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第 5 页 共 5 页第三章3.4一、选择题1某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为()A30B40C50D60解析:选BV(x)2xx2x260xx(x40)令V(x)0,得x40或x0(舍)故不难确定x40时,V(x)有最大值选B.2某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关系:Q8300170PP2,则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28000元D23000元解析:选D毛利润为(P20)Q,即f(P)(P20)(8300170PP2),f(P)3P2300P117003(P130) (P30)令f(P)0,得P30或P130(舍去)又P20,),故f(P)maxf(P)极大值,故当P30时,毛利润最大,f(P)maxf(30)23000(元)3内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.和RBR和RC.R和RD以上都不对解析:选B设矩形一边的长为x,则另一边的长为2,则l2x4(0xR),l2,令l0,解得x1R,x2R(舍去)当0xR时,l0;当RxR时,l0.所以当xR时,l取最大值,即周长最大的矩形的宽和长分别为R,R.4某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是()A150B200C250D300解析:选D由题意可得总利润P(x)R(x)100x20000300x20000,0x390,P(x)x2300.令P(x)0,得x300.当0x0;当300x390时,P(x)0.所以当x300时,P(x)最大5某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新墙壁,当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32 m,16 mB30 m,15 mC40 m,20 mD36 m,18 m解析:选A设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x m,其他两边的边长均为y m,则xy512.则所用材料lx2y2y(y0),求导数,得l2.令l0,解得y16或y16(舍去)当0y16时,l0;当y16时,l0.所以y16是函数l2y(y0)的极小值点,也是最小值点,此时,x32.所以当堆料场的长为32 m,宽为16 m时,砌新墙壁所用的材料最省二、填空题6已知某矩形广场面积为40000 m2,则其周长至少为_m.解析:设广场的长为x m,则宽为 m,于是其周长为y2(x0),所以y2,令y0,解得x200(x200舍去),这时y800.当0x200时,y0;当x200时,y0.所以当x200时,y取得最小值,故其周长至少为800 m.答案:8007要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为_cm.解析:设该漏斗的高为x cm,体积为V cm3,则底面半径为 cm,Vx(202x2)(400xx3)(0x20),则V(4003x2)令V0,解得x1,x2 (舍去)当0x0;当x20时,V0,f(x)是递增的;x时,f(x)0和x0,得0x1.6.设容器容积为y m3,则yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6),y6x24.4x1.6.令y0,得x11,x2(舍去),当0x0;当1x1.6时,y0.所以在x1处y有最大值,此时容器的高为1.2 m,最大容积为1.8 m3.10某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加,年销售量y关于x的函数为y3240,则当x为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量解:由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1x),每辆车的出厂价为13(10.7x),年利润为f(x)13(10.7x)10(1x)y(30.9x)3 2403240(0.9x34.8x24.5x5)(0x0,f(x)是增函数;当
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