重积分-习题课.pdf

定定 义义 几何意义几何意义 性性 质质 计算法计算法 应应 用用 二 重 积 分 二 重 积 分 定定 义义 几何意义几何意义 性性 质质 计算法计算法 应应 用用 三 重 积 分 三 重 积 分 一 主要内容一 主要内容 定义定义 设设 yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数 将上的有界函数 将 闭区域闭区域 D 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 1 2 n 其中 其中 i 表示第表示第 i 个小闭区域 也表示它的面积 个小闭区域 也表示它的面积 在每个在每个 i 上任取一点上任取一点 ii 作乘积作乘积 ii f i 2 1 ni 并作和并作和 ii n i i f 1 1 1 二重积分的定义 二重积分的定义 如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零 时 这和式的极限存在 则称此极限为函数时 这和式的极限存在 则称此极限为函数 yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的二重积分二重积分 记为记为 D dyxf 即即 D dyxf ii n i i f lim 1 0 二重积分的几何意义 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时 二重积分是柱体的体积的 负值 负值 性质 性质 当当 为常数时 为常数时 k DD dyxfkdyxkf 性质 性质 D dyxgyxf DD dyxgdyxf 二重积分的性质 二重积分的性质 性质 性质 对区域具有可加性对区域具有可加性 21 DDD dyxfdyxfdyxf 21 DDD 性质 性质 若若 为为D的面积的面积 1 DD dd 性质 性质 若在若在D上 上 yxgyxf DD dyxgdyxf 特殊地特殊地 DD dyxfdyxf 设设M m分别是分别是 yxf在闭区域在闭区域 D 上的最上的最 大值和最小值 大值和最小值 为为 D 的面积 则的面积 则 D Mdyxfm 二重积分估值不等式 二重积分估值不等式 性质 性质 设函数设函数 yxf在闭区域在闭区域D上连续 上连续 为为D 的面积 则在的面积 则在 D 上至少存在一点上至少存在一点 使得使得 fdyxf D 性质 性质 二重积分中值定理 二重积分中值定理 二重积分的计算 二重积分的计算 bxaD 21 xyx X 型 型 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf X 型区域的特点型区域的特点 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 直角坐标系下 直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点 穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴 的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf dycD 21 yxy Y 型 型 sin cos 2 1 rdrrrfd 1 sin cos D rdrdrrf 1 D 21 r 极坐标系下 极坐标系下 sin cos 0 rdrrrfd 2 D 0 r 2 sin cos D rdrdrrf 3 sin cos D rdrdrrf sin cos 0 2 0 rdrrrfd 20 3 D 0 r 5 5 二重积分的应用 二重积分的应用 1 体积体积 的体积为的体积为 之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz D dxdyyxfV 设设S曲面的方程为 曲面的方程为 yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 1 22 dxdyA xy D y z x z 2 曲面积曲面积 当薄片是均匀的 重心称为形心当薄片是均匀的 重心称为形心 1 D xd A x 1 D yd A y D dA 其中其中 D D dyx dyxx x D D dyx dyxy y 设有一平面薄片 占有设有一平面薄片 占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D 在点在点 yx处的面密度为处的面密度为 yx 假定 假定 yx 在在 D上连续 平面薄片的重心为上连续 平面薄片的重心为 3 重心重心 薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量 薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量 2 D x dyxyI 2 D y dyxxI 设有一平面薄片 占有设有一平面薄片 占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D 在点在点 yx处的面密度为处的面密度为 yx 假定 假定 yx 在在 D上连续 平面薄片对于 上连续 