3.牛吃草问题.doc

第三讲牛吃草问题知识与方法 1世界著名的大科学家牛顿在他著的普通算术一书中曾提出一个有趣的数学问题： 有三片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷第一片牧场饲养12头牛可以维持4个星期，第二片牧场饲养21头牛可以维持9个星期-问在第三片牧场上饲养多少头牛可以维持18：个星期? 这个问题被人们称为牛顿问题，也就是我们平常说的“牛吃草问 题”。 2解答牛吃草问题，困难在于草的总量在变，每天或每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多草的总量由两部分组成： 草场上原有的草量；一段时间内新增的草量 解题时，必须设法找出这两个量来， 3“牛吃草问题”主要有两种类型： 1求时间； 2求头数例题与训练 例1 牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问供25头牛可吃几天? 思路点拨可把这类题分解改编成我们熟悉的形式： (1)一堆牧草可供10头牛吃20天，照这样计算，这堆草可供25头牛吃多少天? (2)一堆牧草可供15头牛吃10天，照这样计算，这堆草可供25头牛吃多少天? 由于(2)题中的那堆牧草量及每头牛的食量一定，可以算出可吃8天或6天。对比之下，例题的难点就在于牧草总量未定，它随着时间的增长而增长着，这与我们过去所学应用题不同，因此可将题意画图显示。、解：(1)10头牛20天吃的草可供多少头牛吃一天? 1020200（头）(2)15头牛10天吃的草可供多少头牛吃一天? 1510150(头) (3)(2010)天的新生草可供多少头牛吃一天? 20015050(头) (4)每天的新生草供多少头牛吃一天? 50105(头) (5)20天(或10天)的新生草供多少头牛吃一天? 5020100(头)或51050(头) (6)原有草可供多少头牛吃一天? 200一100100(头)或15050100(头) (7)每天25头牛中若有5头牛去吃新生草，其他牛吃原有的草，全部牧场可吃几天? 100(255)5(天) 综合算式： 1020一(10201510)(2010)20(255) 20050102020 (200100)20 10020 5(天) 答：供25头牛可吃5天。 练一练1：有一片牧场上的草均匀地生长24头牛6天可以把草吃完；20头牛10天可以把草吃完牧场上每天生长的草可供( )头牛吃1 天 例2 有一片牧场上的草均匀地生长如果4只羊吃草，15天可以把草吃完善如果8只羊吃草，7天可以把草吃完；若想5天把草吃完，需要多少只羊去吃?思路点拨 与例1相比，条件基本相同，只是所求问题不同。求只数先设法求出草场上天新生长的草量和原有草量用原有草量加上5天新生长的草量，这就是若干只羊5天吃的总草量两者的商，就是平均每天吃掉的草量由于假设1只羊1天吃1个单位的量，由每天吃掉的草量可求出羊的只数已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草根据“(原有草量+若干天里新生草量)天数”，求出只数解：假设每头牛每天吃1个单位的草量。 l415=60(个) 187=56(个) 6056=4(个) 4(157)=0.5(个) 每日草的生长量 600.515=52.5(个) 原有草量 (52.5+0.55)6=11(只) 练一练2 有一井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，如果用4架抽水机来抽水，40分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，30分钟可以抽完，现在要求24分钟内抽完井水，需抽水机多少架? 例 3 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，原有羊多少只?思路点拨本题同样应先求出每天新生长的草量和原有草量将问题进行转化：若不增加6只羊，原有的若干只羊吃4+2=6天的草量，相当于原有草量加6天里新生长的草量，再减去6只羊两天吃的草量 解：用原有羊吃的草量除以天数(6天)，即可求出原有羊的只数每日草的生长量：(8201410)(20-10)=2(个) ， 原有草量：820-220=120(个) ， 若不增加6只羊，这若于只羊吃6天的草量，等于原有草量加上4+2=6天新长的草量再 减去6只羊2天吃的草量，所以原有只数为1120+2(4+2)62)(4+2)=20 (只) 练一练3：有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现有牛若干头在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头? 