2011年全国普通高等学校招生统一考试-理科数学(山东卷).doc

山东理科1.(2011山东,理1)设集合M=x|x2+x-60)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则=().A.3B.2C.32D.237.(2011山东,理7)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为().A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元8.(2011山东,理8)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为().A.x25-y24=1B.x24-y25=1C.x23-y26=1D.x26-y23=19.(2011山东,理9)函数y=x2-2sin x的图象大致是().10.(2011山东,理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x0),观察:f1(x)=f(x)=xx+2,f2(x)=f(f1(x)=x3x+4,f3(x)=f(f2(x)=x7x+8,f4(x)=f(f3(x)=x15x+16,根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.16.(2011山东,理16)已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.22.(2011山东,理22)已知动直线l与椭圆C:x23+y22=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且OPQ的面积SOPQ=62,其中O为坐标原点.(1)证明:x12+x22和y12+y22均为定值;(2)设线段PQ的中点为M,求|OM|PQ|的最大值;(3)椭圆C上是否存在三点D,E,G,使得SODE=SODG=SOEG=62?若存在,判断DEG的形状;若不存在,请说明理由.山东理科1.AM=x|x2+x-60=x|(x+3)(x-2)0=x|-3x2,N=x|1x3,MN=x|1x0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,可知3=2,即=32.7.Ba=y-bx=49+26+39+544-9.44+2+3+54=9.1,回归方程为y=9.4x+9.1,令x=6,得y=9.46+9.1=65.5(万元).8.A由题意得,x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=bax,即bxay=0,又圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0).a2+b2=32=9,且|3b|a2+b2=2,解得a2=5,b2=4.该双曲线的方程为x25-y24=1.9.C令f(x)=x2-2sin x,xR,则可知f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,故排除A.又f(x)=12-2cos x,可知f(x)有无穷多个零点,即f(x)有无穷多个极值点,故排除B,D.选C.10.B当0x2时,令f(x)=x3-x=0,得x=0或x=1.根据周期函数的性质,由f(x)的最小正周期为2,可知y=f(x)在0,6)上有6个零点,又f(6)=f(32)=f(0)=0,所以f(x)在0,6上与x轴的交点个数为7.11.A正确,如图一直三棱柱,其中四边形BCC1B1与四边形BAA1B1是全等的矩形,且面BCC1B1面BAA1B1,即满足要求.正确,如图一正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,即满足要求.正确,横卧的圆柱即可,如图.12.DC,D调和分割点A,B,AC=AB,AD=AB,且1+1=2(*),不妨设A(0,0),B(1,0),则C(,0),D(,0),对A,若C为AB的中点,则AC=12AB,即=12,将其代入(*)式,得1=0,这是无意义的,故A错误;对B,若D为AB的中点,则=12,同理得1=0,故B错误;对C,要使C,D同时在线段AB上,则01且01,11,1+12,这与1+1=2矛盾;故C错误;显然D正确.13.68由程序框图可知,y的变化情况为y=702+213+155=278,进入循环,显然278105,因此y=278-105=173;此时173105,故y=173-105=68.经判断68105不成立,输出此时y的值68.14.4由二项式定理可知Tr+1=C6rx6-r(-ax2)r=C6r(-a)rx6-3r,令6-3r=0,得r=2,T3=C62(-a)2=60.15a=60.a=4.15.x(2n-1)x+2n由已知可归纳如下:f1(x)=x(21-1)x+21,f2(x)=x(22-1)x+22,f3(x)=x(23-1)x+23,f4(x)=x(24-1)x+24,fn(x)=x(2n-1)x+2n.16.2a2,f(x)=logax+x-b在(0,+)上为增函数,且f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b,2a3b4,0loga21,-22-b-1.-2loga2+2-b0.又1loga32,-13-b0,0loga3+3-b2,即f(2)0.又f(x)在(0,+)上是单调函数,f(x)在(2,3)必存在唯一零点.17.解:(1)由正弦定理,设asinA=bsinB=csinC=k,则2c-ab=2ksinC-ksinAksinB=2sinC-sinAsinB,所以cosA-2cosCcosB=2sinC-sinAsinB,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B.化简可得sin(A+B)=2sin(B+C),又A+B+C=,所以sin C=2sin A.因此sinCsinA=2.(2)由sinCsinA=2得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及cos B=14,b=2,得4=a2+4a2-4a214.解得a=1.从而c=2.又因为cos B=14,且0B,所以sin B=154.因此S=12acsin B=1212154=154.18.解:(1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则D,E,F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式知P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5.红队至少两人获胜的事件有:DEF、DEF、DEF、DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为P=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55.(2)由题意知可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D EF、DEF、DE F是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,因此P(=0)=P(D E F)=0.40.50.5=0.1,P(=1)=P(D EF)+P(DEF)+P(DE F)=0.40.