平面薄片对于x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 4 转动惯量转动惯量 薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力 z 设有一平面薄片 占有设有一平面薄片 占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D 在点在点 yx处的面密度为处的面密度为 yx 假定 假定 yx 在在 D上连续 计算该平面薄片对位于上连续 计算该平面薄片对位于z 轴上的点轴上的点 0 0 0 aM 处的单位质点的引力 处的单位质点的引力 0 a zyx FFFF 2 3 222 d ayx xyx fF D x 2 3 222 d ayx yyx fF D y 2 3 222 d ayx yx afF D z 为引力常数为引力常数 f 5 引力引力 6 6 三重积分的定义 三重积分的定义 设设 zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上的有界函上的有界函 数 将闭区域数 将闭区域 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 1 v 2 v n v 其中 其中 n v 表示第表示第 i 个小闭区域 也表示它的个小闭区域 也表示它的 体积体积 在每个在每个 i v 上任取一点上任取一点 iii 作乘积作乘积 iiii vf 2 1 ni 并作和 并作和 如果当各如果当各 小闭区域的直径中的最大值小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时 这和式趋近于零时 这和式 的极限存在 则称此极限为函数的极限存在 则称此极限为函数 zyxf 在闭区域在闭区域 上的三重积分 记为上的三重积分 记为 dvzyxf iii n i i vf lim 1 0 7 三重积分的几何意义 三重积分的几何意义 表示空间区域的体积 表示空间区域的体积 时时当当 Vdv zyxf 1 8 8 三重积分的性质 三重积分的性质 类似于二重积分的性质 类似于二重积分的性质 9 9 三重积分的计算 三重积分的计算 2121 bxaxyyxyyxzzyxz 2 1 2 1 b a xy xy yxz yxz dzzyxfdydxdvzyxf 21 czcDyxzyx z 2 1 z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf 直角坐标直角坐标 sin cos zz ry rx 柱面坐标柱面坐标 sin cos dzrdrdzrrf dvzyxf dzrdrddv cos sinsin cossin rz ry rx sin 2 ddrdrdv dxdydzzyxf sin cos sinsin cossin 2 ddrdrrrrf 球面坐标球面坐标 1010 三重积分的应用 三重积分的应用 dvM 其中其中 1 dvx M x 设物体占有空间闭区域设物体占有空间闭区域 在点 在点 zyx处的处的 密度为密度为 zyx 假定 假定 zyx 在在 上连续 则该上连续 则该 物体的重心为物体的重心为 重心重心 1 dvy M y 1 dvz M z 2 dvzI xy 转动惯量转动惯量 设物体占有空间闭区域设物体占有空间闭区域 在点 在点 zyx处的处的 密度为密度为 zyx 假定 假定 zyx 在在 上连续 则该上连续 则该 物体对坐标面物体对坐标面 坐标轴及原点的转动惯量为坐标轴及原点的转动惯量为 2 dvxI yz 2 dvyI zx 22 dvzyI x 22 dvxzI y 22 dvyxI z 222 dvzyxIo D 二 典型例题二 典型例题 例例1 1 解解 围成 围成 由由其中其中计算计算2 1 2 2 x x yxyDd y x D X 型型 x x D dy y x dxd y x 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 dx y x x x 2 1 3 dxxx 4 9 21 1 xxy x D 例例2 2 解解 10 11 2 yxDdxy D 其中其中计算计算 1 D 2 D 3 D 先去掉绝对值符号 如图先去掉绝对值符号 如图 dxydyx dxy DDD D 321 22 2 1 2 1 10 2 1 1 2 2 x x dyxydxdyyxdx 15 11 aax x ax x Idxf x y dy a 2 2 24 02 0 将将化化为为极极坐坐标标系系下下的的二二次次积积分分例例3 3 解解 xa D axxyaxx 22 02 24 cos cos 1 0 4 2 2a D a cos cos cos sin 2 4 02a d a Idf coscos 2 42 2a4 D a cos cos cos sin 4 2 2a 4 d a df 例例4 4 解解 所围的面积 取圆外部所围的面积 取圆外部和圆和圆 是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算 arar Ddyx D cos1 22 cos1 2 2 22 a a D rdrrd dyx 2 2 33 1 cos1 3 1 da 29 22 3 a 