导数及其应用同步练习题(教师版).doc

导数及其应用同步练习题导数及其应用同步练习题 一 选择题 1 函数 2 1 6 x x y 的极大值为 A 3B 4C 2D 5 答案 A 解析 当 x 1 时 取得极大值 极 22 2222 6 1 626 1 1 1 xxxx y xx 12 1 1xx y 大值为 3y 2 函数lnx 的单调递减区间是 xy A B C D 0 e 1 e 1 e e 1 答案 D 解析 试题分析 函数定义域 令得 所 0 lnln1yxxyx 0y 1 0 xe 以减区间为考点 函数单调性点评 判定函数单调性先求定义域 然后由导数小于零求得减区间 由导 1 0 e 数大于零求得增区间 3 函数取得最大值时的值是 22 2 yxx x A B 1 C D 1 1 2 答案 C 解析 解 因为 可知当 y 0 时 和 y 0 时 223 2 444 1 1 yxxyxxxxx 的解集 进而得到极值 从而得到最值 可知在 x 时 取得最大值 选 C1 4 已知函数 xfy 其导函数 xfy 的图象如下图 则对于函数 xfy 的描述正确的是 A 在 0 上为减函数 B 在0 x处取得最大值 C 在 4 上为减函数 D 在2 x处取得最小值 答案 C 解析 由 xfy 的图象可知 f x 在 x 2 处取得极小值 在 x 0 x 4 处取得极大值 在 4 上为减函数 5 函数在内有极小值 则 3 33f xxbxb 0 1 A B C D 01b 1b 0b 1 2 b 答案 A 解析 试题分析 先对函数 f x 进行求导 然后令导函数等于 0 由题意知在 0 1 内必有根 从而得到 b 的范围 解 因为函数在 0 1 内有极小值 所以极值点在 0 1 上 令 f x 3x2 3b 0 得 x2 b 显然 b 0 x 又 x 0 1 0 1 0 b 1 故选 A bb 考点 导数的运用点评 本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题 6 函数在区间内是增函数 则实数的取值范围是 3 2f xxax 1 a A B C D 3 3 3 3 答案 B 解析 试题分析 根据题意 由于在区间内是增函数 则说明 3 2f xxax 1 区间内是恒成立 则只要 a 大于函数的 最大值即可 结合二次函数的 22 303fxxaax 1 性质可知当 x 1 时 函数取得最大值 3 因此可知实数的取值范围是 选 B 考点 函数的单调性a 3 点评 解决的关键是能够利用导数恒大于等于零来说明函数的单调性 从而利用分离参数的思想来得到结论 属于基础题 7 函数 已知在时取得极值 则 93 23 xaxxxf xf3 xa A 2B 3C 4D 5 答案 D 解析 解 对函数求导可得 f x 3x2 2ax 3 f x 在 x 3 时取得极值 f 3 0 a 5 故答案为 选 D 8 函数的单调递减区间是 x exxf 3 A B C D 2 3 0 4 1 2 答案 A 解析 解 因为 xxxx f x x3 ef x e x3 ee x2 f x 0 x2 因此递减区间为 选 A 2 9 函数上既有极大值又有极小值 则的取值范围为 32 6 f xaxxx 在a A B C D 0a 0a 1 3 a 3 1 a 答案 D 解析 解 因为函数上既有极大值又有极小值 32 6 f xaxxx 在 所以 2 1 32104 120 3 fxaxxaa 10 函数的定义域为开区间 导函数在内的图象如图所示 则函数在开区间 xf ba x f ba xf 内极值点有 ba A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 C 解析 解 由导函数图像可知 图像穿过 x 轴 3 次 说明有 3 个极值点 选 C 11 函数的极大值为 6 极小值为 2 则的减区间 0 3 3 abaxxxf xf A 1 1 B 0 1 C 1 0 D 2 1 答案 A 解析 函数的极大值为 6 极小值为 2 则有 0 3 3 abaxxxf 2 330fxxa 可以得到在为增函数 在上为减函数 因此取极xa f x aa aa xa 大值 取极小值 解得 减区间为 1 1 xa 4b 1a 12 已知函数有极大值和极小值 则 a 的取值范围是 5 63 23 xaaxxxf A 3 a 6 B 1 a 3 C a6 D a3 答案 C 解析 f x 有极大值和极小值 则 所 2 3236fxxaxa 2 44 3 36 0aa 以 a6 二 填空题 13 在 2 2 上的最大值是 答案 3 3 31f xxx 解析 所以最大值为 3 2 330 1 1fxxxx 1 3 1 1 2 1 2 3ffff 14 