一道模拟测试题的来源、解法及教学启示.pdf

第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 数学教学研究 2 7 一道模拟测试题的来源 解法及教学启示 王弟成 连云港市教育局教研室2 2 2 0 0 6 一道考题学生解答不好 原因是多方面 的 调查学生为何不会 回答很简单 想不 到 想不到 说明学生头脑中积累的解决问 题模型 经验 不牢固 与现有问题情境联系 不上 无法沟通 不会用 想不到 说明学生 解题遇到困难时不会想 不会提取信息 转化 能力不强 不会变通使用条件 不能自我 突 出重围 想不到 说明教师解题教学中对解 题方法的讲解 没有立足学生如何能 想得 到 没有顺应学生思维发展 让学生形成 想 得到 的能力 造成现在学生普遍是面对熟题 不一定做得好 生题一定做不好 本市一次模 拟考试一道应用题突出暴露这种问题 无独 有偶2 0 1 2 年江苏省数学第1 7 题应用题也出 现了了同样的问题 大面积 好学生 不会做 想不到 或选择解决方法不好 做不出 本 文借助对模拟考题的来源 解法 思路进行分 析 分析解法的形成对平时复习教学的启示 以期对高三学生考前复习有所帮助 对教师 教学有所启发 引起教师的教学重视 以让学 生高考面对 生题 想得到 应对之法 1 试题及考试情况简介 题目如图1 在C 城周边已有两条公路z Z z 在点O 处交汇 且它们 的夹角为7 5 已知0 C 2 6 k m O C 与公 路z 的夹角为4 5 现规 图1 划在公路Z f 上分别选择A B 两处为交汇 点 异于点0 直接修建一条公路通过C 城 设G I A zk m O B 一3 k 肌 I 求y 关于z 的函数关系式并指出 它的定义域 试确定点A B 的位置 使 0 A B 的面积最小 本题满分设置为1 4 分 第1 问6 分 第 2 问8 分 全市共约有3 万名考生参加考试 考试结果有关数据如下 全市平均分约2 0 1 分 5 2 学生得1 4 分 8 学生得分在1 0 分 以上 1 0 1 学生得分在6 分以上 4 2 3 学 生有分 5 7 7 学生得 分 与最后一题压轴 题得分基本持平 文理科学生得分情况未做 比较 从数据发现问题主要是学生不能有效 建立y 与z 之间函数关系 从而导致第2 问 也无法得分 调查学生为何如此 悲惨 得到 的答复基本一致 想不到 用面积法 2 试题构思简析 新教材苏教版 必修5 第3 章 不等式 中第9 0 页 基本不等式 一节给出例3 过点P 1 2 的直线z 与z 轴的正半 轴 y 轴的正半轴分别交于A B 两点 当 A o B 的面积最小时 求直线z 的方程 此题教材介绍方法如下 设点A 口 o B 0 6 n 6 0 则直线 z 的方程为詈 一l 又点 1 2 在直线z 1o 上 所以有三 一1 c 又因为 19几厂 1 一吉 吉 2 盖 即n 6 8 基金项目 江苏省教研第十期立项课题 高中数学教学中培养学生自主发展能力研究 课题批准号z 0 1 3 J K l o 1 3 6 万方数据 2 8 数学教学研究第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 所以 11 S 脚一音面 音 8 4 等号成立的条件是音一寺 1O 又音 音一1 所以口2 2 6 4 所以所求直线方程为 詈 孚一1 即2 z y 一4 一o 教材给出此例题主要是体现解析几何与 代数相结合 重点是说明基本不等式的综合 应用 但在教师的实际教学中特别是高三复 习教学中教师还会介绍其它方法 如设直线 方程 引进参数愚 或设角等 这在各种课例 与复习资料中也都有呈现 所以学生非常熟 悉 解法脱口而出 形成定势 从教材解法中我们看到 若设直线z 的 截距式方程为詈 孛2 1 代人点 1 2 则有 吉 音2 1 这表明若一条直线过定点 1 2 两截距口 6 之间恒有定值关系吉 告 1 换 言之以 6 之间可以建立函数关系6 差等 口 1 且 A O B 的面积存在最小值 这一结 论是否可以推广到一般情形呢 