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.35,P(=3)=P(DEF)=0.60.50.5=0.15.由对立事件的概率公式得P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=0.4.所以的分布列为:0123P0.10.350.40.15因此E=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6.19.(1)证法一:因为EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90,所以EGF=90,ABCEFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.连接AF,由于FGBC,FG=12BC,在ABCD中,M是线段AD的中点,则AMBC,且AM=12BC,因此FGAM且FG=AM.所以四边形AFGM为平行四边形.因此GMFA.又FA平面ABFE,GM平面ABFE,所以GM平面ABFE.证法二:因为EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90,所以EGF=90,ABCEFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中点N,连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形,所以GNFB.在ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,则MNAB.因为MNGN=N,所以平面GMN平面ABFE.又GM平面GMN,所以GM平面ABFE.(2)解法一:因为ACB=90,所以CAD=90.又EA平面ABCD,所以AC,AD,AE两两垂直.分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AC=BC=2AE=2,则由题意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).又EF=12AB,所以F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).设平面BFC的法向量为m=(x1,y1,z1),则mBC=0,mBF=0,所以y1=0,x1=z1.取z1=1,得x1=1,所以m=(1,0,1).设平面ABF的法向量为n=(x2,y2,z2),则nAB=0,nBF=0,所以x2=y2,z2=0.取y2=1,得x2=1,则n=(1,1,0).所以cos=mn|m|n|=12.因此二面角A-BF-C的大小为60.解法二:由题意知,平面ABFE平面ABCD,取AB的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以CHAB.则CH平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,则CRBF.所以HRC为二面角A-BF-C的平面角.由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE中,连接FH,则FHAB.又AB=22,所以HF=AE=1,BH=2.因此在RtBHF中,HR=63.由于CH=12AB=2,所以在RtCHR中,tanHRC=263=3.因此二面角A-BF-C的大小为60.20.解:(1)当a1=3时,不合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;当a1=10时,不合题意.因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3.故an=23n-1.(2)因为bn=an+(-1)nln an=23n-1+(-1)nln(23n-1)=23n-1+(-1)nln 2+(n-1)ln 3=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,所以Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+(-1)nnln 3,所以当n为偶数时,Sn=21-3n1-3+n2ln 3=3n+n2ln 3-1;当n为奇数时,Sn=21-3n1-3-(ln 2-ln 3)+(n-12-n)ln 3=3n-n-12ln 3-ln 2-1.综上所述,Sn=3n+n2ln3-1,n为偶数,3n-n-12ln3-ln2-1,n为奇数.21.解:(1)设容器的容积为V,由题意知V=r2l+43r3,又V=803,故l=V-43r3r2=803r2-43r=43(20r2-r).由于l2r,因此0r2.所以建造费用y=2rl3+4r2c=2r43(20r2-r)3+4r2c.因此y=4(c-2)r2+160r,0r2.(2)由(1)得y=8(c-2)r-160r2=8(c-2)r2(r3-20c-2).0r3,所以c-20.当r3-20c-2=0时,r=320c-2.令320c-2=m,得m0,所以y=8(c-2)r2(r-m)(r2+rm+m2).当0m92时,当r=m时,y=0;当r(0,m)时,y0.所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.(2)当m2即3c92时,当r(0,2)时,y0,函数单调递减.所以r=2是函数y的最小值点.综上所述,当392时,建造费用最小时r=320c-2.22.解:(1)当直线l的斜率不存在时,P、Q两点关于x轴对称,所以x2=x1,y2=-y1.因为P(x1,y1)在椭圆上,因此x123+y122=1.又因为SOPQ=62,所以|x1|y1|=62.由、得|x1|=62,|y1|=1,此时x12+x22=3,y12+y22=2.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,由题意知m0,将其代入x23+y22=1得(2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0,其中=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)0,即3k2+2m2.(*)又x1+x2=-6km2+3k2,x1x2=3(m2-2)2+3k2,所以|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2263k2+2-m22+3k2.因为点O到直线l的距离为d=|m|1+k2.所以SOPQ=12|PQ|d=121+k2263k2+2-m22+3k2|m|1+k2=6|m|3k2+2-m22+3k2.又SOPQ=62.整理得3k2+2=2m2,且符合(*)式,此时x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-6km2+3k2)2-23(m2-2)2+3k2=3,y12+y22=23(3-x12)+23(3-x22)=4-23(x12+x22)=2.综上所述,x12+x22=3,y12+y22=2,结论成立.(2)解法一:当直线l的斜率不存在时,由(1)知|OM|=|x1|=62,|PQ|=2|y1|=2,因此|OM|PQ|=622=6.当直线l的斜率存在时,由(1)知,x1+x22=-3k2m,y1+y22=k(x1+x22)+m=-3k22m+m=-3k2+2m22m=1m,|OM|2=(x1+x22)2+(y1+y22)2=9k24m2+1m2=6m2-24m2=12(3-1m2),|PQ|2=(1+