数学人教版七年级上册1.1 正数和负数.doc

第一讲有理数1.1 正数和负数负数的产生一方面源于生活中一些量的表示的需要，另一方面源于数的运算的需要我们先来看一些量：中国13岁男童的标准身高为160cm，张华比标准身高高5cm，周波比标准身高矮5cm；赵刚同学的家在学校正南方向2km处，孙红同学的家在学校正北方向3km处；王伟同学做正步走的训练，先向东走5步，后向西走7步以上几组量有一个共同的特征，每组量中都有一个参考点，如“中国13岁男童的标准身高”、“学校所在位置”、“王伟同学运动前的位置”等，相对于这个参考点，有两个意义相反的量，如比标准身高“高5cm”和“矮5cm”，在学校所在位置的“正南方向2km”和“正北方向3km”，王伟同学“向东走5步”和“向西走7步”为了精确表示这些量，我们约定用正数表示其中一类量，那么，另一类与它们意义相反的量就用负数表示如若用“+5cm”表示比标准身高高5cm，那么比标准身高矮5cm就记作“-5cm”了；同样的，若赵刚同学的家在学校“+2km”处，那么孙红同学的家在学校“-3km”处；若王伟先走了“+5步”，那么后走了“-7步”21减法是加法的逆运算，但起，减法运算在正数中没有加法运算自由，比如，我们说两个数的和为10，其中一个加数为3，那么另一个加数就是“10-3=7”，然而，如果已知两个数的和是3，其中一个加数是10，那么另一个加数是多少呢？如果没有负数，这个问题就没有答案了21cnjycom有理数是在度量中产生的.我们在度量时往往先约定一个标准量，如1m，1kg，1小时，1度等等，然后度量具体的对象，看它是这个标准量的多少倍，比如，一天刚好有24个小时但是，有些量并不是标准量的整数倍，比如，一节课的时间介于0小时和1小时之间，这时，我们往往将一个标准量进行等分，如1m等分成l0dm，1kg等分成1000g，1小时等分成60分钟，1度等分成60分等等我们再来度量一节课的时间，发现一节课有45个1分钟，即小时. 一般的，如果我们把一个标准量等分成n份，其中一份就是标准量的，如果被度量的对象有m个等分量，那么我们说这个对象的大小就是标准量的倍当我们把看作一个数，就产生了有理数，即有理数为两个整数的比21cnjy【拓展阅读】阿拉伯的教科书把负数介绍到欧洲但16和17两个世纪里，欧洲的数学家不愿意接受这些数，他们把负数归为荒唐的数虽然J卡当把负数作为一种方程的解，但他认为它们是一种不可能的回答甚至，B帕斯卡也说：“我知道人们无法理解，如果我们从零里拿去四，那么零还会留下什么？”21世纪*教育网【寻找支撑点】正数、负数在实践中的应用非常广泛我们往往把一些量中的某一个量定为标准量，记作0，然后分别用正数、负教表示与标准量不等的量www-2-1-cnjy-com用正负数表示一些量，可以突出研究对象的特性有时也为计算提供方便例1七年级3班的学生体育课上，进行仰卧起坐测试，做30个及格第一组8名学生的成绩（做仰卧起坐的个数）分别为：25，27，30，28，31，35，29，40.若把及格成绩记作0，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数请用正负数的记法表示这八名学生的成绩分析将这8个数与30作比较，计算它们的差，比30大多少就记作正多少，比30小多少就记作负多少，等于30的记作02-1-c-n-j-y解用正负数的记法表示这8名学生的成绩分别为：-5，-3，0，-2，1，5，-1，10评析用正负数表示成绩，及格不及格一目了.例2水库的警戒水位为50m，低于警戒水位1m的水位记为-1m，去年12个月的水位记录分别为（单位：m）：-5，-4-0.5，-1，0，+3，+0.5，+1，+3，+0.5，-1，-2.5 (1)去年12个月的实际水位是多少米？ (2)求去年12个月的平均水位，分析相对于警戒水位，实际水位有三种可能，低于、高于和等于警戒水位其中低于和高于是相反意义的既然低于警戒水位1m的水位记作-lm，那么高于警戒水位的就记为正数，等于警戒水位的记为021*cnjy*com去年的平均水位，既可以在第(1)问的基础上，将实际水位求平均，也可以分别算出低于警戒水位一共低多少米，高于警戒水位一共高多少米，再看12个月一共是低于或高于多少米解(1)去年12个月的实际水位是（单位：m）：45，46，49.5，49，50，53，50.5，51，53，50.5，49，47.5 (2)低于警戒水位的几个月的水位累计比警戒水位低14m，高于警戒水位的几个月的水位累计比警戒水位高8m，所以，全年累计比警戒水位低6m，平均每月低0. 5m，则去年12个月的平均水位为49. 5m.