事实上 将 这一结论推广到非直角三角形中 角边之间 同样也有这样的定值关系 且对应的三角形 面积仍存在最小值 即 张角定理在 A B C 中 D 是B C 边上 一点 连结A D 那么 i 翌么旦丛旦上 i 里么盟旦一璺i 望 旦 g A CA BA D 根据张角定理 我们将例题中的直角改 为7 5 角 主要是为了出现特殊角3 0 和4 5 角 方便计算 而对于7 5 的三角函数值是要 求学生自己求的 再结合三角函数定义 把点 的坐标 1 2 换成了距离和角度 即 0 C 2 6 么 A 4 5 再把 詈一1 定值关 系 改变成 求y 关于z 的函数关系式 符 合应用题的命题思路 第2 问与教材例题相 比 由于没有直角坐标系 不好求直线A B 的 方程 故仍是求三角形面积的最小值 这样经 过改编原例题解析几何背景变为解三角形背 景 但其原有的解题方法仍可借鉴 迁移使 用 且根据已知条件的变化 特别是出现已知 角度为特殊角后 又增加新的解法 改编后即 可以用解三角形知识求解 也可以建立平面 直角坐标系 用解析法求 应该说解题人口的 路子是比较宽的 改编后本题有5 种常见解法 见后面考 题的5 种常见解法 然而却有5 7 7 学生 得 分 也只有 5 2 学生得满分 1 0 1 学 生得分在6 分以上 一多半的学生得 分 大批量学生面对新闻题无从下手 找不到解 题思路 或是一边思三角 一边又想解析 左 右摇摆 飘忽不定 又有找到思路却因运算量 大计算不下去 又不会及时调整思路 花大量 考试时间却无功而返 既解答不出本题 也影 响后续问题的解答 一道教材的改编拓展题 一道教师都作为 经典 题型复习的类似题 却考出这样的结果 固然有试题本身的原因 但现存高三数学复习现状 资料多 练习多 讲授多 学生只能解答 见过题型 一新就 死 特别是学生的学习能力 探究能力 自主 解决问题 自主反思能力等综合能力的培养 不到位不能不引起我们深思 3 考题的5 种常见解法 下面重点给出本题第l 问题的解答 第 2 问只要运用基本不等式 或求导即可解决 解法1 I 由图1 知 A O C 与 B O C 的面积之和等于 A o B 的面积 即 丢z 饵晰 S i n 4 5 丢y 征蛳 s i n 3 0 万方数据 第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月数学教学研究 2 9 一丢z y s i n7 5 o1 即等z 沂协 告y 听协 一华劬 化简得 上上丝一土 z v2 y 一磐 z 2 A 0 归的面积 s 一丢z y s i n7 5 一华z y 3 1z 2 卟 2z 一2 一学 纠 刍 4 掣 8 4 捂 1 当且仅当z 一4 时取等号 此时y 一4 厄 故 0 A 一4k m O B 4 拉k m 时 A O B 面积为 4 瓶 k m 2 解法2 以0 A 所 在的直线为f 轴 以过点 O 且垂直于G I A 的直线 为s 轴 建立如图2 所示 的平面直角坐标系 因 为 2 6 J l纵 q Ai 图2 么A 4 5 所以点P 厄 幅 c s4 5 压 厢 s i n4 5 设直线A B 方程为 5 一听 厢 s i n4 5 一忌 一 厄 厢 c o s4 5 即s 一 1 据 一 1 艄 直线C A 的方程为s 2 t a n7 5 t 即 产 2 压 直线O B 的方程为s o 解之得 铲譬嚣铲 一盟半 所以0 B 塑 掣 以i 丽 志一 2 3 压 万 1 2 志一1 点一 2 佰 一 掣 z 盟 掣 2 由 2 得 忌一掣 3 3 十l z 将 3 代入 1 得 y 一磐 z 2 当忌不存在时 易知y 与z 也满足所求 的函数关系式 解法3 以O A 所在的直线为f 轴 以过 点0 且垂直于0 A 的直线为s 轴 建立平面 直角坐标系 由已知设O A z 0 B y 又因 为么A o C 一4 5 么B 0 c 一3 0 么A O B 7 5 所以A z O B y c o s7 5 y s i n7 5 C O C c o s4 5 0 C s