南京市鼓楼区清江花苑严老师2013年湖南省中考数学压轴题解析汇编.doc

【2013湖南长沙26题】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴、y轴交于点A、B，动点P(a，b)在第一象限内，由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（垂足为M、N）分别与直线AB相交于点E、F，当点P(a，b)运动时，矩形PMON的面积为定值2.（1）求OAB的度数；（2）求证：AOFBEO；（3）当点E、F都在线段AB上时，由三条线段AE、EF、BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，OEF的面积为S2。试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）由y=-x+2知，当x=0时，y=2 B（0，2），即OB=2当y=0时，x=2 A（2，0），即OA=2OA=OB AOB是等腰直角三角形OAB=45（2）EMOB FNOA AFBE=ONOM=2OMON矩形PMON的面积为2 OMON=2AFBE=4OAOB=4AFBE=OAOB，即OAF=EBO=45AOFBEO（3）易证AME、BNF、PEF为等腰直角三角形AM=EM=2-a AE2=2(2-a)2=2a2-8a+8BN=FN=2-b BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8PF=PE=a+b-2EF2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8ab=2 EF2=2a2+2b2-8a-8b+16EF2= AE2+BF2由线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆面积为：S1=EF2=2(a+b-2)2=(a+b-2)2S梯形OMPF=(PF+OM)PMSPEF=PFPE，SOME=OMEMS2=S梯形OMPF-SPEF-SOME=(PF+OM)PM-PFPE-OMEM=PF(PM-PE)+OM(PM-EM)=(PFEM+OMPE)=PE（EM+OM)=(a+b-2)(2-a+a)=a+b-2S1+S2=(a+b-2)2+(a+b-2)设m=a+b-2，则S1+S2=m2+m=(m+)2-面积之和不可能为负数当m-时，S1+S2随m的增大而增大当m最小时，S1+S2就最小m=a+b-2=a+-2=()2+2-2当，即a=b=时，m最小，最小值为2-2S1+S2的最小值=(2-2)2+ 2-2= 2(3-2)+2-2【2013湖南株洲24题】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，），将抛物线C1向下平移h个单位（h0）得到抛物线C2，一条平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m0）。（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点D，求证：tanEDF-tanECP=解：（1）由题意设抛物线C1的解析式为y=a(x-1)2抛物线C1过点（0，）a=抛物线C1的解析式的一般形式为y=(x-1)2=x2-x+（2）由题意可得，抛物线C2的解析式为y=(x-1)2-h当m=2时，直线AB与x轴的距离是4直线AB的解析式为y=4在抛物线C1中，当y=4时，(x-1)2=4解得x=5或-3点C的坐标为（5，4）点A、C关于y轴对称点A的坐标为（-5，4）代入抛物线C2的解析式得4=(-5-1)2-hh=5（3）在抛物线C1中，当y=m2时，(x-1)2=m2解得x=1+2m或1-2m点C坐标为（1+2m，m2）点E坐标为（1，m2）PE=m2，EC=2mtanECP=在抛物线C2中，当y=m2时，(x-1)2-h=m2解得x=1+2或1-2点A坐标为（1-2，m2）点D坐标为（1+2，m2）点A、C关于y轴对称1-2+1+2m=0=m+1DE=2，EF=m2+htanEDF=tanEDF-tanECP=-=【2013湖南郴州26题】如图，在直角梯形AOCB中，ABOC，AOC=90，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系。抛物线顶点为A，且经过点C。点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QDOC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E。（1）求抛物线的解析式；（2）点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PBOD？