2015-2016南通中学 海门中学联考 数学I参考答案.doc

高三调研测试数学 参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合，则 【答案】2命题“，”的否定是 【答案】，3已知i是虚数单位，则复数的模为 【答案】14已知圆锥的底面半径为1，圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为 s1While s 1612设均为正实数，且，则的最小值为 【答案】513若点P为直角三角形ABC的斜边BC上任意一点，点Q为线段AP的中点已知边AB，AC的长分别为4和2，则的最小值为 【答案】14已知数列，满足，且（其中）则数列的通项公式为 【答案】二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知，又（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调增区间解：（1）由， 3分 得：，所以 6分（2）， 9分 则， 得：， 13分 所以的单调增区间为 14分16（本小题满分14分）PEDABC（第16题）在四棱锥中，平面PAD平面ABCD底面ABCD是矩形，且AD=2AB在中，PA=PD，E为AD的中点求证：（1）AB平面PCD； （2）BE平面PEC 证明： （1） 四边形是矩形， ， 又平面，平面， 平面； 4分 （2） 为的中点， ， ， 8分 又，为中点， ， 平面平面， 平面平面， 又 平面， 平面， 又 平面， 12分 平面， ， 平面 14分17（本小题满分14分）BD（第17题）AC在边长为2的正方形铁板ABCD中，以点C为圆心、1为半径作的个圆，如图所示过圆弧上任意一点作圆弧的切线，可将铁板切为两个部分，求点A的所在部分的最大面积解：设切点为，切线交直线，于，设，且，则，由的面积可知：即: . 2分若点，分别在线段，上，则，且 ，所以当且仅当时取等号. ，因此，当且仅当时取的最大值 6分若点在线段上，点在线的延长线上，此时，设切线交线段于，则由相似可知：，即：，解得 则， 8分 又，代入化简得： ， 10分(注：且，代入化简则也可以） 又因为，所以， 则 12分若点在线段上，点在线段延长线上， 根据对称性，此时面积的最大值和相同，所以综上，因为 ，所以当时， 14分（注：本题设直线EF切圆弧于M点，能建立以为自变量，含点C所在部分的面积为目标的函数也同步给分）18（本小题满分16分）已知数列的各项均为正数，且对于任意正整数n都有（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足 求证：； 解：（1）令，则，整理有：， 解得： （舍去），则，即， 3分 所以； 5分 （2）由（1）知：， 7分 所以 ， 所以 ； 10分 由知：， 当时， 则 14分 ，当时，成立 所以 16分19（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点是椭圆C：（其中）上任意一点，过点P作椭圆C的切线l（1）求证：直线l的方程为；（2）证明：直线l与右准线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过椭圆的右焦点F；（3）若点M为椭圆C外一点，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B求证：直线OM平分线段AB证明：（1）将直线l的方程和椭圆的方程联立，当时，可得， 消去y，整理可得：， 因此， 3分 因为，所以 所以，直线l与椭圆C相切； 5分当时，则直线l ：与椭圆相切 ，综上所述：直线l的方程为 6分（注：未讨论与扣1分） （2）由（1）可知，直线l的方程为， 令，则， 8分 则， 所以，则以PQ为直径的圆过椭圆的右焦点F； 10分 （3）设两个切点坐标分别为，设，的中点为， 则两条切线方程分别为， 因为在两条切线上，所以， 两式相减，可得：， 当时，当时， 13分 而由，可得， 当时，当时，15分 所以，O，M，N三点共线，即直线OM平分线段AB 16分 （注：未分类讨论扣1分）20（本小题满分16分）设函数，其中a为实数（1）若a=1，求证：恒成立；（2）若函数在区间上任意两点的连线段的斜率都小于4，求实数a的最小值；（3）若方程有解，求实数a的取值范围（1）证明：当a=1时，则， 所以，当时，当时， 所以，； 3分（2）解：由题意可知，在时恒成立，不妨设， 则，即， 5分 即有函数在区间上为单调减函数， 所以，恒成立，所以，即；7分（3）解：方法一： 由题意可知有解，即在上有解， 令，该函数为连续函数，则， 8分 （）若，即：时，则，当时， 当时，因此在内是增函数，在内是减函数， 则在时有最大值为， 因此在内无解 10分()若，即：时，有两个零点，当，即时，在，上是增函数， 在上是减函数，且，令，则有两零点，因此当时，又， 所以 所以在内有解， 所以当时，在有解 12分 若，即：时，此时在，上是增函数，在上是减函数，由可知，所以在有解若，即时，此时，由，同理： 在有解 14分() 若，即：时，有两个零点，且 因此在上是增函数，在上时减函数，则 若，即时，恒小于，所以无解； ，即时，则，所以在上有解；综上所述：当或时，有解 16分 方法二：由题意可知有解，所以， 当时，方程不成立 当时，令， 则有解 9分 所以， 在时， 在时， 11分 所以有极大值为， 在时， 所以在