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高二自主招生讲座(立体几何)一、空间想象1、(2011“卓越联盟”)在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为() 2、(同济2004自招)设四棱锥中,底面是边长为1的正方形,且平面。(1)求证:直线直线;(2)过直线且垂直于直线的平面交于点,如果三棱锥的体积取得最大值,求此时四棱锥的高。3、(2010武大)有4条长为2的线段和2条长为的线段,用这6条线段作为棱,构成一个三棱锥。问为何值时,可构成一个最大体积的三棱锥,最大值为多少?4、(2007复旦)已知四棱锥,底面是菱形,,线段,点是的中点,点是的中点,则二面角的平面角的余弦值为() 空间余弦定理DCBAMNl如图,平面相交于直线,为上两点,射线在平面内,射线在平面内。已知,且都是锐角,是二面角的平面角,则。5、(2012“卓越联盟”)直角梯形中,, 面垂直于底面.(1)求证:面垂直于面;(2)若求二面角 的正切值6、(2008清华自招)(1)一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱可以组成一个三角形;(2)四面体的一个顶点的三个角分别为,求的面和的面所成的二面角。7、(2009华南理工)已知是某球面上不共面的四点,且,则此球的表面积等于_.三面角的性质三面角的任意两个角之和大于第三个角。8、(2009年清华)四面体,。(1)求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形;(2)设底面为,另外三个侧面与面所形成的二面角分别为求证:。9、(2007武大)在棱长为的正方体中,分别是的中点.(1)求证:;(2)求点到平面的距离. 10、(2009华南理工)如图,在正三棱锥中,侧棱长为3,底面边长为2,为的中点,.(1)求证:
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