2010年高考全国数学卷(全国Ⅰ.理)(含详解答案).doc

绝密绝密 启用前启用前 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 必修必修 选修选修 II II 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 I I 卷卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准 考证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 I 卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件A B相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP A P B AA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p 那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 复数 32 23 i i A i B i C 12 13i D 12 13i 1 A 命题意图 本小题主要考查复数的基本运算 重点考查分母实数化的转化技巧 解析 1 32 32 23 6946 23 23 23 13 iiiii i iii 解析 2 2 3232 2323 iii i ii 2 记cos 80 k 那么tan100 A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k 2 B 命题意图 本小题主要考查诱导公式 同角三角函数关系式等三角函数知识 并突出 了弦切互化这一转化思想的应用 解析 1 222 sin801 cos 801 cos 80 1 k 所以tan100tan80 2 sin801 cos80 k k 解析 2 cos 80 k cos 80 k 00 0 00 sin 18080 sin100sin80 tan100 1008018080 o oo conconcon 2 1 k k 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则2zxy 的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 1 3 B 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 1 画出可行域 如右图 由图可知 当直线l经过点 A 1 1 时 z 最大 且最大值为 max 1 2 1 3z 解析 2 11 2 22 zxyyxz 画图知过点 1 1 是最大 1 213 Max z 4 已知各项均为正数的等比数列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 则 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0 20lxy L0 2 2 A 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 4 A 命题意图 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互化等 知识 着重考查了转化与化归的数学思想 解析 1 由等比数列的性质知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 解析 2 123 a a a 5 3 2 5a 789 a a a 10 3 8 10 a 6333 5284565 505 2aa aa a aa 5 353 12 1 xx 的展开式中 x 的系数是 A 4 B 2 C 2 D 4 5 C 解析 124513 353 333322 12 1 1 61281 510105xxxxxxxxxx x的系数是 10 12 2 6 某校开设 A 类选修课 3 门 B 类选择课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 6 A 命题意图 本小题主要考查分类计数原理 组合知识 以及分类讨论的 数学思想 解析 1 可分以下 2 种情况 1 A 类选修课选 1 门 B 类选修课选 2 门 有 12 34 C C种不同的选法 2 A 类选修课选 2 门 B 类选修课选 1 门 有 21 34 C C种不 同的选法 所以不同的选法共有 12 34 C C 21 34 18 1230C C 种 解析 2 333 734 30CCC A B C D A1 B1 C1 D1 O 7 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面 AC 1 D所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 7 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的 求法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的 具体体现 解析 1 因为 BB1 DD1 所以B 1 B与平面 AC 1 D所成角和DD1与平面 AC 1 D所成角相 等 设 DO 平面AC 1 D 由等体积法得 11 D ACDDACD VV 即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 设 DD1 a 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 记 DD1与平面 AC 1 D所成角为 则 1 3 sin 3 DO DD 所以 6 cos 3 解析 2 设上下底面的中心分别为 1 OO 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D所成角 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 8 设 a 3 log2 b In2 c 1 2 5 则 A a b c Bb c a C c a b D c b a 8 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数 大小的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 1 a 3 log2 2 1 log 3 b In2 2 1 log e 而 22 log 3log1e 所以 a b c 1 2 5 1 5 而 22 52log 4log 3 所以 c a 综上 c a b 解析 2 a 3 log2 3 2 1 log b ln2 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge c 1 2 111 5 254 c a b 9 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 p 在 C 上 1 Fp 2 F 0 60 则 P 到 x 轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 9 B 命题意图 本小题主要考查双曲线的几何性质 第二定义 余弦定理 考查转化的数 学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 不妨设点 P 00 xy在双曲线的右支 由双曲线的第二定义得 2 1000 12 a PFe xaexx c 2 2000 21 a PFe xexax c 由余 弦定理得 cos 1 FP 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 即 cos 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 2 0 5 2 x 所以 22 00 3 1 2 yx 故 P 到 x 轴的距离为 0 6 2 y 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 22 60116 cot1 cot322 2 22222 F PF Sbc hhh 10 已知函数 