例例6 6 1 1 12 b a n x a n b a dyyfyb n dyyfyxdx 证明证明 证证 b y n b a x a n b a dxyfyxdy dyyfyxdx 2 2 b a b y n yx n dyyf 1 1 1 1 1 1 b a n dyyfyb n D xy b b a a 例例7 7 所围成的 所围成的 与与由由其中其中 计算计算 22 22 1 yxz yxzdvzx 解解 利用球面坐标利用球面坐标 奇函数 奇函数 的的为为面为对称 面为对称 关于关于xxzyxfyoz 0 xdv有有 zdvdvzx 1 0 2 4 0 2 0 sincosdrrrdd 8 例例8 8 222 1 z e dvxyz 计计算算 解解 法 法 故采用 先二后一 故采用 先二后一 为圆域为圆域的函数 截面的函数 截面被积函数仅为被积函数仅为 222 1 zyx zDz 上上 dvedve z z 2 1 0 2dzedxdy z zD 1 0 2 1 2dzez z 2 例例9 9 2 1 0 2 000 xxvu dttftxdvdudttf 证明证明 证证 思路 从改变积分次序入手 思路 从改变积分次序入手 vv t vu dutfdtdttfdu 000 v dttftv 0 xvxvu dttftvdvdvdudttf 00000 xx t dvtftvdt 0 2 1 0 2 x dttftx 一 选择题一 选择题 1 1 x dyyxfdx 1 0 1 0 A A 1 0 1 0 dxyxfdy x B B x dxyxfdy 1 0 1 0 C C 1 0 1 0 dxyxfdy D D y dxyxfdy 1 0 1 0 2 2 设 设D为为 222 ayx 当当 a 时时 D dxdyyxa 222 A 1 A 1 B B 3 2 3 C C 3 4 3 D D 3 2 1 测测 验验 题题 3 3 当 当D 是是 围成的区域时围成的区域时 二重积分二重积分 D dxdy 1 1 A A x轴轴 y轴及轴及022 yx B B 3 1 2 1 yx C C x轴轴 y轴及轴及3 4 yx D D 1 1 yxyx 4 4 D xy dxdyxe 的值为的值为 其中区域为其中区域为D 01 10 yx A A e 1 B B e C C e 1 D 1 D 1 5 5 设 设 D dxdyyxI 22 其中其中D由由 222 ayx 所所 围成围成 则则I A A 4 0 2 2 0 ardrad a B B 4 0 2 2 0 2 1 ardrrd a C C 3 0 2 2 0 3 2 adrrd a D D 4 0 2 2 0 2 aadrad a 6 6 设 设 是由三个坐标面与平面是由三个坐标面与平面zyx 2 1 1 所围成的所围成的 空间区域空间区域 则则 xdxdydz A A 48 1 B B 48 1 C C 24 1 D D 24 1 7 7 设 设 是锥面是锥面 0 2 2 2 2 2 2 a b y a x c z 0 0 cb与平面与平面 czyx 0 0所围成的空间区域在第一卦限所围成的空间区域在第一卦限 的的 部分部分 则则 dxdydz z xy A A cba 22 36 1 B B bba 22 36 1 C C acb 22 36 1 D D abc 36 1 8 8 计算 计算 zdvI 其其 1 222 zyxz为为中中 围成的围成的 立体立体 则正确的解法为则正确的解法为 和和 9 9 曲面 曲面 22 yxz 包含在圆柱包含在圆柱xyx2 22 内部的那内部的那 部分面积部分面积 s A A 3 B B 2 C C 5 D D 22 10 10 由直线 由直线2 2 2 yxyx所围成的质量分布均匀所围成的质量分布均匀 设面密度为设面密度为 的平面薄板的平面薄板 关于关于 x 轴的转动惯量轴的转动惯量 x I A A 3 B B 5 C C 4 D D 6 A A 1 0 1 0 2 0 zdzrdrdI B B 11 0 2 0r zdzrdrdI C C 11 0 2 0r rdrdzdI D D z zrdrddzI 0 2 0 1 0 二 计算下列二重积分二 计算下列二重积分 1 1 D dyx 22 其中其中D是闭区域是闭区域 0 sin0 xxy 2 2 D d x y arctan 其中其中D是由直线是由直线0 y及圆周及圆周 1 4 2222 yxyx xy 所围成的在第一象所围成的在第一象 限内的闭区域限内的闭区域 3 3 D dyxy 963 2 其中其中D是闭区是闭区 域域 222 Ryx 4 4 D dyx 2 22 其中其中 D 3 22 yx 三 作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三 作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序 1 1 yy dxyxfdydxyxfdy 3 0 3 1 2 0 1 0 2 2 2 111 0 x x dyyxfdx 3 3 00 sin cos rdrrrfd a 四 将三次积分四 将三次积分 y xx dzzyxfdydx 11 0 改换积分次序为改换积分次序为 zyx 五 计算下列三重积分五 计算下列三重积分 1 1 cos dxdydzzxy 抛物柱面