弹性力学(徐芝纶)前四章习题答案.pdf

1 弹性力学课后习题答案全解弹性力学课后习题答案全解 一二三四一二三四 第二章第二章 1 答 1 平衡微分方程为 0 0 yx x x yxy y f xy f yx xy q 时 0 y x xy 又0 x yy x 所以0 yxxy yx 且体力不计 即0 xy ff 所以能满足平衡微分方程 2 相容方程为 22 22 1 y x xy f f xyxy 方程左右两端均为 0 所以满足相容方程 3 边界条件为 xsyxsx ysxysy lmf mlf 其中 cos coslm c o s c o s xy fqfq 又0 xyyx 所以满足边 界条件 4 位移单值条件为 令应力分量表达式中可能留有的待定函数或待定常数通过积分产生 的多值项为 0 2 2 解解 图 a 图 b 图 c 1 在图 b 中 我们由剪力平衡方程和弯矩平衡方程得到 F Y X F Y X Y Z 1 h 2 0FQ 即QF 0MFx 即MFx 在图 a 中 有 惯距 23 2 2 1 12 h hz Iy dyh 静距 22 22 82 hh z yy hy SydAydy 再由材料力学公式得到 x MFx yy II 0 y 2 2 124 xy QSFSFh y IbII 由上面三式我们可以得到 x F y xI 1 0 y y 2 xy F y yI 3 0 xy x 4 体力不计 即 0 x f 5 0 y f 6 将 1 6 式带入平衡微分方程 0 xy x x f xy 0 yxy y f yx 显然满足平衡微分方程 根据 1 3 式 得 3 2 2 0 x x 7 2 2 0 y y 8 将 7 8 式代入相容方程 体力不计 2 0 xy 显然也满足相容方程 2 边界条件 在 1 2 yh 面上 1 0X 1 0Y 0 y 0 yx 1 0l 1 1m 代入边界条件 111xxy lmX 111yxy mlY 满足边界条件 在 1 2 yh 面上 2 0X 2 0Y 0 y 0 yx 2 0l 2 1m 代入边界条件 222xxy lmX 222yxy mlY 满足边界条件 在0 x 面上 2 0 2 0 h hxx dy 2 0 2 0 h hxx ydy 2 2 22 0 22 24 hh hhxyx hP dyydyP I 由圣维南原理 在0 x 面上 作用着平衡力系 所以只在平衡力系得近处产生显 著应力 对远处影响忽略不计 3 3 解 解 平衡微分方程组为 4 0 0 yx x x yxy y f xy f yx 其中 xy VV ff xy 取该方程组的一组特解 0 xyxy VV 齐次方程组 0 0 yx x yxy xy yx 的通解为 2 2 2 2 2 x y xy y x x y 所以微分平衡方程组的解为 2 2 2 2 2 x y xy V y V x x y 即应力分量可以用应力函数表示为 2 2 2 2 2 x y xy V y V x x y 下面推导相应的相容方程 1 平面应力的情况下的相容方程为 22 22 1 y x xy f f xyxy 5 将微分方程组的解代入上式得 42 1 V 2 平面应变的情况下的相容方程为 22 22 1 1 y x xy f f xyxy 将微分方程组的解代入上式得 42 1 2 1 V 4 4 证明 证明 由于任一斜面上的正应力可以表示为 2 122 N l 其中l表示斜面外法线方向与 x 轴方向夹角的余弦 1 2 表示该点的两个主应力 当切应力最大或最小时 有 1 2 l 所以 2 1 2 l 有 12 2 N 即在发生最大与最小切应力的面上 正应力的数值都等于两个主应力的 平均值 第三章第三章 1 解 由题意可知 简支梁所受体力为Fg 所以0 xy ffg 应力函数为 2 32325432 2106 xAB AyByCyDx EyFyGyyyHyKy 从而得应力分量 22 32 2 2 32 2 22 62 62 2262 2 32 32 xx yy xy x f xAyBxEyFAyByHyK y f yAyByCyDgy x xAyByCEyFyG a 考虑对称性 xy 为x的偶函数 xy 为x的奇函数 于是得 0EFG 下面考虑上下两边的边界条件 22 0 0 yhxyh yy 代入 a 得 32 0 8422 hhhh ABCDg 6 32 0 8422 hhhh ABCDg 2 3 0 4 h