水箱的水流量估计.docx

水箱的水流量估计摘要本文主要讨论了水箱在任意时刻流量随时间的变化问题。对于问题一，应用EXCEL公式将所给的原始数据化为标准形式得到时间中点与平均流量值，用matlab软件的三次样条插值函数计算出水泵工作时空缺的流量值，做出时间流量散点图，观察点的分布特征，考虑其最佳的拟合函数形式，最后通过matlab曲线拟合得到在一天内时间与流量的函数关系式：fx=97566-16.8x3+0.013x5-83143cos0.1x-27478sin(0.1x)在该模型中应用曲线插值和曲线拟合得到时间与流量的关系式，最后利用水泵泵水速度为常数这一原理来检验模型的拟合程度，操作简单结果真实。关键字：时间中点 平均流量 曲线插值 多项式拟合 一、问题重述准确地对短时段水塔水流量的预测在良好的用水管理机构中越来越成为至关紧要的一个步骤，对各个城镇的发展也具有重要的意义。许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，只能测量水箱中的水位，试通过测得的某时刻水箱中的水位的数据，估计在任意时刻t流出水箱的流量f(t)。二、模型假设1、忽略水位高度对流量的影响（根据托里拆利定律V=22gH）；2、影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求；3、水泵泵水速度为常数；4、从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；5、流量与水泵是否工作无关。三、符号说明t: 时间V: 水箱的水量Vt: t时刻水箱的水量ft: 任意t时刻流出水箱的流量P: 水泵的泵水速度四、模型建立与求解4.1模型分析问题要求是分析水箱流量与时间的关系，因此我们需要得到具体时间点所对应的流量数据，由于原始数据中只有一个时间段所对应的水量变化值，于是我们用一个时间段的平均流量作为该时间段时间中点所对应的流量值，然后再通过曲线插值拟合得出时间和流量的函数关系式。4.2数据处理首先我们要将表中数据换算为标准单位制，其中：时间用小时（h）、水箱水量用加仑（G）换算公式有：1E=0.3024m ， 1m3=1000L, 1L=7.481G用EXCEL公式进行换算，结果如表一：表一：时间与水量表时间（h）水量（103G）时间（h）水量（103G）0606.112.95639.510.92593.6913.88622.321.8458314.98604.572.95571.5515.9589.33.87562.5716.83574.984.98552.0717.93558.765.9544.0619.04542.537.01533.5619.96528.217.93525.3520.84514.858.97514.8522.02泵水9.98泵水22.96泵水10.93泵水23.88663.3710.95677.6824.99648.4812.03657.6425.91637.6平均流量v:v=区间左端水量-区间右端水量时间间隔用EXCEL公式进行计算，计算结果为表二：表二：时间中点与平均流量表时间中点（h）平均流量(103G)0.4613.491.3811.622.410.323.419.764.439.465.448.716.469.467.478.928.4510.19.48#VALUE!10.46#VALUE!10.94#VALUE!11.4918.5612.4919.7113.4218.4814.4316.1415.4416.616.3715.417.3814.7518.4914.6219.515.5720.415.1821.43#VALUE!22.49#VALUE!23.42#VALUE!24.4413.4125.4511.834.3数据插值在数据中水泵工作时的流量数据并没有给出，为了模型拟合的准确性，我们采用三次样条插值作出水泵泵水时水从水箱流出的流量值(即时间点9.48h、10.46h、10.94h、21.43h、22.49h、23.42h对应的流量值)，并作出时间流量的散点图（程序见附录一），散点如图一;表三：插值所得空缺的流量值时间（h）9.4810.4610.9421.4322.4923.42流量（G）127511571117117147141449014190 图一：时间中点平均流量散点图4.4曲线拟合从图一中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式进行拟合，而应用曲线拟合的最小二乘法。我们选择1，x3,x5,sin0.1x,cos(0.1x)作为基函数拟合得到时间流量的函数关系式（程序见附录二），拟合图像如图二：图二：函数拟合图像得到的时间流量函数式为：fx=97566-16.8x3+0.013x5-83143cos0.1x-27478sin(0.1x)其中0x24(h)。 该模型拟合得到的是一天内流量随时间的函数式，根据经验如果该天没发生特殊原因每天的用水量和用水时段应该大致一样，因此我们可以将此模型推广到任意一天的用水量随时间的变化关系： 若t24,则 x=tft=97566-16.8x3+0.013x5-83143cos0.1x-27478sin(0.1x) 若t24,则x=t-24k, k=1,2,3 ft=97566-16.8x3+0.013x5-83143cos0.1x-27478sin(0.1x)其中0x24。