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高三数学综合测试题 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出 4个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 函数 y 1 ln x 1 的定义域是 A 1 B 0 1 1 C 0 2 2 D 1 2 2 2 如果复数 z a2 a 2 a2 3a 2 i 为纯虚数 那么实数 a 的值为 A 1 B 2 C 2 D 1 或 2 3 在 1 2 x n 的展开式中 各项数的和是 A 1 B 2 C 1 D 1 或 1 4 函数 f x 3sin x 4cos x cos x 的最小 正周期为 A B 2 C 2 D 4 5 过点 C 6 8 作圆 x2 y 2 25的切线于 点 P1 3 0 及 S3 255 求点 P3的坐标 2 若 C 的方程为x 2 a2 y 2 b 2 1 a b 0 点 P1 a 0 对于给定的自然数 n 当公差 d 变化时 求 Sn的最小值 3 请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及C 上的一点P1 对于给定的自然数 n 写出 符合条件的点 P1 P2 Pn存在的充要条 件 并说明理由 评析 本题以解析几何知识为载体 融 数列 不等式 函数于一体 命题设计注重各 知识间的横向联系 综合性较强 试题采用逐 层递进的方式 将数学能力要求逐步推进到 较高层次的几何推理和代数推理能力 六 数学建模 数学源于实际 又要回到实际 近几年高 考数学试题加大了对应用问题的考查力度 试题贴近课本 贴近生活 联系实际 关注社 会 在极广泛的现实生活 经济领域中抽象出 靠近课本的数学模型 例 8 2003 年全国高考题 在某海滨城市 附近海面有一台风 据监测 当前台风中心位于 城市 O 如图 的东偏南 arccos 2 10 方向 300 km的海面 P 处 并以 20km h 的速度向西偏 北45 方向移动 台风侵袭的范围为圆形区域 当 前半径为60 km 并以 10 km h的速度不断增大 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭 评析 前几年 应用题几乎年年都是高 雅的 艺术品 成为少数 贵族 的专利 多数 考生只能望题兴叹 近年应用题贴近生活 像 一曲曲大众喜闻乐见的 流行音乐 令广大 考生倍感亲切 有利于考生的正常发挥 有利 于客观 公正地区分各层次的人才 上述六个方面是从不同角度来考察的 事 实上 这些设计思路相互间水乳交融 在命题过 程中呈现出交叉混合的有机状态 由此设计出一 批批创新性试题 高考试题每年在稳定的基础上 有创新 在创新的基础上求发展 随着新教材 新 大纲的使用 可以相信 越来越多的创新试题必 将在高考中出现 随之而来的创新教学必将成为 中学数学教学的又一热点 36 高中数学教与学 2005 年 切点 A B 那么 C 到直线 AB 的距离为 A 15 B 15 2 C 5 D 10 6 已知函数 f x log2 ax 1 a 0 满 足关系式 f 2 x f 2 x 则实 数 a 的值是 A 1 B 1 2 C 1 4 D 1 7 一个学生通过某种英语听力测试的概率是 1 2 他连续测试 2 次 那么其中恰有 1 次获 得通过的概率是 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 3 4 8 设 函 数f x 是 可 导 函 数 并 且 lim x 0 f x0 2 x f x0 x 2 则 f x0 A 1 2 B 1 C 0 D 2 9 等轴双曲线 x2 y2 1 上一点 P 与两焦点 F1 F2连线互相垂直 则 PF1F2的面积 为 A 1 2 B 2 C 1 D 4 10 函数 f x ax2 1 x 的单调递增区间为 0 那么 实 数 a 的取 值 范围 是 A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 11 一小商贩准备用 50 元钱在一批发市场购 买甲 乙两种小商品 甲每件 4 元 乙每件 7 元 甲商品每件卖出去后可赚 1 元钱 乙每 件卖出去后可赚 1 8 元钱 若要使赚的钱 最多 那么该商贩购买甲 乙两种商品的件 数应分别为 A 甲 7 件 乙 3 件 B 甲 9 件 乙 2 件 C 甲 4 件 乙 5 件 D 甲 2 件 乙 6 件 12 函数 f x cos3x sin2x cos x 的最大 值等于 A 4 27 B 8 27 C 16 27 D 32 27 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 一个单位有职工160 人 其中有业务员120 人 管理人员24 人 后勤服务人员 16人 为 了了解职工的身体健康状况 要从中抽取 一定容量的样本 现用分层抽样的方法得 到业务员的人数为 15 人 那么这个样本容 量是 14 不等式 x 0 求证 ln a ln b 1 b