2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线课件理北师大版20180510465.ppt

9 6抛物线 第九章平面解析几何 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l l不过F 的距离的点的集合叫作抛物线 点F叫作抛物线的 直线l叫作抛物线的 知识梳理 相等 焦点 准线 2 抛物线的标准方程与简单性质 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 AB为抛物线y2 2px p 0 的过焦点的弦 若A x1 y1 B x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 AB x1 x2 p 5 若直线与抛物线只有一个交点 则直线与抛物线一定相切 6 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径 那么抛物线x2 2ay a 0 的通径长为2a 1 2 3 4 5 6 解析抛物线y2 4x的焦点为F 1 0 准线方程为x 1 根据题意可得 PQ PF QF x1 1 x2 1 x1 x2 2 8 题组二教材改编 答案 解析 2 过抛物线y2 4x的焦点的直线l交抛物线于P x1 y1 Q x2 y2 两点 如果x1 x2 6 则 PQ 等于A 9B 8C 7D 6 1 2 3 4 5 6 3 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点P 2 4 则该抛物线的标准方程为 解析 答案 解析设抛物线方程为y2 2px p 0 或x2 2py p 0 将P 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y 1 2 3 4 5 6 y2 8x或x2 y 题组三易错自纠4 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是4 则点P到该抛物线焦点的距离是A 4B 6C 8D 12 答案 解析如图所示 抛物线的准线l的方程为x 2 F是抛物线的焦点 过点P作PA y轴 垂足是A 延长PA交直线l于点B 则 AB 2 由于点P到y轴的距离为4 则点P到准线l的距离 PB 4 2 6 所以点P到焦点的距离 PF PB 6 故选B 解析 1 2 3 4 5 6 解析 答案 5 已知抛物线C与双曲线x2 y2 1有相同的焦点 且顶点在原点 则抛物线C的方程是 1 2 3 4 5 6 6 设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点Q 若过点Q的直线l与抛物线有公共点 则直线l的斜率的取值范围是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 1 1 解析Q 2 0 当直线l的斜率不存在时 不满足题意 故设直线l的方程为y k x 2 代入抛物线方程 消去y整理得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 由 4k2 8 2 4k2 4k2 64 1 k2 0 解得 1 k 1 题型分类深度剖析 典例设P是抛物线y2 4x上的一个动点 若B 3 2 则 PB PF 的最小值为 题型一抛物线的定义及应用 师生共研 解析 答案 4 解析如图 过点B作BQ垂直准线于点Q 交抛物线于点P1 则 P1Q P1F 则有 PB PF P1B P1Q BQ 4 即 PB PF 的最小值为4 1 若将本例中的B点坐标改为 3 4 试求 PB PF 的最小值 解答 解由题意可知点B 3 4 在抛物线的外部 PB PF 的最小值即为B F两点间的距离 F 1 0 2 若将本例中的条件改为 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 5 0 在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1 到直线l的距离为d2 求d1 d2的最小值 解答 解由题意知 抛物线的焦点为F 1 0 点P到y轴的距离d1 PF 1 所以d1 d2 d2 PF 1 易知d2 PF 的最小值为点F到直线l的距离 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径 跟踪训练设P是抛物线y2 4x上的一个动点 则点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值为 解析 答案 解析如图 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知点P到直线x 1的距离等于点P到F的距离 于是 问题转化为在抛物线上求一点P 使点P到点A 1 1 的距离与点P到F 1 0 的距离之和最小 显然 连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点 命题点1求抛物线的标准方程典例 2017 深圳模拟 如图所示 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线交抛物线于点A B 交其准线l于点C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则此抛物线的方程为 解析 题型二抛物线的标准方程和简单性质 多维探究 答案 解析分别过点A B作AA1 l BB1 l 且垂足分别为A1 B1 由已知条件 BC 2 BF 得 BC 2 BB1 所以 BCB1 30 又 AA1 AF 3 所以 AC 2 AA1 6 所以 CF AC AF 6 3 3 所以F为线段AC的中点 故抛物线的方程为y2 3x 命题点2抛物线的简单性质典例已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F A x1 y1 B x2 y2 是过F的直线与抛物线的两个交点 求证 证明 所以直线与抛物线必有两交点 则y1 y2是方程 的两个实数根 所以y1y2 p2 证明 3 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 证明 证明设AB的中点为M x0 y0 如图所示 分别过A B作准线l的垂线 垂足为C D 过M作准线l的垂线 垂足为N 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 2 在解决与抛物线的性质有关的问题时 要注意利用几何图形的形象 直观的特点来解题 特别是涉及焦点 顶点 准线的问题更是如此 解析 答案 p 0 p 2 故选D 解析 答案 解析设A x1 y1 B x2 y2 分别过点A B作直线x 2的垂线 垂足分别为点D E 命题点1直线与抛物线的交点问题典例已知抛物线C y2 8x与点M 2 2 过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A B两点 若则k 解析 题型三直线与抛物线的综合问题 多维探究 答案 2 解析抛物线C的焦点为F 2 0 则直线方程为y k x 2 与抛物线方程联立 消去y化简得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 则抛物线C与直线必有两个交点 设点A x1 y1 B x2 y2 x1 2 x2 2 y1 2 y2 2 x1x2 2 x1 x2 y1y2 2 y1 y2 8 0 将上面各个量代入 化简得k2 4k 4 0 所以k 2 命题点2与抛物线弦的中点有关的问题典例 2016 全国 已知抛物线C y2 2x的焦点为F 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交C于A B两点 交C的准线于P Q两点 1 若F在线段AB上 R是PQ的中点 证明 AR FQ 证明 记过A B两点的直线为l 则l的方程为2x a b y ab 0 由于F在线段AB上 故1 ab 0 记AR的斜率为k1 FQ的斜率为k2 所以AR FQ 2 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍 求AB中点的轨迹方程 解答 解设过AB的直线为l 设l与x轴的交点为D x1 0 所以x1 1 x1 0 舍去 设满足条件的AB的中点为E x y 当AB与x轴不垂直时 当AB与x轴垂直时 E与D重合 此时E点坐标为 1 0 满足方程y2 x 1 所以所求轨迹方程为y2 x 1 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 设焦点在x轴的正半轴上 可直接使用公式 AB