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文档简介

教学目的 掌握常见一阶微分方程的求解方法 难点 一阶线性非齐次微分方程的通解 重点 可分离变量的微分方程 齐次方程和一阶线性微分方程 第二讲一阶微分方程的解法 主视图 则称为可分离变量的微分方程 解法 为微分方程的通解 分离变量法 如果一阶微分方程能化为 可分离变量法 例求解微分方程 解 分离变量 两端积分得 故 例题 解分离变量 得 两边积分 因此 通解为 于是 所求特解为 例题 解 由题设条件 衰变规律 例题 回主视图 利用微分方程解决实际问题的步骤 一 利用问题的性质建立微分方程 并写出初始条件 二 利用数学方法求出方程的通解 三 利用初始条件确定任意常数的值 求出特解 解题步骤 回主视图 的微分方程称为齐次方程 2 解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1 定义 齐次微分方程 例求解微分方程 把变量代回得微分方程的解为 解 例题 例求解微分方程 解 微分方程的通解为 满足初始条件 的特解 原方程可化为 所求特解为 例题 例求解微分方程 解 令 则 分离变量 并两边积分 微分方程的通解为 例题 回主视图 2020 3 19 12 可编辑 一阶线性微分方程的标准形式 上方程称为一阶线性齐次方程 上方程称为一阶线性非齐次方程 例如 线性的 非线性的 一阶线性微分方程 回主视图 齐次方程的通解为 线性齐次方程 使用分离变量法 一阶线性齐次微分方程解法 回主视图 线性非齐次方程 讨论 设y f x 是解 则 积分 非齐方程通解形式 一阶线性非齐次方程解法 回主视图 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 设解为 积分得 非齐方程通解 常数变易法 例求解微分方程 对应齐次方程为 故所求通解为 分离变量得 两边积分有 代入原非齐次方程 得 常数变易法例题 根据公式有 公式法例题 因此 所求特解为 例题 回主视图 例求解微分方程 解原方程不是线性方程 但通过适当的变换 可将它化为线性方程 将原方程改写为 由通解公式 得通解 所以 原方程通解为 例题 回主视图 一阶线性非齐次微分方程的通解为 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和 所以 通解 回主视图 的方程 称为伯努利 Bernoulli 方程 方程为非线性微分方程 方程为线性微分方程 解法 经过变量代换化为线性微分方程
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