等腰三角形与直角三角形.doc

1 等腰三角形与直角三角形 课前热身课前热身 1 如图 等边 ABC的边长为 3 P 为 BC 上一点 且 BP 1 D 为 AC 上一点 若 APD 60 则 CD的长为 A 3 2 B 2 3 C 1 2 D 3 4 2 如图 已知 ABC中 AB 17 AC 10 BC 边上的高 AD 8 则边 BC 的长为 A 21 B 15 C 6 D 以上答案都不对 3 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30 腰长为 4 cm 则其腰上的高为 cm 4 如图 在边长为 1 的等边 ABC 中 中线 AD 与中线 BE 相交于点 O 则 OA 长度为 参考答案参考答案 1 1 B B 2 2 A A 3 3 2 3 A C D B 第 2 题图 A D C P B 第 1 题图 60 2 4 4 3 3 考点聚焦考点聚焦 等腰三角线等腰三角线 1 等腰三角形的判定与性质 2 等边三角形的判定与性质 3 运用等腰三角形 等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题 直角三角形直角三角形 1 运用勾股定理计算线段的长 证明线段的数量关系 解决与面积有关的问题以及简单的 实际问题 2 运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形 3 折叠问题 4 将直角三角形 平面直角坐标系 函数 开放性问题 探索性问题结合在一起综合运 用 备考兵法备考兵法 等腰三角线等腰三角线 1 运用三角形不等关系 结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高 边 角的计算问题 并要注意分类讨论 2 要正确辨析等腰三角形的判定与性质 3 能熟练运用等腰三角形 方程 组 函数等知识综合 解决实际问题 直角三角形直角三角形 1 正确区分勾股定理与其逆定理 掌握常用的勾股数 2 在解决直角三角形的有关问题时 应注意以勾股定理为桥梁建立方程 组 来解 决问题 实现几何问题代数化 3 在解决直角三角形的相关问题时 要注意题中是否含有特殊角 30 45 60 若有 则应运用一些相关的特殊性质解题 4 在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时 常常通过作高转化为直角三角形 来解决 5 折叠问题是新中考热点之一 在处理折叠问题时 动手操作 认真观察 充分发挥 空间想象力 注意折叠过程中 线段 角发生的变化 寻找破题思路 3 考点链接考点链接 一 等腰三角形的性质与判定 一 等腰三角形的性质与判定 1 等腰三角形的两底角 2 等腰三角形底边上的 底边上的 顶角的 三线合一 3 有两个角相等的三角形是 二 等边三角形的性质与判定 二 等边三角形的性质与判定 1 等边三角形每个角都等于 同样具有 三线合一 的性质 2 三个角相等的三角形是 三边相等的三角形是 一个角等于 60 的 三角形是等边三角形 三 直角三角形的性质与判定 三 直角三角形的性质与判定 1 直角三角形两锐角 2 直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的 3 直角三角形中 斜边的中线等于斜边的 4 勾股定理 5 勾股定理的逆定理 典例精析典例精析 例例 1 1 湖北襄樊 在ABC 中 12cm6cmABACBCD 为BC的中点 动点 P从B点出发 以每秒 1cm的速度沿BAC 的方向运动 设运动时间为t 那么当 t 秒时 过D P两点的直线将ABC 的周长分成两个部分 使其中一部分 是另一部分的 2 倍 答案 7 或 17 解析 本题考查等腰三角形中的动点问题 两种情况 当点 P 在 BA 上时 BP t AP 12 t 2 t 3 12 t 12 3 解得 t 7 当点 P 在 AC 上时 PC 24 t t 3 2 24 t 3 解得 t 17 故填 7 或 17 例例 2 2 山东滨州 山东滨州 某楼梯的侧面视图如图所示 其中4AB 米 30BAC 90C 因某种活动要求铺设红色地毯 则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 4 答案 2 23 米 解析 掌握 30 所对的直角边等于斜边的一半 即可求解 例例 3 3 四川乐山 四川乐山 如图 AD CD AB 13 BC 12 CD 3 AD 4 则 sinB 等于 A 5 13 B 12 13 C 3 5 D 4 5 答案 A 解析 由 AD DC 知 ADC 为直角三角形 由勾股定理得 AC2 AD2 DC2 32 42 5 AC 5 在 ACB 中 AB2 169 BC2 AC2 52 122 169 AB2 BC2 AC2 由勾股定理的逆定理知 ABC 是直角三角形 sinB AC AB 5 13 例例 4 4 安徽 安徽 已知点 O 到 ABC 的两边 AB AC 所在直线的距离相等 且 OB OC 1 如图 1 若点 O 在 BC 上 求证 AB AC 2 如图 2 若点 O 在 ABC 的内部 求证 AB AC 3 若点 O 在 ABC 的外部 AB AC 成立吗 请画图表示 图 1 图 2 解析 1 过点 O 作 OE AB OF AC E F 分别是垂尺 由题意知 OE OF 又 OB OC Rt OEB Rt OFC B C B C A 30 5 AC AB 2 过点 O 作 OE AB OF AC E F 分别是垂足 由题意知 OE OF 在 Rt OEB 和 Rt OFC 中 OE OF OB OC Rt OEB Rt OFE OBE OCF 又 OB OC OBC OCB ABC ACB AC AB 3 不一定成立 当 A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时 有 AB AC 否则 AB AC 如 示例图 成立 不成立 点拨 本例从 O 点的特殊位置 BC 边的中点 探究图形的性质 再运用变化的观点 探究一般位置 点 O 在 ABC 内 点 O 在三角形外 下图形的性质有何变化 培养同学们 从不同的角度分析 解决问题的能力 拓展思维 提高综合解题能力 迎考精练迎考精练 一 选择题一 选择题 1 四川达州四川达州 