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全国二卷导数 真题分类 2011 全国 2 8 曲线 y 2x e 1 在点 0 2 处的切线与直线 y 0 和 y x 围成的三角形的面积为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 1 思路点拨 利用导数求出点 0 2 切线方程然后分别求出与直线 y 0 与 y x 的交点问 题即可解决 精讲精析 选 A 2 0 2 2 x r yey 切线方程是 22yx 在直角坐标系中作出示 意图 即得 121 1 233 S 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 设函数 2 ln 1 2 x f xx x 证明 当0 x 时 0f x 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张 然后放回 用这种方式连续抽 取 20 次 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为p 证明 19 2 91 10 p e 思路点拨 本题第 I 问是利用导数研究单调性最值的常规题 不难证明 第 II 问证明如何利用第 I 问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现 精讲精析 I 2 22 12 2 2 0 1 2 2 1 xxx fx xxxx 所以 f x在 1 上单增 当0 x 时 0 0f xf II 100999881 100100100100 p 由 I 当 x 0 时 0 0f xf 即有 2 ln 1 2 x x x 故 1 91 10 19ln19ln 1 192 1 1010 22 10 于是 9 19ln 2 10 ee 即 19 2 91 10e 利用推广的均值不等式 12 12 0 n n ni xxx x xxx n 19 19 100999881 1009998819 100100100100 1001001001001910 p 另解 2 11 ln 0 x xx 所以lnyx 是上凸函数 于是 12 12 lnlnlnln n n xxx xxx n 因此 100999881 lnlnlnlnln 100100100100 p 100999881 100100100100 19ln 19 9 19ln 10 故 19 9 10 p 综上 19 2 91 10 p e 2012 全国 2 10 已知函数 3 3yxxc 的图像与x恰有两个公共点 则c A A 2 或2 B 9 或3 C 1 或1 D 3 或1 20 本小题满分 12 分 设函数 cosf xaxx 0 x 讨论 f x的单调性 设 1 sinf xx 求a的取值范围 2013 全国 2 10 已知函数 下列结论中错误的是 C A R R B 函数 的图像是中心对称图形 C 若是的极小值点 则在区间上单调递减 来源 学 x xx II 证明 当 0 1 a 时 函数 2 e 0 x axa g xx x 有最小值 设 g x的最小值为 h a 求函数 h a的值域 解析 证明 2 e 2 x x f x x 2 22 24e e 2 22 x x xx fx x xx 当x 22 时 0fx f x在 22 和上单调递增 0 x 时 2 e0 1 2 x x f x 2 e20 x xx 2 4 e2e xx a xxaxa gx x 4 e2e2 xx x xaxa x 3 2 2e 2 x x xa x x 01a 由 1 知 当0 x 时 2 e 2 x x f x x 的值域为 1 只有一解 使得 2 e 2 t t a t 02t 当 0 xt 时 0g x g x单调减 当 xt 时 0g x g x单调增 22 2 e1e e1e 2 2 tt t t t t