xAhBC 即 2 3 0 4 h AhBC 2 3 0 4 h xAhBC 即 2 3 0 4 h AhBC 以上四式联立得 2 23 0 22 ggg ABCD hh 代入 a 并注意0EFG 得 23 22 3 2 2 2 64 62 23 22 6 2 x y xy gg x yyHyK hh ggg yygy hh gg xyx h b 现在考虑左右两个边的边界条件 由于对称性 只需考虑一边 例如右边 也就是 xl 用多项式求解 只能要求 x 在这部分边界上合成为平衡力系 也就是要求 2 2 0 h hxx ldy 2 2 0 h hxx lydy 代入 b 得 2 2 0 10 glg KH h 因为梁截面的宽度是 b 1 惯距是 3 1 12 Ih 静距是 22 82 hy S 而梁的任一截面上 的弯矩和剪力分别是 222 22 qq Mql lxlxlx S Fqlq lxqx 将所求系数代入应力分量表达式得 7 2 2 2 2 43 5 4 1 2 x y My ygy Ih gyy h 2 2 解 解 假设0 x 因为 2 2 x y 所以 12 yf xfx 相容方程为 444 4224 0 xxyy 将应力函数的表达式代入相容方程得 44 12 44 0 d fxd fx y dxdx 上式是一个一元一次方程 对于任意的 y 都成立 因此系数都为零 则有 4 1 4 0 d fx dx 和 4 2 4 0 d fx dx 从而解得 1 fx 32 AxBxCx 2 fx 32 DxEx 1 fx中的常数项以及 2 fx中的一次项和常数项都不影响应力分量 所以被略去 于是有 3232 y AxBxCxExFx 根据条件可知 0 xy ffg 所以应力分量为 2 2 2 2 2 2 0 6262 32 x yy xy y f yAxyByExFgy x AxBxC x y 根据边界条件 00 0 0 xyx hxyxyy q 求得系数 2 0 qq ABCEF hh 所以 8 0 23 1 3 2 x y xy qyx gy hh qxx hh 3 3 解 解 假设 y xf y 由题意知体力分量 0 xy fg f 又 2 2 yy f y x 所以 2 2 xf y x 得 3 12 6 x f yxf yfy 相容方程为 4 0 将应力函数的表达式代入相容方程得 44342 12 4244 2 0 6 d f yd fyx d f yd f y x dydydydy 对于任意的x都成立 必须 4 4 42 1 24 4 2 4 0 20 0 d f y dy d f yd f y dydy d fy dy 32 5432 1 32 2 106 f yAyByCyD AB f yyyHyKyGy fyEyFy 从而可得应力函数 3 32543232 6106 xAB AyByCyDxyyHyKyGyEyFy 故应力分量为 4 2 332 2 2 32 2 22 232 2262 62 3 2 32 32 223 xx yy xy B f xxAyxAyByHyKEyFgx y f yx AxBxCxD x xAB AyByCyyHyKyG x y 9 根据应力边界条件 222 1 0 0 bbb yyxyyyy gx 可解得 111 3 23 0 0 22 ggg ABCDK hh 在次要边界0 x 上 应用圣维南原理 可列出三个边界积分方程 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 b b b b b b xx xx xyx dy ydy dy 解得 11 0 1080 ggh EFHG h 代入应力分量表达式得 33 111 33 3 1 3 23 2 11 33 234 5 31 222 33 3 41080 x y xy ggg x yxyxygx hhh yy gx hh yyyh gxgy hhhhy 4 4 解 解 假设应力函数为 3223 AxBx yCxyDy 体力分量0 xy ffg 然后由应力分量表达式得 2 2 26 Xx f xCxDy y 2 2 62 yy f yAxBygy x 2 22 xy BxCy x y 显然这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的 由边界条件得 在上面 0y 0 0 yy 即 60Ax 对任意x都满足 