例 4某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟有15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让30个人检票进站如果只有一个检票口，检票开始6分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队?思路点拨 这题是牛吃草问题的变形检票开始前排队的人数相当于原有草量，每分钟有15人前来排 队，相当于新生长的草量开动脑筋，试着求出答案解：检票开始前排队的人数：306156=90(人) 两个检票口每分钟检票进站人数：302=60(人) 检票开始后多少分钟没人排队：90(605)=2(分钟) 练一练4某游乐场在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个人口处每分钟可以放人10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没有人排队，现在开放4个入口处，那么开门后多少分钟就没人排队? 例5有3片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为3公亩、10公亩和20公亩。12头牛4星期吃完第一片牧场原有的和4星期内新长出来的草；2l头牛9星期吃完第二片牧地原有的和9星期内新长出来的草。问多少头牛18星期才能吃完第三片牧地原有的和新长出来的草?思路点拨采用列表的形式，说明列方程的过程：日 常 的 语 言代数式每一公亩地原有的草1星期内每一公亩地新长的草b第一片牧场(3)公亩原有的草和4星期内新长出的草(12头牛4星期吃完第一片牧场的草)每头牛每1星期吃多少草第二片牧场(10公亩)原有的草和9星期内新长出的草(21头牛9星期吃完第二片牧场草)每头牛每1星期吃多少草第三片牧场(24公亩)原有的草和18星期新长出的草有多少头牛吃完第三片牧场的草x头(x头牛18星期吃完第三片牧场的草)每头牛每1星期吃多少草解：每头牛一星期吃的草是一样的，利用表找出等量关系，列出可算出：a12b然后将a代入式子中得b，这样也就是说每头牛一星期需吃苫的草。这样板据最后的一项列出方程 解方程得x36，说明第三片牧地可供36头牛吃18个星期。(注：这里虽然列出了两个辅助未知数a、b，但并不需求出，只作参加，这种方法比较容易理解，但这种解答方法对解方程的能力要求较高。)练一练5：12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草?(每公亩牧场上原有草量相等，且生长量也相等。)基础训练1 24头牛6天可以将一片牧草吃完；21头牛8天可以将这片牧草吃完；如果每天草的增长量相等，要使这片牧草永远吃不完，至多放( )头牛吃这片牧草 2、有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完，现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架?3 有一条船因触礁破了一个洞，河水均匀地进入船内，发现船漏时，船已进了一些水如果12个人淘水则3小时可以把水淘完；如果5个人淘水则10小时可以把水淘完如果需要2小时内淘完水，需要 ( )人 ， 4 有一片草地，草每天生长的速度相同，这片草地可供5头牛吃40天；或者供6头牛吃30天如果4头牛吃了30天以后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天?提高拓展1 有一牧区长满牧草，每天牧草匀速生长。这牧区的草可供27头牛食用6周，供23头牛食用9周，问供21头牛食用几周?2有一井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，若用4架抽水机15分钟可抽完。若用8架抽水机7分钟可抽完，现用11架抽水机多少分钟可抽完?3有一酒槽，每日漏泄相等量的酒，现让6人饮此酒，则4天喝完，或让4人饮此酒则5天喝完，每人的饮酒量相同，问每天的漏酒量为原有酒的几分之几?4一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天? 练习与思考1某棉纺厂仓库，可储存全厂45天的用棉量，若用1辆大汽车往空仓库内运棉，则除了供应车间生产外，5天可将仓库装满若用2辆小汽车往空仓库里运棉，则9天可以将仓库装满如果用1辆大汽车和2辆小汽车同时运棉，需几天可将仓库装满?3天2一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求两小时淘完，要安排多少人淘水? (1)10人3小时淘出的水量是：16330(人时) (2)5人8小时淘出的水量是：5840(人时) (3)往船内漏8小时比往船内漏3小时多漏的时间是：835(小时) ， (4)多漏进的水量是：403010(人时) (5)每小时漏进的水量折算咸需要的人数是：1052 (人) (6)船内原有的水是：302324(人时) (7)要求2小时淘完，一共需淘出的水量是：24+2228(人时)- (8)2小时淘