当 1 1 x时 函数 x e x xf 2 的值域是 答案 0 e 解析 在区间上是减函数 f x 在区间 1 2 上是增函 22 2 22 xx xx xex exx fx ee f x 1 0 数 所以当 x 0 f x 取得最小值 0 因为 f 1 e f 1 显然最大值为 e 所以 f x 的值域为 0 e 1 e 15 函数 y x3 ax2 x 2a 在 R 上不是单调函数 则 a 的取值范围是 1 3 答案 1 1 解析 试题分析 函数导数 因为函数在 R 上不是单调 2 21yxax 函数 所以导数值有正有负 即导函数与 x 轴有两个交点或 2 21yxax 01a 1a 考点 函数单调性 点评 本题通过函数导数判定函数单调性 在 R 上不是单调函数 则存在极值点 即存在导数值大于零和小于 零的情况 16 已知函数在处有极大值 在处有极小值 则 32 27yxaxbx 1x 3x a b 答案 解析 略3 9 17 若函数在区间恰有一个极值点 则实数的取值范围为 32 4f xxxax 1 1 a 答案 解析 解 因为函数在区间恰有一个极值点 则说明了 1 5 32 4f xxxax 1 1 0 在区间只有一个实数根 借助于二次函数图像可知实数的 2 32 fxxxa 1 1 a 取值范围为 1 5 18 函数是上的单调函数 则的取值范围是 1 23 mxxxxfRm 答案 解析 略 3 1 19 若函数在区间上单调递减 则实数的取值范围是 1 23 axxxg 2 1a 答案 解析 3 a 32 2 max 11 2 320 232363 g xxaxg xxax axaxa 在上单减 则恒成立 恒成立 即 20 若 a 0 b 0 且函数 f x 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1 处有极值 则 ab 的最大值为 答案 9 解析 解 f x 12x2 2ax 2b 又因为在 x 1 处有极值 a b 6 a 0 b 0 ab a b 2 2 9 当且仅当 a b 3 时取等号 所以 ab 的最大值等于 9 三 解答题 21 设函数 842 23 xxxxf 求 xf 的极大值点与极小值点 求 xf 在区间 0 5 上的最大值与最小值 答案 解 443 2 xxxf 令 0 x f 解得 2 3 2 21 xx 1 分 xf 的单调递增区间 3 2 2 单调递减区间 2 3 2 2 分 xf 的极大值点 x3 2 极小值点 2 x 3 分 列表 x5 2 5 2 0 2 0 x f 0 xf 极小值 5 分 当 0 x 时 8 0 f 当 2 x 时 0 2 f 当 5 x 时 63 5 f 在区间 0 5 上的最大值为 63 最小值为 0 7 分 解析 本试题主要是考查了函数的极值和最值问题的运用 1 先求解导数 然后判定函数的单调性 利用极值的概念可知道饿到第一问的结论 2 在第一问的基础上 进一步比较端点值的函数值域极值的大小关系得到最值 22 已知函数 当时 有极大值 32 yaxbx 1x 3 1 求函数的解析式 2 求函数的单调区间 3 求此函数在 2 2 上的最大值和最小值 答案 1 2 增区间为 减区间为 23 96 xxxf 1 0 1 0 3 12 84 2 minmax xffxf 解析 本试题主要是考查了导数在研究函数中极值和最值的问题的运用 解 1 由题意知 2 分 bxaxxf23 2 3 1 0 1 ff 解得 3 分 3 023 ba ba 9 6 b a 23 96 xxxf 2 1 181818 2 xxxxxf 当时 的单调递增区间为10 x0 xf xf 1 0 当时 的单调递减区间为 7 分 10 xx或0 xf xf 1 0 3 当时 当时 0 x0 0 fxf 极小值 1 x3 1 fxf 极大值 又 10 分 12 2 84 2 ff12 84 2 minmax xffxf 23 已知函数 3 f xaxbxc 在1x 处取得极值4c 1 求 a b 2 设函数 yf x 为 R 上的奇函数 求函数 f x在区间 2 0 上的极值 答案 1 2 6 a b 2 f x在1x 处有极大值 1 264f 无极小值 解析 试题分析 2 3fxaxb 1 1 4 1 0 fc f 4 30 abcc ab 2 6 a b 2 因为其为奇函数 3 26f xxx 2 666 1 1 fxxxx 令 0fx 1x 或 1 2 0 x 1x 当 2 1 0 xfx 1 0 0 xfx f x在1x 处有极大值 1 264f 无极小值 考点 本题主要考查应用导数研究函数的单调性 极值 点评 中档题 本题属于导数应用中的基本问题 通过研究导数的正负 明确函数的单调性 判断函数的驻点 