所以0A 0 0 xyy 即 20Bx 对任意x都满足 所以 0B 在左面 tanyx c o s c o s 9 0 s i n o lNx 10 cos cosmN y 由边界条件得 s i nc o s0 xx y cossin0 yxy 得到 cot 2 g C 2 cot 3 g D 所以应力分量表达式为 2 cot2cot x gxgy y gy cot xy gy 1 解 由图知 cossin sincos cossin sincos uuv uuv uuu vuu 2 解 由于 2 2 12ln 2 32ln 2 A BC A BC 1 由题意知 u u u v x y 11 0 a b q 2 由位移单值条件知 0B 将 2 式代入 1 式得 22 22 2 22 2 a b q A ab a q C ab 1 2 1 2 cossin A uCpIK E 3 由 sincos0uHIK 得 0IK 由以上各式得 222 22 2 22 2 1 1 1 2 1 1 a b qaba u Eba qaab u Eba qaba Eba 3 解 2 2 A C 1 2 1 2 A uC E 由题意知 0 ab qu 可得 22 22 2 22 1 2 1 2 2 1 2 qa b A ba qa C ba 12 又 2 2 2 2 A C A C 得 22 22 22 22 1 21 1 21 1 21 1 21 b q ab b q ab 4 解 对于纯剪切应力状态 在其45方向上 有 0 xyxy qq 以b为半径作圆 ba 利用应力分量坐标转换式可得外边界条件 22 cossincos2 2 sincossin2 b b qqq qq 其内边界条件为 00 aa 由齐尔西解答得 22 4 4 22 22 22 1 3 cos 1 1 3 cos2 1 1 3 i 2 2 s n aa q aa q a q a 时 0 4 cos2 0 q 所以孔边的最大和最小正应力为44qq 和 13 5 解 楔形体内任意一点的各应力分量决定于q 根据量纲分析 各应力 分量的表达式只可能取Nq的形式 可见 应力函数 应该是 2 f 的形式 将上式代入相容方程得 42 242 1 4 d fd f dd 再由各应力分量表达式得 2 cos22 sin222 2 cos22 sin222 2 sin22 cos2 ABCD ABCD ABC 边界条件 2 2 0 q 由于载荷的作用是对称的 所以 和应为 的偶函数 应为 的奇函数 得 0BC 再由边界条件得 2sin2tan qq AD 将所得系数代入各应力分量表达式得 cos2 cot sin cos2 cot sin sin2 sin q q q 6 解 楔形体内任意一点的应力分量决定于 F 由量纲可知 各应力 分量表达式只可能取 F N 的形式 因此可假定应力函数为 f 将应力函数代入相容方程得 42 342 1 20 d fd f f dd 求解得 cossin cossin ABCD 14 取 cossin CD 由应力分量的表达式得 2 22 2 2 112 cossin 0 1 0 DC 上式显然满足楔形体上下两边的边界条件 还应满足 00 xy FF 和 其中 2 2 2 2 cos sin x y Fd FdF 将所求应力分量表达式代入上式求得 0 sin F CD 将所求系数代入应力分量表达式得 2 2 2sin sin 0 1 0 F 通过坐标变换公式及 22 sin y xy 得 2 22 2 2 22 2 2 sin 2 sin x xy Fx y xy Fxy xy 7 解 假设sin 与成正比 cos 与成正比 可设应力函数为 sin f 15 将应力函数代入相容方程得 423 422343 3 3 32 0 d fd fdfd f f dddd 解得 3 ln D fABC 所以 3 sin ln D ABC 由边界条件 0 0 0 0 ab b aa F 得 2222 3 2222 2222 3 2222 2222 3 2222 sin ln 3 sin ln cos ln aba b F b abab a aba b F b abab a aba b F b abab a 8 解 设应力函数为 lncossinAB 应力分量表达式为 2 22 2 2 11cos 2 cos 1sin AB A A 由圆板的平衡条件 16