如图是一株美丽的勾股树 其中所有的 四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若正方形 A B C D 的边长分别是 3 5 2 3 则最大正方形 E 的面 积是 A 13 B 26 C 47 D 94 2 甘肃白银 甘肃白银 如图 O的弦AB 6 M是AB上任意一点 且OM最小值为 4 则 O的半径为 A 5 B 4 C 3 D 2 6 3 山东济宁 山东济宁 赵爽弦图 是四个全等的直角三角形与中间一个 小正方形拼成的大正方形 如图 是一 赵爽弦图 飞镖板 其直角三角 形的两条直角边的长分别是 2 和 4 小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖 假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域 含边线 的概率是 A 1 2 B 1 4 C 1 5 D 1 10 4 浙江嘉兴 浙江嘉兴 如图 等腰 ABC中 底边aBC A 36 ABC 的平分线交AC于D BCD 的平分线交BD于E 设 2 15 k 则DE A ak 2 B ak 3 C 2 k a D 3 k a 5 湖北恩施 湖北恩施 如图 长方体的长为 15 宽为 10 高为 20 点B离点C的距离为 5 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 需要爬行的最短距离是 A 5 21 B 25 C 10 55 D 35 6 浙江宁波 浙江宁波 等腰直角三角形的一个底角的度数是 A 30 B 45 C 60 D 90 7 山东威海 山东威海 如图 AB AC BD BC 若 A 40 则 ABD 的度数是 A 20 B 30 C 35 D 40 8 湖北襄樊 湖北襄樊 如图 已知直线110ABCDDCF 且AEAF 则A 等于 A 30 B 40 C 50 D 70 B AD C A D C E B 第 4 题图 5 20 15 10 C A B 7 二 填空题二 填空题 1 四川泸州 四川泸州 如图 已知 Rt ABC 中 AC 3 BC 4 过直角顶点 C 作 CA1 AB 垂足为 A1 再过 A1作 A1C1 BC 垂足为 C1 过 C1作 C1A2 AB 垂足为 A2 再过 A2作 A2C2 BC 垂足为 C2 这样一直做下去 得到了一组线段 CA1 A1C1 12 C A 则 CA1 55 54 CA AC 2 四川内江四川内江 已知 Rt ABC 的周长是344 斜边上的中线长是 2 则 S ABC 3 3 四川宜宾 四川宜宾 已知 如图 以 Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形 若斜 边 AB 3 则图中阴影部分的面积为 4 湖南长沙 湖南长沙 如图 等腰ABC 中 ABAC AD是底边上的高 若 5cm6cmABBC 则AD cm 三 解答题三 解答题 1 河南 河南 如图所示 BAC ABD AC BD 点O是AD BC的交点 点E是AB的中 A C D B A F B C D E 8 点 试判断OE和AB的位置关系 并给出证明 2 浙江绍兴 浙江绍兴 如图 在ABC 中 40ABACBAC 分别以ABAC 为边 作两个等腰直角三角形ABD和ACE 使90BADCAE 1 求DBC 的度数 2 求证 BDCE 3 湖北恩施 湖北恩施 恩施州自然风光无限 特别是以 雄 奇 秀 幽 险 著称于世 著名 的恩施大峡谷 A和世界级自然保护区星斗山 B位于笔直的沪渝高速公路X同侧 50kmABA B到直线X的距离分别为10km和40km 要在沪渝高速公路旁修建 一服务区P 向A B两景区运送游客 小民设计了两种方案 图 1 是方案一的示意 图 AP与直线X垂直 垂足为P P到A B的距离之和 1 SPAPB 图 2 是 9 方案二的示意图 点A关于直线X的对称点是 A 连接 BA 交直线X于点P P到A B的距离之和 2 SPAPB 1 求 1 S 2 S 并比较它们的大小 2 请你说明 2 SPAPB 的值为最小 3 拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直 建立如图 3 所示的直角坐 标系 B到直线Y的距离为30km 请你在X旁和Y旁各修建一服务区P Q 使P A B Q组成的四边形的周长最小 并求出这个最小值 4 广东中山 广东中山 如图所示 ABC 是等边三角形 D点是AC的中点 延长BC到E 使CECD 1 用尺规作图的方法 过D点作DMBE 垂足是M 不写作法 保留作图痕迹 2 求证 BMEM B A PX 图 1 Y X B A Q P O 图 3 B A P X A 图 2 10 参考答案参考答案 选择题选择题 1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 B 8 B 解析 本题考查平行线的性质 等腰三角形的性质等知识 110ABCDDCF 所以 110EFBDCF 70AFE AEAF 70EAFE 40A 故选 B 填空题填空题 1 5 12 4 5 2 8 3 2 9 4 4 解答题解答题 1 OE AB 证明 在 BAC和 ABD中 11 ACBD BACABD ABBA BAC ABD OBA OAB OA OB 又 AE BE OE AB 2 解 1 ABD 是等腰直角三角形 90 BAD ABD 45 AB AC ABC 70 CBD 70 45 115 证明 2 AB AC 90BADCAE AD AE BAD CAE BD CE 3 解 图 1 中过 B 作 BC AP 垂足为 C 则 PC 40 又 AP 10 AC 30 在 Rt ABC 中 AB 50 AC 30 BC 40 BP 240 22 BCCP S1 10240 图 10 2 中 过 B 作 BC AA 垂足为 C 则 A C 50 又 BC 40 BA 41105040 22 由轴对称知 PA PA S2 BA 4110 1 S 2 S 2 如 图 10 2 在公路上任找一点 M 连接 MA MB MA 由轴对称知 MA MA MB MA MB MA A B S2 BA 为最小 3 过 A 作关于 X 轴的对称点 A 过 B 作