各大数学中考压轴题详解.doc

各大数学中考压轴题详解xue35QQ:327926172第一题：（2008连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为1和2将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB，COD处，直角边OB，OD在x轴上一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知两点的坐标分别为设直线所对应的函数关系式为 有解得AOEGBFHNCPIxyM（答图）KII所以，直线所对应的函数关系式为 （2）点到轴距离与线段的长总相等因为点的坐标为，所以，直线所对应的函数关系式为又因为点在直线上，所以可设点的坐标为过点作轴的垂线，设垂足为点，则有因为点在直线上，所以有 因为纸板为平行移动，故有，即又，所以法一：故，从而有得，所以又有 所以，得，而，从而总有 法二：故，可得故所以故点坐标为设直线所对应的函数关系式为，则有解得所以，直线所对的函数关系式为 将点的坐标代入，可得解得而，从而总有 由知，点的坐标为，点的坐标为 当时，有最大值，最大值为取最大值时点的坐标为第二题：（2008沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）点在轴上理由如下：连接，如图所示，在中，由题意可知：点在轴上，点在轴上 （2）过点作轴于点，在中，点在第一象限，点的坐标为 由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为 抛物线经过点，由题意，将，代入中得 解得所求抛物线表达式为： （3）存在符合条件的点，点理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2 依题意设点的坐标为点在抛物线上解得，yxODECFABM以为顶点的四边形是平行四边形，当点的坐标为时，点的坐标分别为，；当点的坐标为时，点的坐标分别为，第三题：（未知）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）(1) 点A的坐标是_，点C的坐标是_； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=AC；(3) 设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由 解：(1)（4，0），（0，3）； (2) 2，6； (3) 当0t4时，OM=t由OMNOAC，得， ON=，S= 当4t8时，如图， OD=t， AD= t-4 方法一：由DAMAOC，可得AM=， BM=6- 由BMNBAC，可得BN=8-t， CN=t-4 S=矩形OABC的面积-RtOAM的面积- RtMBN的面积- RtNCO的面积=12-（8-t）（6-）-= 方法二：易知四边形ADNC是平行四边形， CN=AD=t-4，BN=8-t 由BMNBAC，可得BM=6-， AM= 以下同方法一 (4) 有最大值方法一：当0t4时， 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大， 当t=4时，S可取到最大值=6； 当4t8时， 抛物线S=的开口向下，它的顶点是（4，6）， S6 综上，当t=4时，S有最大值6 方法二： S= 当0t8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示 显然，当t=4时，S有最大值6第四题：（2008郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF（1） 求证：BEF CEG（2） 当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABDG 所以所以 （2）的周长之和为定值 理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H ，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH因此，的周长之和等于BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 理由二：由AB5，AM4，可知 在RtBEF与RtGCE中，有：，所以，BEF的周长是， ECG的周长是又BECE10，因此的周长之和是24 （3）设BEx，则所以 配方得： 所以，当时，y有最大值 最大值为第五题：（2008镇江）如图，在直角坐标系xoy中，点P为函数在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，于C，Q，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线有无其它公共点？并说明理由 解： （1）解法一：由题可知，即为的中点）解法二：， 又轴， （2）由（1）可知， ，又，四边形为平行四边形 设，轴，则，则过作轴，垂足为，在中，平行四边形为菱形 （3）设直线为，由，得，代入得： 直线为 设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，解得得公共点为所以直线与抛物线只有一个公共点第六题：（2008无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且AOC=600，；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值 解：（1）过作轴于，BADOPCxy图1，点的坐标为 （2）当与相切时（如图1），切点为，此时，yxBCPOAE图2，当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，过作于，则， ， 当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，yxAFCBPOGH图3 过作轴于，则，化简，得，解得，所求的值是，和第七题：(2008辽宁)如图，在RtABC中，A=900,AB=AC,BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GFDE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB,AC上，且G,F分别是AB,AC的中点（1）求等腰梯形DEFG的面积；（2）操作：固定ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEFG（如图15）探究1：在运动过程中，四边形BDGG能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由探究2：设在运动过程中ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式AFG(D)BC(E)图6M 解：如图6，（1）过点作于，为中点 又分别为的中点FGABDCE图7M 等腰梯形的面积为6 （2）能为菱形 如图7，由，四边形是平行四边形当时，四边形为菱形，此时可求得当秒时，四边形为菱形FGABCE图8QDP（3）分两种情况：当时，方法一：，重叠部分的面积为：当时，与的函数关系式为 当时，设与交于点，则，作于，则重叠部分的面积为：第八题：（未知）如图，已知半径为1的O1与x轴交于A，B两点，OM为O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与OO1M相似若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）圆心的坐标为，半径为1，二次函数的图象经过点，可得方程组解得：二次函数解析式为 （2）过点作轴，垂足为 是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）yAHFMOP1P2O1xB在中，为锐角， ，在中，点坐标为 设切线的函数解析式为，由题意可知， 切线的函数解析式为 （3）存在 过点作轴，与交于点可得（两角对应相等两三角形相似）， 过点作，垂足为，过点作，垂足为可得（两角对应相等两三角开相似）在中，在中， 符合条件的点坐标有，第九题：（未知）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在C上（1）求ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）作轴，为垂足，半径 ， （2），半径，故， （3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为 设抛物线解析式 把点代入上式，解得 （4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形且轴，点在轴上 又，即又满足，点在抛物线上所以存在使线段与互相平分第十题：（2008芜湖）如图，已知 ，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C（1）求C点坐标及直线BC的解析式;（2）抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P 解： （1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：ABOACD， 由已知，可知： C点坐标为 直线BC的解析是为： 化简得： （2）设抛物线解析式为，由题意得： ， 解得： 解得抛物线解析式为或又的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去满足条件的抛物线解析式为 （准确画出函数图象）（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上 由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为如图，设与y轴交于E点，过E作EFBC于F点，在RtBEF中，可以求得直线与y轴交点坐标为 同理可求得直线与y轴交点坐标为 两直线解析式；根据题意列出方程组： ；解得：；满足条件的点P有四个，它们分别是，第十一题：（2008仙桃）如图，直角梯形OABC中，ABCD,O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2），BCO= 60，OHBC于点H.