i n4 5 又因为A B C3 点共线 所以根据直线斜率公式有 v s i n7 5 一 C s i n4 5 V S l n b L S l n4 b h 一 一 v c o s7 5 一o C c o s4 5 V C O S b L C o S4 b 化简得 C s i n4 5 0 s i n4 5 s i n3 0 s i n7 5 y zO C 去 譬一丢 z 了 6 万方数据 数学教学研究第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 易验证 当斜率不存在时 y 与z 也满足 上式 解法4 I 设么o A C 口 在 O A C 中 由正弦定理得 0 Cz s i n 口 s i n 曰 4 5 三一 垒i 望旦 z C s i n 口 4 5 在 O B C 中 么B 1 0 5 口 么0 强 4 5 口 由正弦定理得 O C v 一 一 s i n 1 0 5 0 一口 s i n 口 4 5 厄 y 一厄s i n 1 0 5 一口 0 C s i n 口十4 5 即上 焦 z y 一 i 望旦 J 2 设么o m 口 在 O A C 中 由正弦 定理得 兰一一一j 至 s i n 口 s i n 口 4 5 l Z 征 C 心C 中 么B 2 口一3 0 由正弦足理得 击 焉 s i n 口s i n 口一3 0 0 2 一 2s i n a 一3 0 一 二 y 0 C S i n 口 一磊 一嚣 所以 三 譬 鑫瓶 1 丢 磐 z 2 解法5 如图3 过 点C 作C D 0 B 则 么C D 0 1 0 5 在 o c D 中 由正弦定理得 旦一鳗 s i n4 5 s i n1 0 5 即 一案筹 S l n 上U 0 0 DO C s i n3 0 0s i n1 0 5 案警 S I n 上U a 又因为C D 0 B 所以 C DA D O BA 0 图3 C s i n4 5 C s i n3 0 百i 而丁z 一百i 而万 y z 即鳗亟箜 查吐丝玉型 z s i n4 5 s i n3 0 0s i n7 5 了卞了一百 y z U 乙 上上辽一上 z v2 4 解法形成的思路分析及教学复习启示 4 1 回归教材 深入挖掘例习题功能 由于教材例习题是经专家反复打磨的示 范题 所以一直是各级考试的首选题源 此题 从教材例题出发 作了一定改编处理 设问发 生变化 但本质并没有变化 然而学生却解答 不好 这就启示我们高三复习必须回归教材 发挥教材题的基础作用 对教材中公式 性 质 定理等应用方法再提炼 对教材中的精典 例习题再深入挖掘 特别是对特殊化情况再 做一般化处理 追求更一般的结论 也可变换 例习题的情境 重新包装 置学生于陌生解答 情境中 检验学生对问题掌控能力 当然更需 要从数学整体角度出发 重新设计 以考查学 生的创新能力 万方数据 第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 数学教学研究 3 1 4 2 充分使用图形信息 揭示隐含条件 解法1 主要是通过图形中3 个三角形面 积之间关系 即S 髓 S 厶忧一S 蚴B 沟通 O B y 与0 A z 之间函数关系 这也是证明 张角定理最简单的方法 然而学生普遍反映 想不到 看不出来 一多半的 分也验证了 学生确实 想不到 调查反映部分教师也没 有想到面积法 个别教师甚至认为 此方法技 巧太高 不应该出现在考题中 果真如此吗 用面积的方法求解真是想不到的技巧吗 学 生为什么想不到呢 怎样才能自然想到呢 用么A O C 么B O C 一么A O B 是不是技巧呢 用A C C B A B 是不是技巧呢 怎么到了 用S 耽 S 饼 S 幽B 就变成了技巧 A C C B A B 与S 脱 S 伽B 本质上 不是同一条件吗 初中生都会转化 等高两三 角形面积之比等于对应三角形两底边之比 S 髓 S 撇一S 幽B 变成了技巧方法的真 正原因是教师没有教过这种方法 或者是教 师也没有想到用面积的方法 或是学生对 