是何种类型的极值点 24 已知函数 32 f xxaxbxc 在 2 3 x 与1x 时都取得极值 1 求 a b的值 2 求函数 f x的单调区间 答案 解 1 a b 2 2 递增区间是 2 3 与 1 递减区间是 2 1 3 1 2 解析 第一问 利用函数 32 f xxaxbxc 在 2 3 x 与1x 时都取得极值 得到两个导数值为零 然 后利用求解后的解析式 代入原式中 研究函数的单调性 令 得0 xf1 3 2 xx或 当 当 时0 xf1 3 2 xx或时0 xf1 3 2 x 解 1 322 2 f x xaxbxcf x 3x2axb 2 f x x x 1 3 2124 f 0 f 1 0 3 2a b 0 393 1 a b26 2 2f x 3x x 2 3x 2 x 1 8 在和处取得极值 因此则有 a b 0且 分 分 令 得0 xf1 3 2 xx或 当 时0 xf1 3 2 xx或 当 10 分时0 xf1 3 2 x 所以函数 f x的递增区间是 2 3 与 1 递减区间是 2 1 3 12 分 25 已知函数 曲线在点 x 1 处的切线为 cbxaxxxf 23 xfy 013 yxl 若时 有极值 1 求的值 2 求在上的最大值和最小值 3 2 x xfy cba xfy 1 3 答案 函数的导函数为 曲线在点 x 1 处的切线cbxaxxxf 23 2 32fxxaxb xfy 为 则有 013 yxl 1 323fab 1 14fabc 又根据时 有极值 则有 解得 a 2 b 4 c 5 3 2 x xfy 2 222 3 20 333 fab 2 当时 2 344 2 32 0 fxxxxx 2 2 3 x 2 3 2 1 3 x 0fx 当时 函数在为增函数 在为减函数 取与 2 2 3 x 0fx f x 2 3 2 1 3 2 2 3 2 f 中的最大值为最大值 与中的最小值求得最小值 1 f 3 f 2 3 f 最大值 f 2 13 最小值 f 2 3 95 27 解析 略 26 函数 f x 4x3 ax2 bx 5 的图在 x 1 处的切线方程为 12yx 1 求函数 f x 的解析式 2 求函数 f x 在 3 1 上的最值 答案 1 f x 4x3 3x2 18x 5 2 最小值为 76 最大值为 16 解析 1 求出 f 1 x 12x2 2ax b 由 解得 a 3 b 18 求出函数 f x 1 12 1 12 f f 的解析式 2 在 1 的条件下 研究函数 f x 在 3 1 上的单调性 求出其极值与端点值 比较 得最值 解 1 f 1 x 12x2 2ax b 2 分 y f x 在 x 1 处的切线方程为 y 12x 即 12 1 1 12 1 f fk 1254 12212 ba ba 解得 a 3 b 18 f x 4x3 3x2 18x 5 5 分 2 f 1 x 12x2 6x 18 6 x 1 2x 3 令 f 1 x 0 解得 x 1 或 x 2 3 当 x 1 或 x 时 f 1 x 0 2 3 当 1 x 时 f 1 x 0 8 分 2 3 x 3 1 在 3 1 上无极小值 有极大值 f 1 16 又 f 3 76 f 1 12 f x 在 3 1 上的最小值为 76 最大值为 16 10 分 27 已知1 x是函数 2 x f xaxe 的一个极值点 a R 1 求a的值 2 求 xf在区间 0 2上的最值 答案 1 1a 2 在区间 0 2上 f x的最大值为 2 0f 解析 试题分析 1 解 2 exfxaxa 由已知得0 1 f 解得1 a 当1a 时 2 exf xx 在1x 处取得极小值 所以1a 2 由 1 知 2 exf xx 1 exfxx 当 1 0 x时 01 x exxf xf在区间 0 1单调递减 当 1 2x 时 1 0 x fxxe xf在区间 1 2单调递增 所以在区间 0 2上 f x的最小值为 1 ef 又 0 2f 2 0f 所以在区间 0 2上 f x的最大值为 2 0f 考点 本题主要考查导数的应用 利用导数研究函数的单调性 最值 点评 中档题 导数的应用是高考必考内容 思路往往比较明确根据导数值的正负 确定函数的单调性 最值 点不多是极值点或区间端点 28 已知函数 1 当时 求的单调区间与最值 1 axexf x Ra 2 a xf 2 若在定义域 R 内单调递增 求的取值范围 xfa 答案 1 时 函数的单调增区间是 递减区间为2 a xf 2ln 2ln 2 的取值范围为 a 0 解析 试题分析 解 1 当时 2 a12 xexf x 2 x exf 令 即 解得 0 x f02 x e2ln x 令 即 解得 0 x f02 x e2ln x 在时取得极小值 亦为最小值 即 