a 37 第 6 期 高中数学教与学 21 本小题满分 12 分 已知曲线 C xy 1 过 C 上一点 An xn yn 作一斜率为 kn 1 xn 2 的 直 线 交 曲 线 C 于 另 一 点 An 1 xn 1 yn 1 点列 An n 1 2 3 的横坐标构成数列xn 其中 x1 11 7 1 求 xn与 xn 1的关系式 2 求证 1 xn 2 1 3 是一等比数列 3 求证 1 x1 1 2x 2 1 3x 3 1 nx n b 0 外一定点 A m 0 作一直线 l 交椭圆C于P Q 两点 又 Q 关于x 轴对称 点为 Q1 连结 PQ1交 x 轴于点B 1 若 AP AQ 求证 PB BQ1 2 求证 点 B 为一定点 a2 m 0 参考答案 一 选择题 1 D 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 B 9 C 10 A 11 D 12 D 二 填空题 13 20 14 x x 1 或 x 0 0 2 则 2 0 2 sin 2 1 5 cos 2 2 5 sin 2sin 2 cos 2 4 5 cos cos2 2 sin2 2 3 5 2 a b cos sin sin cos 5 13 即 sin 5 13 cos 12 13 sin sin sin cos cos sin 当 cos 12 13 时 sin 5 13 3 5 12 13 4 5 33 65 1 在 x 0 时 f x 0 在 1 x 0 时 f x 1时恒成立 令 1 x a b 0 则 x 1 x 1 1 x 1 1 b a 于是 ln a ln b ln a b 1 b a 因此 ln a ln b 1 b a 在a 0 b 0 时 成立 21 1 过 C y 1 x 上一点An xn yn 作斜率 为 kn的直线交 C 于另一点An 1 则 kn yn 1 yn xn 1 xn 1 xn 1 1 xn xn 1 xn 1 xn 1xn 1 xn 2 于是有 xnxn 1 xn 2 2 记 an 1 xn 2 1 3 则 an 1 1 xn 1 2 1 3 1 xn 2 xn 2 1 3 2 1 xn 2 1 3 2an a1 1 x1 2 1 3 2 0 因此数列 1 xn 2 1 3 是等比数列 3 由 2 可知 an 2 n xn 2 1 2 n 1 3 1 n xn 1 n 2 1 2n 1 n 1 3 在 n 为奇数时有 1 nxn 1 n 1 xn 1 1 2n 1 3 1 n 1 2n 1 1 3 1 n 1 2n 1 3 1 2n 1 1 3 2n 2n 1 2n 1 3 2n 1 1 3 2n 2n 1 2n 2 n 1 1 2n 1 2n 1 于是 在 n 为偶数时 1 x1 1 2 x2 1 n xn 1 2 1 22 1 23 1 24 1 2n 1 在 n 为奇数时 前 n 1 项为偶数项 于是 有 1 x1 1 2 2 1 n 1x n 1 39 第 6 期 高中数学教与学 1 n xn 1 1 nx n 1 xn 1 2 1 2 n 1 3 1 1 2n 1 3 0且 AQ1 AQ PB BQ1 又 P B Q1在同一直 线且PB 与BQ1同向 于是有PB BQ1 2 设过 A m 0 的直线 l 与椭圆C x2 a2 y 2 b2 1交于 P x1 y1 Q x2 y2 Q1与 Q 关于x 轴 对称 则 Q1 x2 y2 由x 2 1 a2 y21 b2 1 及 x22 a2 y 2 2 b2 1相减得 x1 x2 x1 x2 a2 y1 y2 y1 y2 b2 0 kPQ y1 y2 x1 x2 b2 a2 x1 x2 y1 y2 直线 PQ 的方程为 y y1 b2 x x2 a2 y1 y2 x x1 而 PQ 过 A m 0 则有 m x1 a 2y 1 y1 y2 b2 x1 x2 a2b2 b2x1x2 a2y1y2 b2 x1 x2 而 PQ1过 B xB 0 同理可求得 xB a2b2 b2x1x2 a2y1y2 b2 x1 x2 下面利用分析法证明 mxB a2 即证 a 2b2 b2x1x2 2 a2y1y2 2 b2 x1 x2 2 a2 只需证 a2b2 b2x1x2 ab2 x1 x2 a2b2 b2x1x2 ab2 x1 x2 a2y1y2 2 只需证 b2 a2 a x1 x2 x1x2 b2 a2 a x1 x2 x1x2 a2y1y2 2 即证 b4 a x1 a x2 a x1 a x2 a2y1y2 2 而 x1 y1 在椭圆上 则 b2 a2 x21 a21y21 同理 b2 a2 x22 a22y22 由 可知 成立 从而 式得证 因此 mxB a 2 成立 xB a2 m 点 B 为一定点 a2 m 0 另法 证 1 设 l 直线过 A m 0 和椭圆交于 P x1 y1 Q x2 y2 而 Q1与 Q 关于 x 轴对称 则 Q1 x2 y2 由AP AQ 得 y1 0 y2 0 0 y1 y2 0 PB BQ1 2 因AP AQ 故PA AQ m x1 x2 1 由PB BQ1 得 xB x1 x2 1 由 得 mxB x21 2 x22 1 2 又