第三章 线性代数.docx

第三章 线性代数本章转入另一个话题，解线性方程组。不是解初中学过的二元或三元线性方程组，而是一般的N元线性方程组。解线性方程组理论上解决得最完备，是大量实际应用问题的最后归属，也是线性代数最主要的任务，线性代数的另一个任务是求特征值和特征向量。请看例：天上9头鸟，地上鸡和狗。共有100只脚，共有100只头。问鸡、狗、鸟各有多少？解：设鸡、狗、鸟为，改成。列出方程： ，且，取整数。求得鸡、狗、鸟的二组解：（自己练练求解） 或 。我们把上述问题一般化，叙述为：实数域上有N个未知数，有M个线性方程，表示为： 称此为N元线性方程组的代数形式。提出的问题是，一般N元线性方程组有解的充分必要条件和求解的“程序化”办法？当未知数不是很多的时候，我们可以用熟知的代入法和加减消元法。如： 求得的一般结果是：（1）当，有唯一解，两条直线相交。（2）当，有无穷多组解，两条直线重合。（3）当，无解，两条直线平行。但是，当未知数增加到四个以上，我们无法用代入法和加减消元法来进行讨论，计算太麻烦了！我们必须引入新的数学工具。否则，无法得到一般N元线性方程组解的公式和程序化的解法。我们对方程做加减消元的时候看到，总是要把某方程两边乘上某个数再加（减）到另一个方程上，这其实是对某方程的行（列）做一次整体“动作”，不断反复的做这样的“动作”后，方程组最终会得到简化，并由此可判断出方程组是否有解和解是什么。我们可以把这样的“动作”集中起来加以讨论，暂时脱离求解方程组。这些“动作”无非是对数组行或列做一系列加减乘除变换。为此，我们引入线性代数中重要的基本概念行列式与矩阵。这是以前我们不熟悉的东西。关键是符号要表达的内涵。第一节 行列式什么是行列式？首先我们需要强迫接受它的定义。这个概念开始还无法讲清楚它的含义，我们慢慢就会体会到它的作用。行列式的定义有好几种，直观上，递归的定义比较好理解。1个数，直接规定它为一阶行列式。个数，把它排成2行2列，用记号表示成，规定。再“刻意”的写成：。其中是划去所在位置第一行第一列余下的部分，它等于，可以认为它是一个一阶行列式，另一个类似，称它们为余子式。又，它们的符号划去所在行和列的位置所决定，称为代数余子式。我们称为二阶行列式。个数，把它排成3行3列，用记号表示成，规定。再“刻意”的写成：。其中是划去所在位置的第一行第一列余下的部分，它等于，可以认为它是一个二阶行列式，另二个，类似，称它们为余子式。又，它们的符号由划去所在行和列的位置所决定，称为代数余子式。我们称为三阶行列式。如此，可以归纳的定义阶行列式：个数，把它排成行列，用记号表示成，规定。其中是划去所在位置的第一行第一列余下的部分，它是一个阶行列式，其余，类似，称它们为余子式。又，它们的符号由划去所在行和列的位置所决定，称为代数余子式。这里的，是取定第一行的余下部分再乘以它所在位置决定它的符号。同理，规定是第行和第列的余子式，可以任意取定某一行或某一列， ，是第行的代数余子式，是第列的代数余子式。我们称为一个阶行列式。也常用简单的记号或。如此，我们定义了一个阶行列式。它是个阶行列式的代数和，也称此行列式按某行某列的展开。由定义，我们知道：（1） 行列式是一个数，是一个由个数所决定的一个数。（2） 它是从1阶、2阶 一步一步向上规定的，由规定可以知道，把行列式展开后共有项。（3） 它的每一项是取自不同行不同列的个数的乘积，且每一项前的符号是有这个数的所在行和列所决定的。这个递归的定义并没有完全告诉我们这个行列式展开后是什么？如果要知道展开后的形式，行列式在教科书上的标准定义：定义：把个数排成n行n列，把它以一个数对应。这个数是所有取自不同行不同列的 个数乘积的代数和，其中每一项的符号由这n个数所在位置的逆序数所决定。这里还需要说明逆序数是什么意思。是一个排列，如果且，就称构成一个逆序，所有该排列的逆序就称为它的逆序数，记成。