解：（1）由题意知，点A（0，2）是抛物线的顶点可设抛物线的解析式为y=ax2+2由题意得，点C（3，0）在抛物线上9a+2=0，得a=-抛物线的解析式为y=-x2+2（2）连接EE交y轴于F当四边形OEAE是菱形时，OA与EE互相垂直平分，即F是OA的中点，其坐标为（0，1）点E的纵坐标为1由-x2+2=1解得x=点E在第一象限点E坐标为（，1）直线OE的解析式为y=x由题意得，点B坐标为（1，2）设直线BC的解析式为y=kx+b，则 解得直线BC的解析式为y=-x+3联立直线OE、BC的解析式解得：点D坐标为（，）QDOC点Q坐标为（，0）故，当点Q运动到（，0）时，四边形OEAE是菱形（3）PBOD APB=AOEDQOA QDO=AOEAPB=QDORtPABRtDQO过点B作BHOC于H，则四边形AOHB是矩形，得BH=OA=2，OH=AB=1HC=BH=2，即BHC为等腰直角三角形CDQ为等腰直角三角形DQ=CQ=3tAP=2t，OQ=OC-CQ=3-3t，得t=经检验t=是分式方程的根当t=s时，PBOD【2013湖南常德26题】已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME。（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME解：（1）延长BM交EF于N。ABCE，EFCEABEFBAM=NFM，ABM=FNMM是AF的中点AM=FMABMFNMAB=FNAB=BCBC=FNCE=FEBE=NEBEN是等腰直角三角形EBN=45C=45EBN=CBMCF（2）由(1)得，BE=NE=CE-BC=aBN=ABMFNMBM=MNBM=BN=BEN是等腰直角三角形，M是BN的中点ME=BN=（3）延长BM交CF于N，连接BE、NE。BCE=45，C=45BCF=90，即CFBCABC=90，即ABBCABCF与(1)同理可证，ABMFNMBM=NM，AB=FNAB=BCBC=FNBCE=NFE=45，CE=FEBCENFE（SAS）BE=NE，BEC=NEFCEF=NEF+CEN=90BEN=BEC+CEN=90BEN是等腰直角三角形BM=NM，即M是BN的中点BM=ME=BN【2013湖南益阳21题】阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）由xp-x1=x2-xp，得xp=，同理yp=，所以AB的中点坐标为（， ）。由勾股定理得AB2=| x2-x1 |2+| y2-y1 |2，所以A、B两点间的距离公式为AB=注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立。解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C。（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证：ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l，求两直线l与l的距离解：（1）由可解得：点A坐标为（，）点B坐标为（，）点P为AB的中点点P坐标为（，3）PCx轴 点C横坐标为当x=时，y=2x2=点C坐标为（，）（2）AC2=(-)2+()2=BC2=(-)2+()2=AC2+BC2=25AB2=(-)2+()2=25AB2= AC2+BC2ABC是直角三角形，且ACB是直角（3）过点C作CDAB于D，则线段CD的长就是两直线l与l的距离。ABC是直角三角形，且ACB是直角SACB=ACBC=ABCDCD=由（2）得：AB=5AC2BC2=()()=ACBC=CD=两直线l与l的距离为【2013湖南张家界25题】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC。（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解：（1）OD=OC，点C（0，1）点D坐标为（1，0）设直线CD的解析式为y=kx+b，则 解得直线CD的解析式为y=-x+1（2）抛物线的顶点Q坐标为（2，3）可设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3点C（0，1）在抛物线上1=4a+3，得a=-抛物线解析式为y=-x2+2x+1（3）OC=ODCDO是等腰直角三角形，DCO=45DCE=45 OCE=90CEx轴，QHCE(QH为抛物线对称轴)点H坐标为（2，1），点E坐标为（4，1）QH=CH=2，QH=EH=2QCH、EQH为等腰直角三角形CEQ为等腰直角三角形CEQCDO（4）存在。作点C关于x轴的对称点A(0，-1)，作点C关于直线QE的对称点B，连接AB交QE于P，交OD于F，连接PC、CF。由对称性知，PC=PB，FC=FACPCF=PC+FC+PF=PB+FA+PF=AB在QE、OD上任取点P、F，连PB、PC、FC、FA、PF，得PCF。