xf2ln x2ln21 2 ln f 当时 函数的单调增区间是 递减区间为2 a xf 2ln 2ln 的最小值为 xf2ln21 2 在 R 上单调递增 1 axexf x aexf x xf 恒成立 0 aexf x 即 恒成立 时 即的取值范围为 x ea Rx Rx 0 x e0 aa 0 考点 导数在函数内的运用 点评 解决该试题的关键是能根据导数的符号 判定函数单调性 进而确定出极值 同时能根据函数递增 则 说明导数大于等于零 解决参数范围 属于中档题 29 已知函数 其图象在点 1 处的切线方程为 322 1 1 3 f xxaxaxb a bR 1 f 1 求 a b 的值 2 求函数的单调区间 并求出在区间 2 4 上的最大值 30 xy f x f x 答案 1 A 1 b 2 8 解析 试题分析 解 1 由题意得 3 8 12 22 aaxxxf 得 A 1 b 1121 1 2 aaf 3 8 2 得 x 1 或 x 0 有列表得 0 2 xxxf 21 3 8 0 极小值极大值 fxffxf 而 f 2 4 f 4 8 所以 f x 的最大值为 8 考点 函数的求导运算 函数的导数与单调性的关系 函数的导数与最值的关系 点评 求函数的单调区间急最值 有多种求法 但本题函数是次数较高 只能用导数求解 30 已知 函数 0 ln 22 xcbxxaxxf在1 x处取得极值c 3 其中cba 为常数 1 试确定ba 的值 2 讨论函数 xf的单调区间 3 若对任意0 x 不等式 2 2 cxf 恒成立 求 c 的取值范围 答案 6 a xf的单调递减区间为 1 0 而 xf的单调递增区间为 1 2 3 1 解析 I 由 f 1 的值 及可建立关于a b 的方程 求出a b 的值 1 0 f 2 由大于 小 零 确定函数的单调增 减 区间 fx 3 在 2 的基础上 求出f x 的最小值 根据f x min 解关于 c 的不等式即可 2 2c 由题意知cf 3 1 因此ccb 3 从而3 b 又对 xf求导得xaxxaxxf6ln2 由题意0 1 f 因此02 ba 解得6 a 由 知xxxfln12 令0 xf 解得1 x x 1 0 1 1 xf 0 xf 极小值 1 f 因此 xf的单调递减区间为 1 0 而 xf的单调递增区间为 1 由 知 xf在1 x处取得极小值cf 3 1 此极小值也是最小值 要使 0 2 2 xcxf恒成立 只需 2 23cc 即032 2 cc 从而0 1 32 cc 解得 2 3 c或1 c 所以 c 的取值范围为 2 3 1 31 已知函数在处取得极值 xbxaxxf62 23 1 x 1 讨论和是函数的极大值还是极小值 1f 1 f xf 2 求函数在处的切线方程 3 求函数在区间上的最值 xf2 x xf 2 3 答案 1 为极小值 为极大值 2 1f 1 f3218 xy 3 4 2 max fxf 363 min fxf 解析 32 2 22 26626 6260 1 0 6260 62666 11 f xaxbxxfxaxbx ab ab ab fxaxbxx xx 在x 1处取得极值 当时 导数为正 当 1 时 导数为负 f 1 为极小值 当x 1时 导数为正 f 1 为极大值 2 函数在处 xf2 x 23 26 2 618 264ff xxx 点纵标为 点斜式得出方程 3 23xx 由 1 得 当x 1时 导数为正 原函数为增函数 所以 当时区最大值 最小值 32 已知函数 若函数是 R 上的单调递增函数 求实数的的取值范围 32 3 f xxaxx aR f xa 若是的一个极值点 求在上的极大值与极小值 3x f x f xR 答案 1 2 的极大值为 的极小值为 33a f x 32 111113 5 3 333327 f f x 32 3 35 33 39 f 解析 本试题主要考查了导数在研究函数中的运用 第一问中 利用函数是 R 上的单调递增函数 则导 f x 数恒大于等于零 分离参数法求解参数的取值范围 第二问中 是的一个极值点 a3x f x 30f 即 解得 这时 利用导数符号判定单调性 273230a 5a 2 3103fxxx 解 解 因为为在上的单调递增函数 32 3f xxaxx R 则 0 对于x R 恒成立 2 323fxxax 所以 解得 3 分 2 44 90a 33a 2 323fxxax 因为当时有极值 所以 即 3x 30f 273230a 解得 5 分 这时 5a 2 3103fxxx 令 得或 6 分 2 31030fxxx 1 1 3 x 2 3x 当变化时 随的变化情况如下表所示 x fxf xx x 1 3 1 3 1 3 3 3 3 fx 0 0 f x 增函数极大值减函数极小值增函数 10 分