4.5误差估计用MATLAB软件做出拟合结果的残差图（图三）：从残差图可以看出，所有数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型fx=97566-16.8x3+0.013x5-83143cos0.1x-27478sin(0.1x)能较好的符合原始数据。4.6验证泵水速度为常数如果该模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的泵水周期中，按此模型计算出的水泵泵水速度应近似为常数；而在水泵工作时水的体积平均变化速度VT应近似等于水泵我泵水速度P减去此段时间水从水箱流出的平均速度。即：P=VT+f(t)dtT此处f(t)dt为f(t)在泵水区间T两端的定积分。于是通过检验两个泵水期间的泵水速度是否为同一常数来检验该模型的误差(定积分求解过程见附录三)。第一段泵水的始停时间及水量：T始=8.97h ，V始=514850GT末=10.93h , V末=677100（G）故V1T1= V末-V始T末-T始=82865（G/h）P1=82865+1T1 8.9710.93f(t)dt=82865+13955=96820(G/h)第二段泵水的始停时间及水量：T始=20.84h , V始=514850GT末=22.96h ,V末=677100（G）故V2T2=T末-T始V末-V始=76569(G/h)P2=76569+1T2 20.8422.96ftdt=76569+12525=89094(G/h)相对误差：=P1-P2P1=96820-8908496820=7.9%所以P2、P1相差仅为7.9%，此结果足以支持该模型。六、模型评价与推广6.1模型的优点1、该模型验证了泵水速度为常数的这一假设。2、 如果所给数据准确无误，那么该模型可以计算任何一天任何时刻的用水量。3、该模型应用的数学知识简单易懂，操作方便。4、该模型具有很好的通用性。6.2模型的缺点 1、该模型提供的数据太少，只有一天的观测数据，在实际建模中最好应有不同条件下很多天所采集得数据。 2、由于水泵工作时间不确定导致模型有一定的误差，如果能知道水泵的具体工作时间将会很多地提高模型的精确度。6.3模型的推广此模型根据一些水量和时间的数据得到流量随时间的变化关系，可以预测一天中任意时刻的用水量，这对居民避免用水高峰、供水公司合理分配供水量有很大的帮助，同时该模型还可以推广到用电供给和天然气供给等领域。七、参考文献【1】张磊，毕靖，郭莲英，MATLAB实用教程，北京，人民邮电出版社，2008年【2】亨塞尔曼.美，精通MATLAB，北京，清华大学出版社，2006年八、附录附录一 插值clearx=0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,24.44,25.45; %时间中点y=13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,15570,15180,13410,11830; %流量y0=interp1(x,y,9.48,10.46,10.94,21.43,22.49,23.42,spline) %三次样条插值散点图x1=0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,9.48,10.46,10.94,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,21.43,22.49,23.42,24.44,25.45; %插值过后时间y1=13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,12751,15712,17117,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,14729,14264,14714,14490,14190 ,13410,11830;%插值过后流量plot(x1,y1,*)xlabel(时间中点)ylabel(平均流量)附录二 非线性拟合建立m-文件volum.m如下function yhat=volum(beta,x1) yhat=beta(1)-beta(2)*x1.3+beta(3)*x1.5-beta(4)*cos(0.1*x1)+beta(5)*sin(0.1*x1)输入程序：clcclearx1=0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,9.48,10.46,10.94,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,21.43,22.49,23.42,24.44,25.45;y1=13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,12751,15712,17117,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,14729,14264,14714,14490,14190 ,13410,11830;beta0=112000,200,1,10000,30000;beta,r ,J=nlinfit(x1,y1,volum,beta0)YY,delta