【来源：21cnj*y.co*m】【拓展阅读】请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长（图中“？”处的数值）应为 _.有理数的分类方法有两种，按数的正负性分类，按有理数的定义分类一方面，小学学习的整数和分数，除0以外的数，组成正有理数每一个正有理数都有一个有理数-与之对应，那么所有这样的-组成负有理数，由此，有理数分为正有理数、零及负有理数三类.【出处：21教育名师】另一方面，有理数可以分为整数和分数两类，其中，整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数由此，有理数可以分为五类：正整数、0、负整数、正分数和负分数有理数的每一个类的数放在一起组成数的集合，如所有的负数组成负数集合，所有的正整数组成正整数集合等等我们要会判断一个数属于哪类数的集合例3把下列各数填在相应的集合内-12，0.25，-6.4，0，3.14，3，-0.333，100正有理数集合分数集合 负有理数集合 整数集合 分析 0属于整数集合，它介于正数与负数之间，既不是正数也不是负数；有限小数和无限循环小数皆可以化为分数，属于分数集合；是圆的周长与直径的比值，其结果是一个无限不循环小数，不能化成分数，因此也属于有理数.【版权所有：21教育】解正有理数集合0.25， 3.14，3，100，分数集合0.25，-6.4，3.14，3，-0.333， 负有理数集合-12，-6.4， -0.333， 整数集合-12，0，100 例4下列说法中，错误的有（）-2要是负分数；1.5是分数；非负有理数包括0；0不是整数 A1个 B2个 C3个 D. 4个分析有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此1.5是分数；0和正数统称非负数，O和负数统称非正数；整数包括正整数、O和负整数.21教育名师原创作品解 A【追问延伸点】我们把一个整数平方的结果称为完全平方数例如，0,1,4,9,16,25,36,49，64, 81,100 ,121,144 ,169 ,196, 225, 256, 289, 324,361, 400,完全平方数有很多有趣的特性例如，其个位数字只能是O，1，4，5，6，9；又如，如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.例5证明：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+l分析我们可以将整数按除以3的余数不同分为三类，将每一类平方即可证明解将整数分为3m -1，3m及3m+l三类则对应的平方数分别为=9-6m+1=3（3-2m）+1=3k+l， =9=3k,=9+6m+1 =3(3+2m)+1=3k+l，结论成立21教育网有限小数和无限循环小数可以化为分数，反之，分数可以化为有限小数或无限循环小数，事实上，我们在实行分数所表示的除法时，有些是可以除尽的，比如=15=0.2有些不能除尽，比如=13=0.333，我们可以预见，3是无限不循环下去的是不是凡是除不尽的分数都是循环的呢？是的，以为例，因除数为l3，所以每一步的余数必须小于13，在不断做除法的过程中，余数只能是O，1，2，12中的某一个数那么，我们最多做14步，必然会重复出现相同的余数，当同一个余数再次出现时，其后面的运算将是一致的，做1213，第一步上0，变为12013，第二步上9，余3，变为3013，再上2，余4，变为4013，再上3余1，变为1013，再上0，变为10013，再上7，余9，变为9013，再上6，余12，变为12013，回到第二步因此，除不尽的分数都可以化为循环小数例6 比较0.与1的大小分析可以利用=0.作为连接0.与1的桥梁.解方法一，0. =0. 3=3=1，即0.与1相等方法二，设0.=x，lOx =9.，两式相减得，9x =9， x=l【拓展阅读】有一种巧克力糖，它的制造商为了促销，在包装每块巧克力糖时放入1张赠券，凑齐10张赠券，可以换1块这种包装的巧克力糖1张赠券的实际价值是多少呢？一方面，l张赠券相当于0.1块这种巧克力糖，0.1块巧克力糖中的赠券又相当于0. Ol块这种巧克力糖，依此类推,1张赠券相当于0.111块巧克力糖即0.1块巧克力糖.另一方面，如果我们凑齐了9张赠券，就可以换到1块巧克力糖，方法是先借1块这种包装的巧克力糖，拿出巧克力糖，把其中赠券和已有的9张赠券一起来换巧克力糖由此可见，1张赠券等于块巧克力糖.21*cnjy*com以上事例实际上证明了=0.