小学奥数简便计算.doc

1.2简便计算1.2.1近整法多加要减，少加再加；多减要加，少减再减9910710010017 73459773460031.22分组法几个数相加，将加数中能凑整十（百、千）的一些加数交换位置，先凑整，再与其他加数相加得出结果。991072043063031（991）（107303）（204306）1.2.3基准法当有许多大小不同而又比较接近的数相加时，可选其中一个数，最好是整十（百、千）的数作为计算的基础，这个数叫做“基准数”，再找出每个加数与基准数的差。大于基准数的差做加数，小于基准数的差做减数。838278798081787977848010（3214）（21213）1.2.4拆并扩整法如果一个因数是5、25、125、625，另一个因数可拆成2n、4n、8n、16n的形式，这样可先拆分再合并最后扩整。721253891253（8125）（93)1.2.5提公因数法把相同因数提在外面将几个积的和写成几个因数相乘的形式就叫提公因数法。1256412536125（6436）8888999966667777811119111161111711111111（8967）301596.61.5340.1530159.66150.3415（309.660.34）151.2.6改变运算顺序法1.2.6.1根据运算定律变换顺序1.2.6.1.1加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。即a+b=b+a。例如：864+1236=1236+864=2100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。即（a+b）+c=a+（b+c）。例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 589281.2.6.1.2乘法运算定律【乘法交换律】两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。这叫“乘法的交换律”。即abba例如，80713865=13865807=11189055【乘法结合律】三个数相乘，先把前面两个数相乘，再与第三个数相乘；或者先把后面两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。这叫做“乘法的结合律”。即（ab）c=a（bc）例如，（427125）8=427（1258）=4271000=427000【乘法分配律】两个数的和乘以一个数（或者一个数乘以两个数的和），等于每一个加数分别乘以这个数（或者这个数分别乘以每一个加数）所得的两个积之和。这叫做“乘法对于加法的分配律”，简称“乘法分配律”。即（a+b）c=ac+bc；或者是a（b+c）=ab+ac。例如，（125+25）8=1258+258=1000+200=12001.2.6.2根据运算性质变换顺序连减的性质：abca(bc)除法的性质：ab（am）（bm）（am）（bm）（m0，n0）abca(bc）(ab)cacbc例如，42035=420（75）=42075（647581）（322527）（6432）（7525）（8127）9000012525890000（1258）（25）9131391113149613（9+11+6）13+（13+14）91.2.7根据和差积商的变化规律速算1.2.7.1和的变化规律（1） 如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。645+203=645+200+3=8453=848 397468=400468-3=868-3（2） 如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。 657309=（657+9）（309-9）=666+300=966154286=（1544）+（2864）=150290=（150-10）（29010）=4401.2.7.2差的变化规律（1） 如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，（a-d）-b=c-d。（ad+b）804355=8003554=4454449 593264=6002647=3367=329（2） 如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（ab+d），a-（b-d）=c+d。675298=6753002=3752=377458209=4582009=2589=249（3） 如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c。3520984=（352016）-（98416）=35361000=2526803345=（8033）-（3453）=800342=4581.2.7.3积的变化规律（1） 如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=c，那么（an）b=cn，（an）b=cn。1754=（257）4=（257）25425=7425=7（425）=7006825681004=68004=1700（2） 如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果ab=c，那么（an）（bn）=c，或（an）（bn）=c。24025=（2404）（2504）=601000=600004514=（452）（142）=902=1801.2.7.4商或余数的变化规律（1） 如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=q，那么（an）b=qn，（an）b=qn。54009=（5400100）9100=549100=6100=600（2） 如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=q，那么a（bn）=qn，a（bn）=qn。3600253600（254）4=36001004=364=144（3） 被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果ab=q，那么（an）（bn）=q，（an）（bn）=q。69000023000=（6900001000）（230001000）=69023=301200025=（120004）（254）=48000100=480（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果ab=q（余r），那么（an）（bn）=q（余rn），（an）（bn）=q（余rn）。例如，849=93，而（842）（92）=96（32），（843）（93）=91（33）1.2.8特殊因数乘法1.2.8.1 首同末合十的两位数相乘公式若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则它们的积为“首（首+1）100”做首，“末乘末”做末，即（10a+b）（10a+c）a（a+1）100+bc。