动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.（1）求OH的长；（2）若OPQ的面积为S（平方单位）. 求S与t之间的函数关系式.并求为何值时，OPQ的面积最大，最大值是多少？（3）设PQ与OB交于点M.当OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值. 探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论. 解：（1） 在中， , ， 而 为等边三角形 （2） = （）即 当时，（3）若为等腰三角形，则：（i）若， 即解得：此时（ii）若， 过点作，垂足为，则有：即解得：此时（iii）若，此时在上，不满足题意. 线段长的最大值为第十二题：（2008宜昌）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示m，n是常数， m1，n0（1）请你确定n的值和点B的坐标；（2）当动点P是经过点O，C的抛物线yaxbxc的顶点，且在双曲线y上时，求这时四边形OABC的面积 .解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，POC的面积Smz， z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m，故OA2，n2 . 同理，AB1，故点B的坐标是(1，2).(2)解法一：抛物线yaxbxc经过点O(0，0)，C(m ，0),c0，bam，抛物线为yaxamx，顶点坐标为(，am2).如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，这时抛物线l不存在, 故不存在m的值.当点P与C重合时，双曲线y不可能经过P,故也不存在m的值.(说明：任做对一处评1分，两处全对也只评一分)当P在AB上运动时，即当02,与 x1不合，舍去.容易求得直线BC的解析式是：，当P在BC上运动，设P的坐标为 (x,y)，当P是顶点时 x，故得y，顶点P为(，)，1 x2，又P在双曲线y上，于是，化简后得5m22m220, 解得,与题意2xm不合,舍去.故由，满足条件的只有一个值：.这时四边形OABC的面积.第十三题：（2008襄樊）如图15，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E（1）求OE的长；（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把FAC分成面积之比为1：3的两部分？ 解：（1）四边形是矩形，又，即，解之，得 （2）如图4，过作于， ， 因点为坐标原点，故可设过三点抛物线的解析式为解之，得 （3）抛物线的对称轴为，其顶点坐标为设直线的解析式为，则解之，得设直线交直线于，过作于或，或，或或，即或， 直线的解析式为当时，直线的解析式为当时，当秒或秒时，直线把分成面积之比为的两部分第十四题：（2008兰州）如图19-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图19-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t（0t5）秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标 解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，在中，点坐标为（2，4）在中， 又 解得：点坐标为 （2）如图，又知，yxBCOADE图PMNF， 又而显然四边形为矩形 ，又当时，有最大值 （3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图）在中，为的中点，又，为的中点过点作，垂足为，则是的中位线，当时，为等腰三角形此时点坐标为 （ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图）在中，过点作，垂足为yxBCOADE图PMNF，当时，（），此时点坐标为 综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或ABCDOy/km90012x/h4第十五题：（10分）（2008南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？解：（1）900； （2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇 （3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为； 当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h （4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得解得所以，线段所表示的与之间的函数关系式为 自变量的取值范围是 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h把代入，得此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75hyOADxBCENM第十六题：（2008江苏南通）已知双曲线与直线相交于A、B两点第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点过点B作BDy轴交x轴于点D过N（0，n）作NCx轴交双曲线于点E，交BD于点C（1）若点D坐标是（8，0），求A、B两点坐标及k的值（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求pq的值 解：（1）D（8，0），B点的横坐标为8，代入中，得y=2B点坐标为（8，2）而A、B两点关于原点对称，A（8，2）从而 （2）N（0，n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，B（2m，），C（2m，n），E（m，n） S矩形DCNO，SDBO=，SOEN =， S四边形OBCE= S矩形DCNOSDBO SOEN=k 由直线及双曲线，得A（4，1），B（4，1），yOAxBMQA1PM1C（4，2），M（2，2）设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 解得直线CM的解析式是 （3）如图，分别作AA1x轴，MM1x轴，垂足分别为A1、M1设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为a于是同理， 第十七题：（08江苏宿迁）如图，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与相切；(2)当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式；(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值解：(1) 四边形为正方形 、在同一条直线上 直线与相切；(2)直线与相切分两种情况: 如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)由得，故直线的函数关系式为；如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)由得，故直线的函数关系式为.(3)设,则,由得.第十八题：（08江苏泰州）已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）。（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足23，试求实数k的取值范围。（5分）解：（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3) （只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）将（0，）代入，解得a=.抛物线解析式为y=x2+x- （无论解析式是什么形式只要正确都得分）画图（略）。（没有列表不扣分）（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。（3）由函数图像或函数性质可知：当2x3时，对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k0），y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2y1，