分级训练题A级 1下列各数-3，3.2,0,3.14,，-1.4中，正数有_，负数有_ 2如果气温上升1度记作气温变化+1度，则气温下降5度记作气温变化_度 3如果向东走60m表示走了+60m，那么走了-80m表示_ 4-次考试，85分及以上为优秀把85分定为标准分，记作O分，用正数表示高于标准分某小组4名学生的成绩分别记为：+8分，0分，-2分，+3分，这4名学生的实际成绩分别为_，_，_，_ 5下列各组数中，不是互为相反意义的量的是( ) A向东走5m和向西走2m B收入200元和支出20元 C上升7m和下降5m D长大1岁和减少2kg 6既是分数又是正数的是( ) A. +2 B-4C0 D.2.3 7在0，-1,30，-20，-0.1，-2，100中，负整数的个数是( ) A1 B2 C3 D4 8零不是( )A.有理数 B自然数 C正数 D整数 9对-3.14，下面说法正确的是( ) A.是负数，不是分数 B不是分数，是有理数 C是负数，也是分数 D.是小数，不是有理数 10.下列说法正确的是( )A正数、0、负数统称为有理数B分数和整数统称为有理数C正有理数、负有理数统称为有理数 D. 以上都不对 11在西安有个“中国大地原点”，比大地原点高的地方的高度记为正，如果某地依据这种记法的高度是-5m，那么表示( ) A该地高5m B. 该地比大地原点的高度低5m C. 该地比海平面高5m D. 该地比海平面低5m 12向东走5m，再向东走5m，结果是( )A向东走了5m B. 向西走了5mC回到原地 D.向西走了l0m 13一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动土10% (1)10%的含义是什么？ (2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格； (3)如果以标准价为标准，超过标准价记“十”，低于标准价记“一”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？14.7名学生体重分别为：40kg，38kg，37kg，45kg，40kg，34kg，39kg.(1)求这7名学生体重的平均值；(2)以平均体重为标准用正负数表示每个学生的体重15把下列各数分别填入相应的大括号内：-7，3.5，-3.1415 ，0，0.03，-3，10，-0.，-自然数集合 ；整数集合 ；正分数集合 ；非正数集合 ；有理数集合 ；16.观察数表：根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是_17某商店一周的收入、支出情况如下表：星期一二三四五六日支出（万元）收入（万元）21.512运用你学的知识，给商店简单地记一笔账18一位股民上周五买入某只股票200股，每股132元下表为本周每天收盘时的涨跌情况，其中每股上涨1元记作十1（单位：元）【来源：21世纪教育网】星期一二三四五每股涨跌+3-4+5-7十6(1)本周内该股票收盘价最高是多少元？(2)若以周五收盘价卖出，收益情况如何？(3)周几收盘时卖出收益最大？最大收益是多少？ C 级 19.下面的数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答 (1)表中第8行的最后一个数是_，它是自然数_的平方，第8行共有_个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_，最后一个数是_，第n行共有_个数；21世纪教育网版权所有 (3)求第n行各数之和_20证明：奇数的平方是8n +1型，偶数的平方为8n或8n +4型21有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第n个数记为，若= -，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数 (1)求，的值。 (2)试求的值并说明理由。(3)试探究的值并说明理由第一讲有理数参考答案1.1 正数和负数1. ，3.2, 0, 3.14,，； -3，-1.42 . -5 3向西走80rn 4 . 93，85，83，885. D 6 . D7. D8. C 9. C10. B11. B 12. C13 (1)士10%的含义是价格可以比200高10%或低10% (2)最高价格220元，最低180元；(3)士20元14. (1)39kg; (2)+1kg，-1kg，-2kg，+6kg，+1kg，-5kg，0 kg15 0， 10 -7， 0， 10， -