空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题.doc

空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题一、空间几何体的三视图及其表面积、体积柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图，直观图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点(一)高考对三视图的三个考查角度1由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则例1如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是()解析结合三视图的画法规则可知B正确答案B2由三视图还原几何体，考查对空间几何体的认识及空间想象能力由几何体的三视图还原几何体，一般如下处理：首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状例2三视图如图所示的几何体是()A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形答案B3借助于三视图研究几何体的表面积、体积解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度例3如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是()A.a3B.a3C.a3 D2a3解析由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为2a，底面半径为a，故半圆锥的高为a，几何体的体积Va3.答案A(二)求体积的几种方法空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割补法1公式法：直接根据相关的体积公式计算例4一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为_解析依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设球的半径为R，则4R3，所以R，于是正方体的体对角线长为2.设正方体的棱长为a，则有2a，于是a2，因此正方体的表面积为6a224.答案242转化法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高，从而使得体积计算更容易，或是可以求出一些体积比等例5如图所示，在正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()A11B12C21D32解析根据三棱锥的特点，可以采用等体积转化的方法解决法一：如图所示，由于点G为PB的中点，故点P，B到平面GAC的距离相等，故三棱锥PGAC的体积等于三棱锥BAGC的体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥GACD与三棱锥GABC的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即ACD与ABC的面积之比，这个面积之比是21.法二：如图所示，连接BD交AC于H，则点D，B到平面GAC的距离之比等于DHBH，因为AHDCHB，故DHBHADBC21，三棱锥DGAC与三棱锥BGAC底面积相等，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是21.答案C3割补法：把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积例6如图所示，若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B.C. D.解析如图所示，平面ABCD把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该正四棱锥的高是正方体边长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，V2.答案B二、破解高考中立体几何的三个难点问题破解难点一：探究与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图例1四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_解析如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OAOS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上在RtSEA中，SA，AE1，故SE1.设球的半径为r，则OAOSr，OE1r.在RtOAE中，r2(1r)21，解得r1，即点O为球心，故这个球的体积是.答案破解难点二：平面图形翻折问题的求解将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化，解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例2如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；BC平面ADE；三棱锥AFED的体积有最大值ABC D解析中由已知可得面AFG面ABC，所以点A在面ABC上的射影在线段AF上BCDE，且BC平面ADE，DE平面ADE，BC平面ADE.当面ADE面ABC时，三棱锥AFED的体积达到最大答案C破解难点三：立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型有：(1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；(2)探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么1综合法对命题条件的探索常采用以下三种方法：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设例3(2013东城模拟)如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；(2)是否存在，使得平面BEF平面ACD，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由解(1)EF平面ABC.因为AB平面BCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD90，所以BCCD，又ABBCB，所以CD平面ABC.又在ACD中，E，F分别是AC，AD上的动点，且(00恒成立f(x)min0；f(x)0恒成立f(x)max0.(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有(下面的a为参数)：f(x)f(x)max；f(x)g(a)恒成立g(a)0，得x1.且定义域为(0，)，所以函数f(x)的单调增区间是(1，)令f(x)0，得1x0.