第四讲-微分中值定理及导数应用.doc

第四讲 微分中值定理及导数应用1 中值定理内容提要定理条件结论罗尔定理（1）在上连续 (2) 在内可导 (3) 至少存在一点，使得 拉格朗日定理（1）在上连续 (2) 在内可导至少存在一点，使得 柯西定理（1）与在上连续 (2) 与在内可导 (3) 对任意至少存在一点，使得 几点注意：1, 关系罗尔定理拉格朗日定理柯西定理2, 定理条件缺一不可.3, 定理条件为充分条件，非必要条件.4, 定理结论中只给出中值的存在性.(设有给出确定值，也不一定唯一).2 罗彼塔法则内容提要一，型和型未定式若和满足下列条件： 1 在某变化过程中，（或均为） 2 和可导，且 3 存在或则 几点注意：(1) 审查所求极限是否为型或型未定式,不是型和型未定式不能直接使用罗彼塔法则。(2) 如果不等于常数，也不是,则不能用罗彼塔法则。在条件满足时，罗彼塔法则有时会失效，此时需用其它方求其极限。(3) 罗彼塔法则可以接连使用，但每使用前必须审查所求极限是否为型或型未定式。(4) 在使用罗彼塔法则过程中，应注意与其他求极限的方法（如两个重要极限、等价无穷小代换等）结合使用。二，型和型未定式对型未定式，可将其中一个因子取为倒数将其化为型或型未定式。对型未定式，可通过通分将其化为型或型未定式三，未定式通过取对数方法将其化为型未定式，然后再化为型或型未定式。不要忘记最后要取指数，将其还原为原耒的极限。3 函数单调性与极值内容提要一， 函数单调性的判别法 若在区间内，,则在区间内单调增加。 若在区间内，,则在区间内单调减少。注意：若在区间内有个别点处导数等于0，不影响该函数在该区间上的单调性。二，函数的极值及其判别法（一） 极值、极极点与驻点1, 若对的某邻域内的任意一点，有,则为函数的极大值。若对的某邻域内的任意一点，有,则为函数的极小值。2, 极大值与极小值统称为极值。取得极值的点称为极值点。3, 若，则称为的驻点。(二)，极值的必要条件设函数在处可导，如果是的极值，则.（三），极值的判别法1（极值的第一充分条件） 设在的某空心邻域内可导，在处连续，(1) 若在的左侧，,而在的右侧，,则为极大值。(2) 若在的左侧，,而在的右侧，,则为极小值。(3) 若在两侧不变号，则不是极值。2,(极值的第二充分条件) 设在处二阶可导，且(1) 若，则为极大值。(2) 若，则为极小值。三，函数的最大值与最小值下面分二种情况给出求函数最大值M和最小值m的方法： 1, 设在上连续，为等于零和不存在的点，则 M= m= 2, 设在内连续，且为在该区间内唯一极值点(1) 若为极大值，则在内，M=；(2) 若为极小值，则在内，m=。4 曲线的凹凸性与拐点、渐近线及函数作图内容提要一， 曲线的凹凸性与拐点（一） 定义 在区间（）上，如果曲线的弧位于其上任意一点切线的上方，则称此曲线弧在此区间上是上凹（凹）的；如果曲线的弧位于其上任意一点切线的下方，则称此曲线弧在此区间上是下凹（凸）的。 曲线上,上凹与下凹的分界点称为拐点。（二） 凸性判别法设函数在区间内有二阶导数.(1) 若对任意则曲线在该区间内是下凹（凸）的；(2) 若对任意则曲线在该区间内是上凹（凹）的； （三）拐点判别法若在处或不存在，当经过时,变号，则为曲线的拐点。典型例题一， 用中值定理证明等式、不等式例 设函数上连续，在开区间内可导，证明：至少存在一点，使得 证：令,在区间上运用拉格朗日中值定理，即至少存在一点，使得 即 例 证明：当时， 证：设,在区间上运用拉格朗日中值定理，即 即 由于，从而,故有 二， 用罗彼塔法则求极限例 极限.解 例 求解：例 求解：今 于是故 三， 讨论函数的单调性与极值,凹凸性与拐点.例 设函数,(1) 求的单调区间与极值,(2) 求曲线的凹凸区间与拐点.解：,驻点为 在处,由下表可见：增区间为,减区间为,极大值为，极小值为凹区间为,凸区间为,拐点为12+0_0+_0+21曲线凸极大凸拐点凹极小凹四, 用单调性证明不等式例 证明：，证：令则 令解得因此，为的极小值，即为最小值，因此，对，结论得证课堂练习题1,. 求下列极限(1)