专题圆周运动临界.doc

第四章 专题：圆周运动的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。1与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。例题1、如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的倍求：(1)当转盘的角速度1 时，细绳的拉力F1；(2)当转盘的角速度2 时，细绳的拉力F2.【巩固训练】1如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心r120 cm，B离轴心r230 cm，A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍求：(1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度应满足什么条件？(2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？(3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细绳，则A、B将怎样运动？(g取10 m/s2)2与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。例题2、如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动(1)当v1 时，求线对小球的拉力；(2)当v2 时，求线对小球的拉力【巩固训练】2铁轨转弯处的弯道半径r是根据地形决定的弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.已知hr33。 (1)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为l1435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理)；(2)随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施二竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。2有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。见资料。例题3、现有一根长L1m的轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m0.5kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示不计空气阻力，g取10m/s2，则： (1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？(2)在小球以速度v14m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？(3)在小球以速度v21m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间【巩固训练】3如图所示，桥面为圆弧形的立交桥AB，横跨在水平路面上，桥高h，长为L10 h可以认为桥的两端A、B与水平路面的连接处是平滑的一辆质量为m的小汽车冲上圆弧形的立交桥，到达桥顶时的速度为.重力加速度为g。试计算：(1)小汽车在桥顶处对桥面的压力的大小；(2)若小车在桥顶处的速度为时，小车过项后将如何运动？训练题1(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RAr，RB2r，与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 ()A此时绳子张力为3mg B此时圆盘的角速度为C此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外D此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动2如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30，g取10 m/s2。则的最大值是()A. rad/s B. rad/s C1.0 rad/s D0.5 rad/s3如图所示，两个半径均为R的甲、乙大环，都在竖直平面内，甲环是粗糙的，乙环是光滑的，两个大环上套有相同的小环，让甲环绕圆心O在竖直平面内做沿逆时针方向的匀速圆周运动，甲环与小环的动摩擦因数为，小环相对大环静止的位置与大环圆心的连线与过圆心竖直线成一定角度；现让乙环绕过圆心的竖直轴做匀速圆周运动，结果小环相对大环静止的位置与圆心的连线与竖直轴所成角度与甲环中小环的情况相同，则乙环转动的角速度为()A. B. C. D.4用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为，线的张力为F，则F随2变化的图象是下图中的() 5(多选)半径为R的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶的最低点，如图所示，小车以速度v向右匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止时，小球在圆桶中上升的高度可能是（ ）A等于B大于 C小于D等于2R 第四章 专题：圆周运动的临界问题例题1、解析：设角速度为0时，物块所受静摩擦力为最大静摩擦力，有mgmr 得0 (1)由于1 0，故绳未拉紧，此时静摩擦力未达到最大值，F10.(2)由于20，故绳被拉紧，由F2mgmr得F2mg.【巩固训练】1解析：(1)当物块B所需向心力FBfm时，细线上张力为零，随着角速度的增大，当FBfm时，有kmgmr2，得0 3.6 (rad/s)当03.6 rad/s时，细线上不会有张力(2)当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值m，超过m时，A、B将相对圆盘滑动(设细线中张力为FAB.)对A有kmgFABmr1，对B有kmgFABmr2，解得m 4.0 (rad/s)(3)烧断细线时，A做圆周运动所需向心力FAmr13.2m，最大静摩擦力为4m，A物体随盘一起转动B此时所需向心力为FBmr24.8m，大于它的最大静摩擦力4m，因此B物体将沿一条曲线运动，离圆心越来越远例题2、解析:如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力FN0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知Fmgtan 30又Fmm由两式解得v0 (1)因为v1v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为，小球受力如图丙所示则FTsin FTcos mg0由两式解得FT2mg【巩固训练】2【解析】(1)转弯中，当内、外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力情况如图所示由牛顿第二定律得mgtanm因为很小，有tansin得v 代入数据得v15 m/s54 km/h.(2)有效措施有：适当增大内外轨的高度差h；适当增大铁路弯道的轨道半径r.例题3、解析(1)小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供最高点时小球做圆周运动的向心力，即mgm，解得v0m/s.(2)因为v1v0，故绳中有张力根据牛顿第二定律有FTmgm，代入数据得绳中张力FT3N.(3)因为v2v0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有L2(yL)2x2，xv2t，ygt2，代入数据联立解得t0.6 s【巩固训练】3 解析：(1)设圆弧半径为R，由几何关系得（2分）解得（1分）小汽车通过桥顶时做圆周运动，竖直方向受重力