因而a(x1，e)令g(x)(x1，e)，又g(x)，当x1，e时，x10，ln x1，x22ln x0，从而g(x)0(当且仅当x1时取等号)所以g(x)在1，e上为增函数故g(x)maxg(e).所以a的取值范围是.点评利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数(二次方程)的问题研究，一般有下面几种类型：1一次函数型问题：利用一次函数的图象特点求解对于一次函数f(x)kxb(k0)，xm，n，有(1)f(x)0恒成立(2)f(x)0对xR恒成立(2)f(x)a2k1，求c的取值范围解(1)由a11，a2ca1c233c2c(221)c2c，a3ca2c358c3c2(321)c3c2，a4ca3c4715c4c3(421)c4c3，归纳猜想an(n21)cncn1，nN*.下面用数学归纳法证明：当n1时，等式成立；假设当nk时，等式成立，即ak(k21)ckck1，则当nk1时，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21ck1ck，综上，an(n21)cncn1对任何nN*都成立(2)由a2ka2k1，得(2k)21c2kc2k1(2k1)21c2k1c2k2，因c2k20，所以4(c2c)k24ckc2c10对kN*恒成立记f(x)4(c2c)x24cxc2c1，下面分三种情况讨论：当c2c0，即c0或c1时，代入验证可知只有c1满足要求当c2c0时，即0c1，抛物线yf(x)开口向下，因此当正整数k充分大时，f(k)0，即c1时，抛物线yf(x)开口向上，易知0，其对称轴x必在直线x1的左边因此，f(x)在1，)上是增函数所以要使f(k)0对kN*恒成立，只需f(1)0即可由f(1)3c2c10，解得c.结合c1，得c1.结合以上三种情况，c的取值范围为1，)点评本题中关于k的不等式，不能通过分离参数将k与c分离，这时的一般解法是直接利用函数知识求函数最值，只是这时的函数定义域不是连续区间，这也是数列与函数的区别由此可见，数列中的不等式恒成立与函数中不等式恒成立的解法基本相同，不同之处就是定义域不同排列组合在高考中的多方位交汇及古典概型与几何概型中的三类错误 一、排列组合在高考中的多方位交汇排列组合问题在高考中是常考内容，但近些年在考查角度及与其他知识的综合上有了加强，这反映出高考题中重在考查学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力有以下几个题型热点一：组合知识与向量知识的综合例1在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a(a，b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则()A.B.C. D.解析由已知条件，满足要求的向量分别为(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，故能构成的平行四边形个数nC15.由S平行四边形|x1y2x2y1|可得，(2,1)，(2,3)两向量构成的平行四边形面积为 S1|2312|4，(2,3)，(2,5)两向量构成的平行四边形面积为S2|2523|4，(2,1)，(4,1)两向量构成的平行四边形面积为S3|2114|2，(2,1)，(4,3)两向量构成的平行四边形面积为S4|2314|2，(2,3)，(4,5)两向量构成的平行四边形面积为S5|2534|2.面积不超过4的共有m5个故所求概率为.答案B点评本题中计数要求不高，但大家要有代入检验的意识热点二：组合知识与概率知识的综合例2盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_解析由题意知，从5个球中随机取出2个球共有C10种不同取法，而取出的球颜色不同共有CC6种不同取法，故所取出的2个球颜色不同的概率P.答案点评注意情景中的抽取球的过程与顺序无关，因此属组合问题，在找2个球颜色不同的个数时，又用了分步计数原理的知识热点三：排列知识与概率知识的综合例3有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A. B.C. D.解析5本书的全排列有A种排法，其中语文书相邻的排法有AA种，数学书相邻的排法有AA种，语文书数学书各自同时相邻的排法有AAA种，故所求概率为.答案B点评图书摆放在书架上具有顺序性，因此属于排列问题，本题在处理都不相邻的问题上灵活应用了间接思维，使复杂问题简单化二、盘点古典概型与几何概型中的三类错误古典概型与几何概型是高考中的常考知识点对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖如下几个类型易错：类型一：知识性错误例1设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球(1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率错解一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况，(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A(白，白)，所以P(A).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B(白，黑)，所以P(B).错因分析在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的正解我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,6)，(6,1)，(6,2)，(6,5)，共30个(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12个所以P(A).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)共16个所以P(B).类型二：数学思维方法应用错误例2有6个房间安排4个旅客住，每个人可以住进任一房间，且住进各房间是等可能的(1)指定的4个房间中各有1人住的事件的概率为_；(2)指定的房间有2人住的事件的概率为_错解所有基本事件的个数为6543360.(1)指定的4个房间中各有1人住，有432124种，故所求的概率为；(2)从4人中选2人去指定的房间，有6种方法，余下2人每人去5个房间中的任一间，有5420种方法，故所求的概率为.错因分析本题错误地理解了基本事件的个数，忽视了基本事件可以包含多个人住一个房间的情况正解每人可以进住任一房间，且进住各房间都有6种等可能的方法，故所有可能的情况有64种，(1)指定的4个房间中各有1人住，有432124种，故所求的概率为；(2)从4人中选2人去指定的房间，有6种方法，余下2人每人去5个房间中的任一间，有52种方法，故所求的概率为.类型三：审题错误例3在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率错解如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长为基本事件的度量，当M位于线段AC(ACAC)上时，AMAC，故线段AC的长为所求事件的度量故P(AMAC)P(AMAC).答：AM的长小于AC的概率是.