很麻烦，是不是。但它的定义是严格的。注意，这里是一“堆”数求和，哪个先加那个后加没有顺序。正因为如此，这给行列式的计算带来了麻烦。但是，一些特殊的行列式的计算是很方便的。请看例：，这是一个下三角行列式。由定义，我们知道它等于。一般的行列式，它的计算就没有这么简单了。我们希望把任意阶的行列式在不改变它的值的前提下转化成上下三角的形式或低一阶的形式，这需要了解行列式的一些基本性质。我们把这些性质归结如下：（1） 将行列式转置，其值不变。转置就是把行列式的行改成列，列改成行。用符号或表示。由性质1可知，对行列式行成立的性质对列也同样成立。例如，上三角行列式是下三角行列式的转置，所以它们的值相等。（2） 交换行列式的任意两行，行列式的值变号。（列亦如此。）（3） 如果行列式的某行乘上某数，它等于用该数乘上行列式。（4） 如果行列式的某两行对应相等或成比例，则该行列式的值等于0.（5） 如果行列式某行都是两个数之和，那么可以把它们分别拆开，写成两个行列式之和。（6） 把行列式某行乘上某数再加到另一行上，行列式的值不变。利用行列式的这些性质，我们可以方便的进行计算。例1. 。仅有数字的行列式一般都是把它简化成下三角的形式。例2.。例3. 范德蒙行列式。例4. 三对角行列式，且，。所以，和，联立求解，可得。行列式的计算也是一项基本功。需要多练，总结规律，没有捷径。 现在，我们可以利用行列式来解一类线性方程组了。 克莱姆法则： 当线性方程组未知数的个数与方程的个数相等时，我们可以利用克莱姆法则求得方程的解。此时，方程组的代数形式是： 由此，可导出它的系数行列式和把系数行列式的第列抽出，换上方程右边列的系数，得行列式，。 。 下面给出行列式的一个重要定理。定理：，。这个定理的含义是，一个行列式按某行乘上自己的代数余子式就等于该行列式的值，乘上其他行的代数余子式就等于零。按列也如此。证明：当和就是行列式的定义。现设，把行列式第行移到第1行，由性质2，则新行列式。再按定义把新行列式展开，得。所以， 。第一个关系式成立。再把行列式的第行抽去，换上第行。把新行列式按第行展开，这时候，新行列式的第行的余子式没有变化，但第行上原来的数被相应的第行代替。因为新行列式的第与第行的数是相同的，所以，由性质2，新行列式等于0。所以，。第二个关系式成立。证毕。现在开始解方程组。在方程组两边分别乘上第列的代数余子式得：，然后相加，由定理，得：，如果，那么，。这就得到了线性方程组的公式解。称此为克莱姆法则。于是，求解线性方程组的问题就转化为行列式的计算问题。又当方程组右边的系数全为0，称为齐次线性方程组。显然，它有一个0解。再由克莱姆法则，得出推论，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是，它的系数行列式的值等于0。即。举例：行列式的计算有直接的应用程序，解方程非常方便，关键是要懂。但是，我们还是解决不了开篇中的鸡、狗、鸟的问题。因为当未知数与方程的个数不相等，克莱姆法则就不能用了！我们不能得到一般线性方程组有解的充要条件和求解的“程序”。从解简单二元线性方程组的加减消元法，我们知道，无非是对方程的“行”进行整体的加减乘变换成同解方程组。为此，我们引入一个更重要的运算工具矩阵。它的概念很简单，也很好理解。关键是它定义的乘法运算。说它是线性代数的“核心”一点也不为过。第二节 矩阵矩阵是一个数表，严格定义如下：将个数排成行列，记成，同类矩阵都用大写拉丁字母等表示，称为矩阵。所有矩阵是一个集合。特别称为方阵，也称为行向量，称为列向量。又，所有的矩阵称为0矩阵；主对角线为1，其余为0的方阵称为阶单位阵，常用大写字母或记。规定，矩阵相等：，。同类矩阵还可以像数一样规定矩阵的加法和数乘：，。特别，。可以验证，矩阵关于加法和数乘满足结合律、交换律、分配律。（数相加与表相叠加是一样的。）