例如，7278=（78）100+28=5616首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如256254=25（25+1）100+64=2526100+24=650241.2.8.2 末同首合十的两位数相乘公式若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则它们的积为：用两个十位数字的积加上一个个位数字所得的和作为积的千位、百位；积的末两位是个位数的平方。 即（10a+c）（10b+c）=（ab+c）100+c2。例如，3474=（37+4）100+42=25100+16=25161.2.8.3 两个末位是1，十位数字的和小于10的两位数相乘公式设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是：十位的乘积做积的前两位，十位相加做十位（和满十时要进位），再添写1。即（10a+1）（10b+1）10a10b+（a+b）10+1例如，5171=5070+（5+7）10+1=3500+120+1=3621。1.2.8.4 两个首位是1的两位数相乘公式设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。即（10+a）（10+b）（10+a+b）10+ab。例如，1716=（17+6）10+76=230+42=272。1.2.8.5 接近100的两个数相乘公式接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。（1）两个超过100的数相乘。设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=100+h，b=100+k。它们的积是先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积。即ab（100+h）（100+k）=（a+k）100+hk。例如，108112=（108+12）100+812=12000+96=12096。（2）两个不足100的数相乘。设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。即a b=（100h）（100k）=（a-k）100+hk。例如，8997=（89-3）100+113=8600+33=8633（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。设一个因数a比100大h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积。即ab=（100+h）（100-k）（a-k）100-hk。例如，10497=（104-3）100-43=10100-12=100881.2.8.6 首位相差1，末位数字之和是10这样两个数相乘，可用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算。 例如，1723=（20-3）（20+3）=202-32=400-9=3919486=（90+4）（90-4）=902-42=8100-16=80841.2.8.7 十位数相同的两位数相乘公式这样两个数相乘，可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。即（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）10a+bc 例如，4346=（43+6）40+36=19781.2.8.8 一因数两数字和是10，另一因数为11的倍数的两数乘法公式一个因数的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为11的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积。即（10a+b）（10c+c）=（a+1）c100+bc。例如，7344（7+1）4100+34=3212。1.2.8.9 个位数相同的两位数相乘公式这样两个数相乘，可先将两个十位数字相乘，再乘以100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。即（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。例如，4232=43100+（42+30）2=1344。1.2.8.10几十几与十几相乘公式这样两个数相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积。即（10a+b）（10+c）=10ac+（10a+b）10+bc。例如，6517=607+650+57=1105。1.2.8.11末两位为25的三位数自乘公式这样两个数相乘，可以用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1000倍，然后加上625。即（100a+25）2=（10a+5）1000a+625。例如，7252=（70+5）7000+625=5256251.2.8.12末两位为75的三位数自乘公式这样两个数相乘，可用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。即（100a+75）2=（10a+5）（a+1）1000+625。例如，8752=（80+5）（8+1）1000+625=7656251.2.8.13两位数乘11这样两个数相乘，它们的积是用这个两位数的十位数字做百位，个位数字做个位，个位和十位数字的和做十位（可这样记忆，“两头一拉，中间相加，满十向百位进1”）。即 （10a+b）11=100a+10（a+b）+b例如，2611=2100+（2+6）10+6=2861.2.8.14两位数乘9、99、999这样两个数相乘，它们的积是在这个两位数的后面添上和另一个因数中9的个数一样多的0、再减去两位数。85998500858415不难看出这类题的积：最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；最低位上的两位数，是100与被乘数的差；中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a0)，则如果两位数的个位数是1，例如31999=30999-30=30969 71999970999970709929。这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n1)的形式，其积为(10a1)(10n1)10n1a(10n1)10a。即（10a+b）99=（10a+b-1）100+100（10a+b） 例如，1399=（13-1）100+（100-13）=1287；9899=（98-1）100+（100-98）=97021.2.8.15三位数乘11这样两个数相乘，它们的积是用这个三位数的百位数字做千位，个位数字做个位，三位数前两位数字组成的数加上后两位数字组成的数的和做百位和十位。即（100a+10b+c） 11=1000a+10（10a+b）+（10b+c）+c例如，35811=31000+10(35+58)+8=393899911=91000+10(99+99)+9=109891.2.8.16两个相乘的两位数中一个数个位、十位数字相同，另一个数个位、十位数字和为十若一个两位数的十位、个位数字都是a，另一个