第二章 方程与不等式.doc

第2章 方程与不等式考纲要求1、 掌握配方法，会用配方法解决有关问题。2、 会解一元二次方程。3、 理解不等式的性质，会用比较法证明简单不等式。4、 会解一元一次不等式（组）。5、 会解形如或的含有绝对值的不等式。6、 会解一元二次不等式，会用区间表示不等式的解集。7、 能利用不等式的知识解决有关的实际问题。命题分析本章命题的知识点有四个： 不等式的性质； 一元二次不等式； 绝对值不等式； 等式的应用题。近几年本章一直考两道题，难度中等，复习时应以基础题为主，注意数形结合在解一元二次不等式中的应用，以及一元二次方程和一元二 次不等式、一元二次函数的结合。该部分知识还有时和函数的定义域问题、指数、对数函数的单调性问题结合在一起命题。2.1 配方法与一元二次方程1、 配方法 1、配方法的理论依据：完全平方公式； 2、配方法的主要思想：以完全平方公式为依据，对所给的二次三 项式进行恒等变形、化简，得到形如的代数式。 3、对二次三项式配方的一般步骤： 把提取公因式变形为； 配方为； 整理成的形式。 例1、把二次三项式 化为的形式为（ ）。 A、 B、 C、 D、 解析：根据配方法进行配方后可得答案选B。 例2、已知实数，满足，求，的值。 解析：要求，的值，必须将方程转化为 关于，的两个方程。利用配方法可化为。 所以且，所以，。2、 一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程称为一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为（，为常数且 ），依次为方程的二次项系数、一次项系数和常 数项。3、方程的解：能够使方程左右两边的值相等的未知数的值，称 为方程的解。4、 解方程：求出方程的解或者判定方程无解的过程，称为解方程。5、用配方法解一元二次方程（ ）的一般步骤： 把二次项系数化为， ； 配方法 当时，方程有两个不相等的实数根 ； 当时，方程有两个相等的实数根 ； 当时，原方程无实数根。6、 一元二次方程（ ）的求根公式： 7、 解一元二次方程除配方法外还可以用 提公因式法；分解因式法；公式法。8、 一元二次方程根与系数的关系： 若方程（ ）的两根为，则，例3、用适当的方法解一元二次方程： ； ； 。例4、若方程有两个实数根，则实数的取值范围 是 。 解析：方程有两个实数根，解关于的不 等式即可得到或。2.2 不等式的性质、解集与区间1、 不等式的性质1、 实数大小的定义：把两个实数表示在数轴上，在数轴上右边的点 表示的实数大于左边的点表示的实数。2、 实数大小的基本性质： （1） ； （2） ； （3） ；3、证明数与式大小的方法作差比较法，其一般步骤是：作差变形（化为能判断正负的数或式）判断（正、负或零） 结论4、 不等式的基本性质： （1） 对称性： （2） 传递性： （3）加法法则：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不 等式的方向不变，即 （4）乘法法则： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方 向不变，即； 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方 向改变，即；推论：； ； ；例1、已知，为实数，则下列命题正确的是（ ）。 A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，且，则 解析：此题考查不等式的性质，答案选D。例2、求证：（，且） 解析：根据作差比较法的步骤可得以下证明过程 因为，且 所以， 所以 所以。2、 解集与区间1、 一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数 值的全体构成的集合，称为不等式的解集。一般可用性质描述法 或区间来表示，求不等式解集的过程，叫解不等式。2、区问是表示数集的一种方法，设，则 （1）满足的全体实数的集合，称为闭区间，记作； （2）满足的全体实数的集合，称为开区间，记作； （3）满足的全体实数的集合，称为半开半闭区间，记作； （4）满足的全体实数的集合，称为半开半闭区间，记作； （5）满足的全体实数的集合，可记作； （6）满足的全体实数的集合，可记作； （7）全体实数集可记作。其中“”和“”分别读作“负无穷大”和“正无穷大”。例3、不等式的解集用区间表示是（ ）。A、 B、 C、 D、解析：先解不等式，再写成区间的形式，答案选C。2.3 不等式的性质、解集与区间1、 一元一次不等式1、一元一次不等式的定义：含有一个未知数，并且未知数的次数为一次的整式不等式称为一 元一次不等式，其一般形式为。2、一元一次不等式的解法 首先将一元一次不等式同解变形为标准形式：； （1）当时，的解集为，用区间表示为； （2） 当时，的解集为，用区间表示为； （3）当时，则， 若，则对，均有，所以的解集为全体实数， 即； 若，则的解集为空集；3、 含有相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，称为一 元一次不等式组，几个一元一次不等式的解集的交集，称为由它 们所组成的一元一次不等式组的解集，如果各个不等式的解集的 交集是空集，那么由它们组成的不等式组的解集就是空集。 4 一元一次不等式组的解法：首先解出不等式中的每一个不等式， 然后将各个不等式的解集取交集，即为不等式组的解集， 若，则不等式组： （1）的解集为； （2）的解集为； （3）的解集为； （4）的解集为空集；2、 含有绝对值的不等式 1、绝对值的意义： 2、实数的绝对值的几何意义：在数轴上表示对应实数的点到 原点的距离。 3、如果，则（1）；（2） 4、含有绝对值的不等式的解法：（1）当时， ； ；（2） 当时， 的解集为； 的解集为