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2011年合工大矩阵理论考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设和分别是齐次方程组和的解空间，证明。证明：因方程组和，只有零解，故，从而=，且是的子空间，即。又的维数是n-1，的维数是1故的维数是n维，所以。注：任给一个的子空间，可以找到子空间使得：此式称为V的一个直和分解，称为互补空间2、 线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间证明： 例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数 dim(T(V)+dim(ker(T)=dim(V)证明：设dim(V)=n dim(ker(T)=s 只需证明dim(T(V)=n-s即可 取ker(T)的一组基再添加n-s个向量 将这组向量扩充为V的一组基 现在只需证明线性无关。设则：故于是可由线性表示 即故有因是V的一组基，所以因此线性无关3、过渡矩阵 线性变换在给定基下的矩阵例题：已知中的线性变换T在基下的矩阵是求T在基下的矩阵。解：设基到的过度矩阵为Q则即：所以 所以T在基下的矩阵B为 4、定理:内积空间中必存在标准正交基（施密特正交化）例：设是中的一组标准正交基其中求V的一组标准正交基解：设，即有因为线性无关，故因此线性无关，所以是V的一组基。现将其化为标准正交基，首先将其正交化取再将其单位化5、正交矩阵与酉矩阵的性质与判定例1：设是n维欧氏空间V中的单位向量，定义V中的变换T为。证明T为正交变换证明： 故T是V的线性变换 故，所以T是正交变换例2证明：n阶的方阵A为酉矩阵的充要条件是对任何都有证明：（必要性） 注：酉矩阵 若A是酉矩阵，则对 则(充分性)取中的一组标准正交基则存在唯一的线性变换T，使得T在基下的矩阵是A即：（证明T是正交变换）因此T是正交变换，从而A是酉矩阵。6、矩阵A的约当标准形（初等因子和不变因子）例题：求矩阵都的约当标准形、不变因子、初等因子。解： 故A的不变因子是1，初等因子是，因对应的约当块对应的约当块故A的约当标准形为或求约当标准形的步骤：写出A的特征矩阵求出的全部初等因子写出每个初等因子对应的约当块写出约当标准形 7、凯莱-哈密顿定理例题：设，证明：为可逆矩阵并将表示为A的多项式。证明：A的特征多项式为由凯莱-哈密顿定理得：8、线性空间的范数没有例子就把定义搬上了定义：设V是数域P上的线性空间，如果对V中的任意向量V都有一个非负实数与之对应，记为且满足下列的性质1正定性：2齐次性：3三角不等式：称为的范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间其他重要例题例题1:设是数域P上的线性空间V的一组向量，则由他们的所有线性组合构成的集合是V的子空间。证明：显然S非空， （）故S是V的子空间称S为由生成的子空间记作的一个最大线
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