F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 则 a 2b 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 3 D 3 10 A 命题意图 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a 2b 2 2 2a a 从而错选 A 这 也是命题者的用苦良心之处 解析 1 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 1 b a 所以 a 2b 2 a a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 2 1 3 即 a 2b 的取值范围是 3 解析 2 由 0 a b 且f a f b 得 01 1 1 a b ab 利用线性规划得 01 1 1 x y xy 求 2zxy 的取值范围问题 11 2 22 zxyyxz 2 11 1yy xx 过 点 1 1时 z 最小为 3 C 3 11 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为俩切点 那么PA PB 的 最小值为 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 11 D 命题意图 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理 着重考查最值的求 法 判别式法 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力 解析 1 如图所示 设 PA PB x 0 x APO 则 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令PA PBy 则 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x是实数 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得32 2y 或32 2y 故 min 32 2PA PB 此时21x 解析 2 法一 设 0APB 2 cos1 tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 P A B O 法二 换元 2 sin 01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 或建系 园的方程为 22 1xy 设 11110 0 A x yB xyP x 22 11101110110 001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 12 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 1 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为h 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 22 max 2 212 3h 故 max 4 3 3 V 解析 2 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy 绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 必修 选修 II 第 卷 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l0 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线 上 注意 在试题卷上作答无效 13 不等式 2 211xx 的解集是 13 0 2 命题意图 本小题主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路 也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致 解析 1 原不等式等价于 22 21 1 10 xx x 解得 0 x 2 解析 2 2 2 22 211 2112110202 11 xx xxxxxxx x 14 已知 为第三象限的角 3 cos2 5 则tan 2 4 14 1 7 命题意图 本小题主要考查三角函数值符号的判断 同角三角函数关系 和角的 1 2 x y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 正切公式 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 解析 1 因为 为第三象限的角 所以2 2 21 2 21 kkkZ 又 3 cos2 5 0 所以2 2 21 2 21 2 kkkZ 于是有 4 sin2 5 sin24 tan2 cos23 所以tan 2 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 解析 2 为第三象限的角 3 cos2 5 3 22 2 kk 42243kk 2 在二象限 4 sin2 5 sin 2 sincos2cossin2 cos2sin21 444 tan 2 4cos2sin27 cos 2 coscos2sinsin2 444 15 直线1y 与曲线 2 yxxa 有四个交点 则a的取值范围是 15 1 5 4 命题意图 本小题主要考查函数的图像与性质 不等式的解 法 着重考查了数形结合的数学思想 解析 1 如图 在同一直角坐标系内画出直线1y 与曲线 2 yxxa 观图可知 a 的取值必须满足 1 41 1 4 a a 解得 5 1 4 a 解析 2 由数型结合知 15 11 44 aaa 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交C于点D 且BF2FD uu ruur 则C的离心率为 16 3 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质 第 二定义 平面向量知识 考查了数形结合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数研究形 形助数 利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径 解析 1 如图 22 BFbca xO y B F 1 D D 作 1 DDy 轴于点 D1 则由BF2FD uu ruur 得 1 2 3 OFBF DDBD 所以 1 33 22 DDOFc 即 3 2 D c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc FDea ca 又由 2 BFFD 得 2 3 2 c ca a 整理得 22 320caac 两边都除以 2 a 得 2 320ee 解得1 e 舍去 或 2 3 e 解析 2 设椭圆方程为 第一标准形式 F 分 BD 所成的比为 2 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 带入 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 已知ABCV的内角A B及其对边a b满足cotcotabaAbB 求内角 C 17 命题意图 本小题主要考查三角恒等变形 利用正弦 余弦定理处理三角形中的边 角关系 突出考查边角互化的转化思想的应用 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审专家的评 审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不予录 用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数 求X的分布列及期望 18 命题意图 本题主要考查等可能性事件 互斥事件 独立事件 相互独立试验 分 布列 数学期望等知识 以及运用概率知识解决实际问题的能力 考查分类与整合思想 化归与转化思想 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 命