矩阵最重要的作用是引入了两个矩阵相乘的乘法运算，但需要加上一点限制条件。定义：且，即矩阵的列数等于的行数。规定是一个的矩阵，其第行与第列的元素定义为： ，。这种矩阵相乘的定义，它的意义现在还是说不清楚，不过至少带来的好处是，一般线性方程组可以用简洁的矩阵乘法表示成：，。称此为线性方程组的矩阵形式。这种方式是我们今后 常用的方式，不必再麻烦的用它的代数形式。在后面我们引入更多矩阵运算后，我们就会感到它带来的方便。例如，那么，。又例如，那么，。可以看出，一般矩阵的乘法，除了可乘，不一定可乘之外，矩阵乘法交换律不成立！另外，乘法消去律也不成立。这是它与数相比的本质区别。 虽然矩阵乘法运算交换律和消去律不成立，但其他的结合律和分配律仍然是成立的。即：（1），如果可乘。（这个验证有点麻烦，需要耐心。）（2），常数可以跳来跳去。（3），。左右分配律都成立。可以把行列式转置的运算引入到矩阵中来。即把矩阵的行变成列，列变成行。矩阵转置运算有性质：（1）。（2）。（3）。（这个验证有点麻烦，需要耐心。可用简单的二阶矩阵验证。） 我们知道，在计算行列式时，往往要对行列式的行（列）做如下“动作”：（1） 交换行列式的某两行（列）。（2） 行列式的某行（列）乘上常数。（3） 将行列式某行（列）乘上某数再加到另一行（列）上去。完全可以把上述“动作”移植到矩阵上来对矩阵进行化简。把行列式改成矩阵，我们把上述“动作”称之为矩阵的三种初等变换。希望对矩阵做初等变换用矩阵乘法的语言描述出来，为此，我们再引入矩阵的分块运算。矩阵可以按任意行和列分成若干块，如：，且矩阵只要根据矩阵分块时的列数，进行相应的行的分块，保证块与块之间矩阵乘法仍然可乘。例如，那么。特别，矩阵可以按行分块，。也可以按列分块，。于是，可以把单位矩阵按行或按列分块写成：， 。那么，我们可以对上述三种矩阵的初等变换相应定义三种初等矩阵：（1）。即的第列与第列互换。（2）。即的第列乘上常数。（3）。即把的第列乘上常数再加到第列上。容易验证，对任意矩阵有：（1）。相当于的第列与第列互换。（2）。相当于的第列乘上常数。（3）。 相当于即把的第列乘上常数再加到第列上。同理，对任意矩阵有：。相当于的第行与第行互换。 相当于的第行乘上常数。 相当于即把的第行乘上常数再加到第行上。综上所述，我们得到如下重要定理。定理1：对任意矩阵，进行列初等变换，相当于在的右边乘上一系列阶初等矩阵。进行行初等变换，相当于在的左边乘上一系列阶初等矩阵。定理2：对任意矩阵，进行一系列行和列初等变换，总可以将化成最简式：。其中矩阵和是一系列初等矩阵的乘积。（用归纳法很容易证明。）中这个下标是在初等变换下不变的，我们把它称为矩阵的秩，记成。矩阵的秩有如下性质：（1）。（2）。（3）。（4）。（5）初等变换不改变矩阵的秩。（6）当且仅当中至少有一个阶子式的行列式不为0，所有阶子式的行列式全为0。（这个证明不容易，可作为矩阵秩的另一种定义） 矩阵的秩是矩阵一个非常重要的数字特征，它与向量的线性相关和无关有联系。 下面我们对矩阵的方阵引入一个特殊的运算方阵求逆的运算。 我们知道，数有乘法，除法是乘法的逆运算。如，。现在我们还知道，线性方程组可以写成矩阵式，。能不能有？自然不行！我们不知道是什么意思。但是，我们可以对任意阶方阵做乘法，。如果能办到，单位阵，那么，即得到解。因此，求阶线性方程组的问题就归结为找矩阵的问题。什么矩阵能使？ 我们定义，能使的方阵称为方阵的逆，记成。有性质如下：（1）和互为逆矩阵，即。（2）若存在，它是唯一的。（3）如果可逆，则。（4）初等矩阵都可逆，且，。 如何判别方阵是否可逆？ 我们再引入方阵取它的行列式的运算，记成或。方阵取行列式运算的一个重要性质是：（5）。（这个性质的证明不容易。）因为，可逆，。所以，我们得到方阵可逆的充要条件是，方阵可逆的充要条件是的行列式不等于0。 可逆，问题是逆等于什么？ 我们再引入的伴随矩阵。