轴，离乙的出发地的距离为y轴，建立坐标系，画出甲乙运动的折线图，通过折线图得到在12分钟内二人相遇次数解答：解：如图，以游泳时间为x轴，离甲的出发地的距离为y轴，建立坐标系，可以看出，图中折线实线表示乙，虚线表示甲，观察得到，甲乙共有11次相交，即在12分钟内二人相遇11次故答案为：11点评：本题考查了一元一次方程的运用关键是通过画折线图，得出两人相遇的次数14、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是30岁、15岁、22岁考点：三元一次方程组的应用。专题：年龄问题。分析：首先假设甲、乙、丙的年龄分别为x岁、y岁、z岁，根据题意列出方程组，根据质数的各位数字之和为13，判定这个质数进而确定出x、y、z的值解答：解：设甲、乙、丙的年龄分别为x岁、y岁、z岁，则，显然x+y+z是两位数，而13=4+9=5+8=6+7，x+y+z只能等于67 ，由三式构成的方程组，得x=30，y=15，z=22故答案为：30岁、15岁、22岁点评：本题通过建立三元一次方程组，求得甲、乙、丙三人的年龄关系，再根据质数的特点确定出这三个年龄和的数值三、解答题（共4小题，满分0分）15、某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？考点：分式方程的应用；三元一次方程组的应用。专题：工程问题。分析：应先根据工作量的等量关系求得三队单独完成这项工程需要的天数，进而根据费用求得三队一天的工作报酬，最后算得总费用，比较即可解答：解：设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成则，解得再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，则，解得于是，由甲队单独承包，费用是455004=182000（元）由乙队单独承包，费用是295006=177000（元）而丙队不能在一周内完成所以由乙队承包费用最少点评：本题考查了分式方程和三元一次方程组的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键；用到的知识点为：工作费用=工作时间日工资16、甲、乙两汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所订的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量？最少是多少辆？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：假设甲、乙最后所购得的汽车总数为x辆，在生产厂最后少供的6辆车中，甲少要了y辆（0y6），则乙少要了（6y）辆根据甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，列出关系式，化简x=18+12y根据一次函数的性质与y的取值范围，判断x的最大、最小值，即为所求值解答：解：设甲、乙最后所购得的汽车总数为x辆，在生产厂最后少供的6辆车中，甲少要了y辆（0y6），乙少要了（6y）辆则有，整理后得x=18+12y当y=6时，x最大为90；当y=0时，x最小为18答：甲、乙购得的汽车总数至多为90辆，至少为18辆点评：本题考查二元一次方程的应用解决本题的关键是以甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，做为入手点，列方程关系式；再根据隐含条件0y6，判断x的取值17、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）其中一辆小气车在距火车站10km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小气车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h人步行的平均速度是5km/h试设计一种方案，通过计算说明这8人能够在停止检票前赶到火车站考点：一元一次方程的应用。专题：应用题。分析：当汽车出现故障时，乘这辆车的4人下车步行，另一辆车将自己车内的4人送到车站再回来接步行的4人再送至火车站，此时可以设出现故障后乘这辆车的4人下车步行的距离为x，根据人走的时间和车返回时接的时间相同，可列出方程，得解后即可得出现故障后先步行的4人到达车站总共的用时，如果不超28分钟则方案可行此题还可有其他方案，只要满足出现故障后先步行的4人到达车站总共的用时，如果不超28分钟则方案可行解答：解：当汽车出现故障时，乘这辆车的4人下车步行，另一辆车将自己车内的4人送到车站再回来接步行的4人再送至火车站；设出现故障后乘这辆车的4人下车步行的距离为x，根据题意得：=，解得x=，则步行的4人到达车站的用时为：5+（10）60=（小时）=26（分钟）；26分钟28分钟，此方案可行此题还可有其他方案，只要满足出现故障后先步行的4人到达车站总共的用时，不超28分钟则方案可行点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设计合适的方案，根据等量关系列出方程，再求解判断方案是否可行18、某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发到县城，由于汽车在赴校途中发生了故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分仍未见汽车来接，就步行走向县城，在行进途中遇到了已修理好的汽车，立即上车赶赴