错因分析由于本题是在ACB作射线CM，等可能分布的是CM在ACB内的任一位置，因此基本事件的度量应是ACB的大小而不是线段AB的长，这是类似问题由于等可能的视角不同造成的，概率也会不一样正解据题意知AMAC的概率应为满足条件的ACM与ACB大小的比，即P(AM且a0，y10，y20，得y1，则点M，从而直线AM的方程为yx1；由x2，1及y20，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)点评化解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量突破难点二：圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值例2已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4，0)(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值解(1)由已知，直线l的方程为x4时不合题意设直线l的方程为yk(x4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以，解得k，所以直线l的斜率为.(2)证明：设线段AB的中点坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy0(xx0)，联立方程消去x得y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2.因为N为AB的中点 ，所以y0，即y0，解得x02，即线段AB中点的横坐标为定值2.点评求定值问题，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值突破难点三：圆锥曲线中的范围及最值问题圆锥曲线中的范围问题既是高考的热点问题，也是难点问题解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系，但根据目标函数和不等式求范围正是求解这类问题的难点建立目标函数的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特性、判别式法或基本不等式等灵活处理例3已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意，得解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为(xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212x22mxm212(x4m)2123m2.因为当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x4时，|取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，所以4m4.故实数m的取值范围是1,4例4已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|l1，|DB|l2，求的最大值解(1)设P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)即2(y1)x22(y1)，即x24y.所以动点P的轨迹C的方程为x24y.(2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a24b.圆M的半径为|MD| .圆M的方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2.令y0，则(xa)2b2a2(b2)2，整理得，x22ax4b40.由解得xa2.不妨设A(a2,0)，B(a2,0)，l1 ，l2 .2 2 ，当a0时，由得，2 2 2.当且仅当a2时，等号成立当a0时，由得，2.故当a2时，的最大值为2.点评求圆锥曲线中的范围及最值问题，关键是建立不等关系，然后利用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式求出相关问题三法破解集合运算和充要条件判断的问题一、三法定乾坤谈集合运算问题的三种方法集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果1列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题其基本的解题步骤是：例1设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Qz|zab，aP，bQ，若P1,0,1，Q2,2，则集合P*Q中元素的个数是()A2B3C4 D5解析当a0时，无论b取何值，zab0；当a1，b2时，z(1)(2)；当a1，b2时，z(1)2；当a1，b2时，z1(2)；当a1，b2时，z12.故P*Q，该集合中共有3个元素答案B点评求解两个集合之间的运算应该注意三个问题：一是集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等；二是注意集合中对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍；三是求解集合的补集运算时，一定要先求出原来的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致漏解出错，如集合A的补集不是B，而是B.2数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算其求解的基本步骤是：例2(2013嘉兴模拟)已知全集UR，集合Ax|log(x1)0，B，则B(UA)()A0,1 B0,1)C(0,1) D(0,1解析由log(x1)0，得0x11，即1x2，A(1,2)由0，得x(2x3)0，即0x，B.如图所示，在数轴上表示出集合A，B.则UA(，12，)，B(UA)(0,1答案D点评数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算，应注意利用数轴表示集合时，要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合，避免因区间端点值的取舍不当造成增解或漏解3属性分析法属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合基本运算的方法，主要是解决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题解决此类问题的基本步骤是：例3已知全集U1,2,3,4,5,6,7，M3,4,5，N1,3,6，则集合2,7()AMN B(UM)(UN)C(UM)(UN) DMN解析显然2U,2M,2N，所以2UM,2UN，所以2(UM)(UN)；而7U,7M,7N，所以7UM,7UN，所以7(UM)(UN)综上，易知2,7(UM)(UN)答案B点评属性分析法的实质是利用集合中元素的确定性，即元素与集合之间的关系：属于与不属于在推理过程中还要注意已知集合之间的关系，如aU，aA且AU，则必有aUA.二、三法破解充要条件的判断问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包括两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中