方阵中元素的代数余子式仍记成。那么，规定：，即把所在位置转置。那么，。如果，那么，。它由唯一确定。例如， （1）。（2）。但当阶数超过4阶，逆的计算就不方便了。我们介绍用初等变换的表上作业法。 。如果，那么。所以，对实行一系列行初等变换使其变为单位矩阵的过程就是相应对单位矩阵做相同初等变换得到逆的的过程。我们看一个例：，求它的逆。所以，下三角矩阵的逆仍是下三角的。注：也可以用列初等变换求逆矩阵，。第三节 一般线性方程组的讨论 有了上述知识，现在可以一般的讨论线性方程组了。，。 利用对矩阵的初等变换，为了保证同解性，我们限制对矩阵只做行初等变换，不做列初等变换。这样，总可以将线性方程化简成同解的线性方程。由于不能做列变换，我们得不到矩阵的最简式，。但适当的改变未知数的顺序，总可以使得简化成。于是，就是。对应的代数形式就是：。 于是，可以得到结论：（1）当不等于零，方程组无解。（2）当都等于零，方程组有无穷多解，且解是，其中是自由未知量。（3）当，方程组有唯一解，且解是，。将和放在一起，称为线性方程组的增广矩阵。那么上述结论用矩阵的语言就可以简洁的叙述为：定理3.线性方程组有解的充分必要条件是，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。求解过程举例：回到前面的鸡、狗、鸟问题。列出的方程是： ，且，取整数。改成它的增广矩阵：对应代数形式是：。分别代入，得解： 或 。我们基本完成了本章前面提出的问题，一般线性方程组有解的充要条件和求解的程序化方法。我们体会到，没有矩阵这个工具，结论和方法是无法实现的。最后，讨论一下解的结构。这个问题有点麻烦。问题的提法是，当方程组有无穷多解时，有没有通解？通解的形式是什么？先看的齐次线性方程组，如果，方程有无穷多解。设是的任意二个解，那么，。所以，的线性组合也是方程组的解。显然，可以推广到一般情况，齐次线性方程组的任意多个解的线性组合仍是齐次线性方程组的解。希望找到一些解，它不能成为其他解的线性组合，而其他的解则能成为它们的线性组合。这样的解如何找？从解 对应代数方程 其中是自由未知量。故取，即，是矩阵第列。那么，成立。这些解我们把它们称为基础解系。它们就满足不能成为其他解的线性组合，而其他的解则能成为它们的线性组合。问题是要说清楚这件事，我们需要引入有关向量空间的知识。这个理论性太强，我们不再深入讨论了。有关解的结构，我们给出如下结论：（1）如果，齐次方程有个解构成它的一个基础解系。（2）非齐次方程的解由它的一个特解加上相应齐次方程的一个基础解系构成。 下面是2014年考研数（三）一道题。 设矩阵，是3阶单位阵。（1） 求方程组的一个基础解系。（2） 求满足的所有矩阵。解：做行初等变换，（1）。所以，对应齐次方程的代数方程形式是，只有一个自由未知量，取，所以得，是齐次方程组的一个基础解系。（2）又，对应的一个特解是，所以得，是满足的所有矩阵。 线性方程组基础解系的理论用向量空间的语言表述更加方便。第三节，向量空间及向量间的线性关系把矩阵按列或按行拆开，就得到了向量的集合。它也可以看成是一类特殊的矩阵。但这里我们不这么看。当然，我们可以把矩阵中的加法和数乘直接移植到向量上来，把所有有加法和数乘结构，由n个数构成的向量的全体称为向量空间，记成。向量一般用希腊字母表示。注意，向量空间没有乘法，最直观的向量空间就是我们所熟悉的三维数组。对矩阵而言，我们可以把行作为矩阵的行空间，矩阵的列作为列空间。这是两个不同的向量空间。如果把矩阵的列写成列向量的形式，那么线性方程组就可以改写成： 称此为线性方程组的向量形式。所以，一个线性方程组可以有多种表示方式。我们把形式称为向量组的一个线性组合。把称为向量可由向量组线性表示。所以，线性方程组是否有解的问题，用向量空间的语言表达就是，某向量是否可由向量组线性表示的问题。如何判别向量