A C C B A B 与S c S J 厶 S 狮 本 质一致缺乏深入理解 与学生座谈深入分析 我们发现 学生对于解三角形的问题总是想 到正弦定理与余弦定理 教师也基本如此 总是要找 方法 没有方法就不会解题 事实 上 面对这样一个图形 小学生也知道的关 系 到了高三却成了 解题技巧 造成这种现 状的原因除了定势思维以外 学生真正缺乏 的是没有挖掘图形信息的思维方式 图形信 息也是信息 是无声的语言 需要我们去揭 示 无论是解三角形题 还是解析几何题都应 充分利用图形信息 解法3 的核心就是利用 B C A3 点共线 借助斜率关系 直接建立y 与z 之间等式关系 当然也可以用向量共线 解决 且不需考虑斜率是否存在情况 B C A3 点共线也是图形信息 需要学生自己去 发现 合理使用 问题启示我们 数形结合 还没有真正 融合 思想方法教学不能停留在口头上 学 生对函数图像的 形 以及解析几何中的 形 比较熟悉 容易想到 而对几何图 形 却经 常 想不到 事实上 解三角形除用正余弦定 理外 也可以通过作辅助线化为 直角三角 形 求解 解析几何问题也经常离不开平几方 法 向量问题也会与平几方法相辅相承 立体 几何当然更离不开图 形 总之 有图形出现 就应充分利用图形信息 应形成一种解题观 念 4 3 等价转化 变换使用条件 学生若直接使用A C C B A B 再结合 余弦定理 有 A C 2 z 2 砸晰 2 一纫讵舶 瞄4 5 0 B C 2 一y z 砸舶 2 一矽讵舶 0 s3 0 P A B 2 z 2 2 z y c o s7 0 此时有 2 W 6 2 一红 2 斗 6 0 0 84 5 夕 砸舶 z 一勿沂舶 o o s 酊 一 护 一2 2 3 c o s7 5 0 面对这样一个含有3 个根式的式子需二 次平方 学生害怕而不敢前行 解题方法若有 多条 对方法的选择本身就一种能力 考纲对 学生创新意识的考查要求是 能够综合 灵活 运用所学的数学知识和思想方法 创造性地 解决问题 创造性地解决问题就应包含对解 题方法的选择 灵活也应要求学生能够预测 一种方法的繁难程度 有时可行不可取 从而 选择可行又可取的简捷解决方法 要求学生 对自己的思维随时 监控 调控 这就是综 合能力 面对 可怕 的式子 无法走下去 是 放弃 还是转向 就需要寻求其等价使用条 件 就本题 其一是向面积转化 即使用 S 厶髓 S 血优 我们更习惯于将面 积关系化为线段关系 反之不习惯 其二是 寻求其他 行走 方式 化边为角还有正弦定 理 且是一次的 即在 A O C 中由正弦定理 万方数据 3 2 数学教学研究第3 3 卷第5 期2 0 1 4 年5 月 得 z s i n4 5 乙一面Z 甭茹 在 B O C 中由正弦定理得 B C 一端 在 A O B 中由正弦定理得 A B 掣坠譬 所以有 z s i n4 5 y s i n3 0 0v s i n7 5 0 s i n 么A C O s i n 么B O O s i n A 而在 A O C 中由正弦定理得 堕一墨 s i nAs i n 么A C O 所以有 z s i n4 5 0 v s i n3 0 v s i n7 5 j 一1 j 一一 及 即学 掣 警 VZ乙L 这就在 等价转化 思想引导自然寻得解决问 题的思路 方法 没有这样的思维 怎能寻得 方法 方法是想到的 不能都指望平时见过 问题启示我们平时复习中没有对此类思 维的深刻认识 考试恐怕是想不到的 学生缺 的正是等价转化意识 教学中要摒弃题型教 学 深入分析 学会从不同角度使用条件 学 会灵活转化条件 学会 监控 思维 调控 思 维 调整思路 选择思路 优化思路 真正培养 学生的能力 考试才会产生自然想到方法 特 别是要培养学生自主解决问题能力 置学生 于困难情境中 让学生自己走出来 4 4 解题应抓住问题本质 以不变应万变 进一步分析图形 由于么A o B 7 5 是固 定的 所以o A o B 之间的关系 是受直线 A B 变化的影响的 若A B 固定 此时一切皆 定 此时又有两种切入方式 其一是 建立坐