则CPCF=PC+FC+PF=PB+FA+PF由两点之间线段最短可知，ABPB+FA+PFCPCF=AB为PCF周长的最小值过点B作BKy轴于K由(3)知，EQCQ，QCE=45点C、Q、B在同一直线上，且BCK=45BCK是等腰直角三角形由(3)可得，CQ=2BC=2CQ=4BK=CK=BCsinBCK=4=4OC=OA=1AK=CK+OC+OA=6AB=2综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为2【2013湖南邵阳26题】如图所示，在RtABC中，AB=BC=4，ABC=90，点P是ABC的外角BCN的角平分线上一个动点，点P是点P关于直线BC的对称点，连结PP交BC于点M，BP交AC于D，连结BP、AP、CP。（1）若四边形BPCP为菱形，求BM的长；（2）若BMPABC，求BM的长；（3）若ABD为等腰三角形，求ABD的面积解：（1）四边形BPCP为菱形BM=BC=4=2（2）BMPABC，且ABC是等腰RtBMP是等腰RtMBP=45ABP=45ABD是等腰RtBP是AC的垂直平分线PAC=PCACP是BCN角平分线，且BCN=135PCM=67.5点P是点P关于直线BC的对称点PCM=PCM=67.5ACB=45PCA=PCM-ACB=22.5PAC=22.5PAB=PAC+CAB=22.5+45=67.5APB=180-PAB-ABP=67.5PAB=APBBP=AB=4BM=BPsin45=4=2（3）分如下三种情况： 当AD=BD时，则ABD是等腰Rt，即图2所示情况。由(2)可得SABD=SABC=ABBC=44=4 当AB=AD时，如图3所示。过点D作DEAB于E，则ADE是等腰RtDE=ADsin45=4=2SABD=ABDE=42=4 当AD=BD时，点D与点C重合，点P、M均与点C重合此时，SABD=SABC=ABBC=44=8综上所述，当ABD为等腰三角形时，ABD的面积为4或8或4【2013湖南娄底25题】如图，在ABC中，B=45，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H。（1）求证：（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围解：（1）四边形EFPQ是矩形EFBCAEFABC，AEHABD，（2）EF=x，BC=5，AD=4AH=xDH=AD-AH=4-xS矩形EFPQ=EFDH=x(4-x)=当x=时，矩形EFPQ的面积有最大值，最大面积为5.（3）当EF=x=时，AH=DH=2 当0t2时，重叠部分为阴影部分的多边形由B=45，易证得EMK是等腰直角三角形EK=EM=t SEMK=EKEM=t2B=45 BD=AD=4，则CD=1易求得NR=AD=2，CR=CD=EFBC FN=t FG=tSFNG=FNFG=t2S=S矩形EFPQ- SEMK- SFNG=5-t2-t2=5-t2 当2t4时，重叠部分为阴影部分AKG易得AKGABCSABC=BCAD=54=10，AD=4S=AH2DH=QT=tAH=AD-DH=4-tS=(4-t)2=10-5t-t2故，S与t的函数关系式为：【2013湖南衡阳28题】如图，在平面直角坐标系中，已知A（8,0），B（0,6），M经过原点O及点A、B。（1）求M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作M的切线l，求直线l的解析式；（3）BOA的平分线交AB于点N，交M于点E，求点N的坐标和线段OE的长解：（1）A（8，0），B（0，6）OA=8，OB=6AB=10AOB=90AB是M的直径M的半径为AB=5点M是AB的中点点M坐标为（4，3）（2）令直线l与x轴交于点CBC是M的切线BCAB，即ABC=90BOACAB2=OAAC(射影定理)AC=OC=AC-OA=-8=点C坐标为（-，0）设直线l的解析式为y=kx+b，则 解得k=，b=6直线l的解析式为y=x+6（3）过点N作NDx轴于D，连接AE。OE是BOA的平分线DON=45OD=NDNDOBND=ADAD=OA-OD=OA-ND=8-NDND=(8-ND)，得ND=点N坐标为（，）ON=ND=AD=ND=AN=BN=AB-AN=10-=AEN=OBN，ANE=ONBAENOBNNE=OE=ON+NE=+=7【2013湖南湘西洲25题】如图，已知抛物线y=-x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）。（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）点A（-2，0）在抛物线上0=-1-2b+4，得b=抛物线的解析式为y=-x2+x+4y=-(x-3)2+抛物线的对称轴方程为x=3（2）当x=0时，y=4点C坐标为（0，4）点A、B关于直线x=3对称点B坐标为（8，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，则 解得k=-，b=4直线BC的解析式为y=-x+4（3）AOCCOB。理由如下：OA=2，OB=8，OC=4AOC=COB=90AOCCOB（4）存在。 