3.1线段的垂直平分线.doc

单元3线段的垂直平分线（1）课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的问题)1ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（ ）AAB=AC BAB=BC CAC=BC DB=C2在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交 AC于点E，如图所示，若ABC与BEC的周长分别为 30cm和18cm，则ABC的腰长为 。 3ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50，则ABC的底角B为 。4.ABC中,如果AB=AC,AB的垂直平分线交BC于边的延长线于M,交AB边于N,且CAB=42,则NMB的度数为_。 5.“全等三角形的面积相等”的逆命题为_ 它是一个_命题（填真或假）典型例题分析：例1：已知：图1-3-1，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F.ABCDEF1-3-1求证：AD垂直平分EF.点拨由角平分线的性质可以得到DE=DF，则点D在线段EF的垂直平分线上，但是此时还不能得到AD垂直平分EF的结论，还需要进一步证明点A也在EF的垂直平分线上才行，而这可以由AEDAFD得到.证明：AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，DE=DF，DEF=DFE，点D在线段EF的垂直平分线上DEA=DFA=90，AEF=AFE，AE=AF，A也在EF的垂直平分线上，AD是EF的垂直平分线.例2：已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB。求证：P点在AB的垂直平分线上。点拨1-3-2ABACP证明：证法一如图1-3-2:过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC。RtPACRtPBC(HL定理)AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上。证法二：如图1-3-3取胜AB的中点C，过PC作直线。 AP=BP，PC=PC，AC=CB， APCBPC（SSS）. P PCA=PCB(全等三角形的对应角相等) 又PCA+PCB=180,1-3-3 PCA=PCB=90,即PCAB. A C B P点在AB的垂直平分线上.1-3-412PABC证法三:如图1-3-4过P点作APB的角平分线, AP=BP, 1=2,PC=PC, APCBPC(SAS). AC=BC, PCA=PCB (全等三角形的对应角相等,对应边相等). 又PCA+PCB=180, PCA=PCB=90. P点在线段AB的垂直平分线上.例3：（1）在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M,A=40，求NMB的大小；（2）如果将（1）中的A的度数改为70，其余条件不变，再求NMB的大小。（3）你发现了什么样的规律？试证明之；（4）将（1）中的A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改。点拨:由（1）、（2）不难认识到BMN的大小是A的一半，但也容易认为点M一定在BC的延长线上，通过（4）也就是让ABC保持AB=AC的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了。解：（1）AB=AC，B=ACB（等边对等角）BA）=.BNM=90，M=90B=9070=20如图（1）（2）2如同（1）求得BMN=35.（3）如图（3），NMB的大小为A的一半。证明：设A=.AB=AC，B=C（等边对等角）.B=.BNM=90，BMN=90B=90，即BMN等于顶角的一半.ANABAMACcA A A M 40 N N B C B C M （4）完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半。基础训练：一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1.ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（ ）AAB=AC BAB=BC CAC=BC DB=C2. ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，则有（ ）AO在ABC 内部 BO在ABC 的外部CO在BC边上 DOA=OB=OC3. 点D到ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（ ）ABC的中线上 BBC边的垂直平分线上 CBC边的高线上DA的平分线所在的直线上二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，如图所示，若ABC与BEC的周长分别为30cm和18cm，则ABC的腰长为 。5. 如图，ABC中，ACB=90，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60的角的个数为（ ）A2 B3 C4 D56. 在ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 。三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7.已知：如图，ABC中，C=90，A=22.5，AB垂直平分线交AC于F,垂足为E，若CF=3，求BC的长.CFAEB7题图8.已知直线和上一点O，利用尺规作的垂线，使它经过点O。已知：直线和上一点O。求作:CO.拓展训练：一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1.（07江苏宿迁9）如图，在ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则AEC的周长等于( )A. a+b B.a-b C.2a+b D.a+2b2. (04上海)已知：如图，AC平分PAQ，点B、B分别在边AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB，那么该条件不可以是( )ACPB3题图DEA. BBAC B. BC=BC C. ACB=ACB D. ABC=ABCACPQB2题图B3. 已知：如图，AB=AC,PB=PC,下面的结论：EB=EC；ADBC；AE平分BEC；PBC=PCB.其中正确的结论的个数有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4.如图：DE是ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E， 若BD=3，则AD=_ 若B=40度，BAC=70度，则CAE=_度； 若AC=4，BC=5，则AEC的周长为_ ABCDE5.如图，ABC中，AB=AC,点D为AB的中点，DEAB于D,AD=7,EBC的周长为24，则BC=_6.在ABC中，与ABC和ACB相邻的外角的平分线相交于点D，若A=50，则BDC=_.三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）BDCEA7. 已知：如图所示，ABC中，D为BC上一点，连结AD，点E在AD上，1=2，3=4.求证：AD垂直平分BC.8.已知：如图，ABC中，C=90，BAC=2B，D是BC上一点，DEAB于E，DE=DC.求证：AD=BD.BACE8题图D答案与提示基础训练一、选择题：1. C 2. D 3.D二、填空题： 4. 12 5. C 6.相等三、解答题：7. 解：连结BF，EF是AB垂直平分线，BF=AF，FBA=A=22.5，BFC=FBA+A=45，BC=CF=3. 8. 作法: 1.以点O为圆心,以任意长为半径作弧,直线相交于点A和B.2.作线段AB的垂直平分线OC.直线OC就是所求的垂线.拓展提高一、选择题：1. A 2. B 3. D二、填空题：