x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 跟踪训练 2018届武汉调研 已知抛物线C x2 2py p 0 和定点M 0 1 设过点M的动直线交抛物线C于A B两点 抛物线C在A B处的切线交点为N 1 若N在以AB为直径的圆上 求p的值 解可设AB y kx 1 A x1 y1 B x2 y2 将AB的方程代入抛物线C 得x2 2pkx 2p 0 显然方程有两不等实根 则x1 x2 2pk x1x2 2p 解答 2 若 ABN面积的最小值为4 求抛物线C的方程 解答 故抛物线C的方程为x2 4y 典例 12分 已知抛物线C y mx2 m 0 焦点为F 直线2x y 2 0交抛物线C于A B两点 P是线段AB的中点 过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q 1 求抛物线C的焦点坐标 2 若抛物线C上有一点R xR 2 到焦点F的距离为3 求此时m的值 3 是否存在实数m 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 直线与圆锥曲线问题的求解策略 答题模板 规范解答 答题模板 思维点拨 规范解答 消去y得mx2 2x 2 0 依题意 有 2 2 4 m 2 0 存在实数m 2 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 12分 答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步 联立方程 得关于x或y的一元二次方程 第二步 写出根与系数的关系 并求出 0时参数范围 或指出直线过曲线内一点 第三步 根据题目要求列出关于x1x2 x1 x2 或y1y2 y1 y2 的关系式 求得结果 第四步 反思回顾 查看有无忽略特殊情况 课时作业 1 点M 5 3 到抛物线y ax2 a 0 的准线的距离为6 那么抛物线的方程是 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 2 2018届云南昆明一中摸底 已知抛物线C y2 4x的焦点为F 准线为l 点A l 线段AF交抛物线C于点B 若等于A 3B 4C 6D 7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析由已知B为AF的三等分点 作BH l于H 如图 3 2017 皖北协作区联考 已知抛物线C x2 2py p 0 若直线y 2x被抛物线所截弦长为则抛物线C的方程为A x2 8yB x2 4yC x2 2yD x2 y 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 即两交点坐标为 0 0 和 4p 8p 故抛物线C的方程为x2 2y 4 2017 赣州二模 抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F A是抛物线上一点 若A到F的距离是A到y轴距离的两倍 且 OAF的面积为1 O为坐标原点 则p的值为A 1B 2C 3D 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析不妨设A x0 y0 在第一象限 5 2017 汕头一模 过抛物线C x2 2y的焦点F的直线l交抛物线C于A B两点 若抛物线C在点B处的切线的斜率为1 则 AF 等于A 1B 2C 3D 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故 AF BF 1 x x1 6 2017 昆明调研 已知抛物线C的顶点是原点O 焦点F在x轴的正半轴上 经过点F的直线与抛物线C交于A B两点 若 12 则抛物线C的方程为A x2 8yB x2 4yC y2 8xD y2 4x 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意 设抛物线方程为y2 2px p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 消去x得y2 2pmy p2 0 显然方程有两个不等实根 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 2pm y1y2 p2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2017 河北六校模拟 抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 点O是坐标原点 过点O F的圆与抛物线C的准线相切 且该圆的面积为36 则抛物线的方程为 y2 16x 解析设满足题意的圆的圆心为M xM yM 根据题意可知圆心M在抛物线上 又 圆的面积为36 抛物线方程为y2 16x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 在平面直角坐标系xOy中 抛物线y2 6x的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PA l A为垂足 若直线AF的斜率k 则线段PF的长为 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由抛物线方程为y2 6x 解析 9 2017 江西九校联考 抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 其准线与双曲线y2 x2 1相交于A B两点 若 ABF为等边三角形 则p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 10 2017 全国 已知F是抛物线C y2 8x的焦点 M是C上一点 FM的延长线交y轴于点N 若M为FN的中点 则 FN 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6 解析如图 不妨设点M位于第一象限内 抛物线C的准线交x轴于点A 过点M作准线的垂线 垂足为点B 交y轴于点P PM OF 由题意知 F 2 0 FO AO 2 点M为FN的中点 PM OF 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 又 BP AO 2 MB MP BP 3 由抛物线的定义知 MF MB 3 故 FN 2 MF 6 11 2018 郑州模拟 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为的直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 两点 且 AB 9 1 求该抛物线的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 从而有4x2 5px p2 0 所以p 4 从而抛物线方程为y2 8x 2 O为坐标原点 C为抛物线上一点 若求 的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解由于p 4 则4x2 5px p2 0 即x2 5x 4 0 从而x1 1 x2 4 整理得 2 1 2 4 1 解得 0或 2 12 2017 北京 已知抛物线C y2 2px过点P 1 1 过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M N 过点M作x轴的垂线分别与直线OP ON交于点A B 其中O为原点 1 求抛物线C的方程 并求其焦点坐标和准线方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 所以抛物线C的方程为y2 x 2 求证 A为线段BM的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 证明由题意知 直线l的斜率必存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 l与抛物线C的交点为M x1 y1 N x2 y2 因为点P的坐标为 1 1 所以直线OP的方程为y x 点A的坐标为 x1 x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故A为线段BM的中点 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以抛物线C的方程为y2 4x 此时不妨取P点的坐标为 4 4 则直线PM的斜率为2 即tan PMO 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 8