在RtACB中，D是AB的中点，则AD=CD，故当点Q1位于点D处时，AQ1=CQ1，ACQ1是等腰三角形，此时点Q1坐标为（3，0） 过点C作对称轴的垂线，垂足为E，则AE=3由题得AC=2ACCE以点C为圆心，AC长为半径画圆，该圆与对称轴有交点Q2和Q3，显然，ACQ2、ACQ3是等腰三角形CQ2=CQ3=AC=2，CE=3EQ2=EQ3=DE=OC=4DQ2= DE+EQ2 =4+DQ3=DE-EQ3=4-点Q2坐标为（3，4+），点Q2坐标为（3，4-） 由于AD=5AC=2，所以以A为圆心、AC长为半径画圆，与对称轴没有交点，不存在点Q。综上所述，存在满足题述条件的点Q，其坐标为（3，0）或4+）或（3，4-）【2013湖南岳阳24题】如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的E与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点为F。（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究： 使得以A、B、M为顶点的三角形面积与ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标； 若探究中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线的顶点F，试判断直线MF与E的位置关系，并说明理由。解：（1）由题意知，AE=BE=5，OE=3OA=AE-OE=2，OB=OE+BE=8点A坐标为（-2，0），点B坐标为（8，0）连接AC、BCAB是E的直径 ACB=90OCABOC2=OAOB=28=16（射影定理）OC=4点C坐标为（0，-4）（2）抛物线经过A、B两点可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8)抛物线过点C（0，-4）-4=-16a，得a=抛物线解析式为y=(x+2)(x-8)=x2-x-4由题意知，抛物线的对称轴为x=3当x=3时，y=5(-5)=顶点F的坐标为（3，）（3） 过点C作x轴的平行线交抛物线于点M，显然，ABM与ABC的面积相等。由抛物线的对称性知，点M的坐标为（6，-4） 作点C关于x轴的对称点D（0，4），过点D作x轴的平行线交抛物线于点M，显然，ABM与ABC的面积相等。则点M的纵坐标为4当y=4时，x2-x-4=4，解得x=3点M坐标为（3-，4）或（3+，4）故，所有符合条件的点M坐标为（6，-4）或（3-，4）或（3+，4）（4）直线MF与E相切。理由如下：点M在第四象限 点M坐标为（6，-4）连接EM，连接CM交EF于点N，则点N坐标为（3，-4）EN=4，FN=，MN=3，且MNF=ENM=90MNFENMEMN=MFNMFN+FMN=90EMN+FMN=90，即EMF=90EMMF直线MF是E的切线【2013湖南湘潭26题】如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y=x2+bx-2的图象过C点。（1）求抛物线的解析式； （2）平移该抛物线的对称轴所在直线l。当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由。解：（1）过点C作CDx轴于点DA（1，0），B（0，2）OA=1，OB=2BAC=90 OAB+CAD=90OAB+OBA=90OBA=CADAOB=ADC=90，AB=ACAOBCDACD=OA=1，AD=OB=2OD=OA+AD=3点C坐标为（3，1）点C在抛物线上1=，得b=-抛物线的解析式为y=x2-x-2（2）AB=AC=SABC=ABAC=由图知，当直线l平分ABC面积时，直线l应位于点A右侧、点D左侧，则SEFC=SABC=由A、C坐标可得，直线AC解析式为y=x-由B、C坐标可得，直线BC解析式为y=-x+2设直线l为x=m，则H（m，0），E（m，-m+2），F（m，m-），其中1m3EF=-m+2-m+=-m+DH=3-mSEFC=EFDH=(-m+)(3-m)=整理得：(3-m)2=3解得m=3+(舍去)或3-当直线l移动至x=3-处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（3）存在以点A、B、C为顶点，可以作出三个平行四边形，如图所示。过点P作PKy轴于K。易证PBKBAO，则BK=OA=1，PK=OB=2点P坐标为（-2，1）当x=-2时，y=4-(-2)-2=1点P在抛物线上同理可得，点P坐标为（4，-1），点P坐标为（2，3），这两点均不在抛物线上故，存在满足条件的点P，其坐标为（-2，1）【2013湖南永州25题】如图，已知ABBD，CDBD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？解：（1）存在。假设存在点P，使PABPCDB=C=90或设PB=x，则PD=10-x若，则4 x =9(10-x)，得x =若，则x (10-x)=36即x 2-10 x +36=00，方程无实数解此时不存在点P故，在BD上存在1个P点，使PABPCD，BP的长为（2）存在2个点P。设PB=x，则PD=12-x与(1)同理若，则4 x =9(12-x)，得x =若，则x (12-x)=36即x 2-12 x +36=0，解得x=6故，在BD上存在2个P点，使PABP