5-4稳定性分析.doc

5-4稳定性分析一、 引言在频域的稳定判据中，目前应用得比较广泛的是奈魁斯特(Hnyguist)判据，简称奈氏判据，这是一种应用开环频率特性曲线来判别闭环系统稳定性的判据。由于闭环系统的稳定性决定于闭环特征根的性质，因此，运用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，首先应明确开环频率特性与闭环特征方程之间的关系，然后，进一步寻找它与闭环特征根性质之间的规律性。假设控制系统的一般结构如图5-21所示。式中、为的多项式，其的最高幂次分别为、，且。开环系统的稳定性取决于开环特征方程的根的分布情况。闭环系统的稳定性取决于闭环特征方程的根的分布情况。闭环特征方程可写成可见，及分别为开环和闭环的特征多项式。将它们的特征多项式联系起来，引入辅助函数，即（5-21）以代入上式，则有 (5-22)式(5-21)和(5-22)确定了系统开环频率特性和闭环特征式之间的关系。二、 奈魁斯特稳定判据闭环系统稳定的充要条件是： 当时， 系统开环幅相频率特性曲线正向包 围 点的圈数等于开环特征式的正根数的二分之一。即 (5-23)否则闭环系统不稳定。若开环系统稳定，则闭环系统稳定的充要条件是：系统开环幅相频率特性曲线不包围点。否则闭环系统不稳定。所谓正向包围点，是指开环幅相频率特性曲线按逆时针方向包围点。【例5-2】一个单位反馈系统开环传递函数为试判别闭环系统的稳定性。解首先作开环幅相频率特性曲线，如图5-22中实线所示。由图可见，开环幅相相频率特性曲线不包围点，即同时从开环传递函数可知，开环特征根均分布在平面的左半平面，开环系统不存在右极点，即，因此，根据奈氏判据，闭环系统稳定。若系统开环增益增大到，系统放大环节的放大系数增大(或减小)，只增大(或减小)系统开环频率特性的幅值； 相频特性却不会改变。因此，这时的开环幅相频率特性曲线如图5-22中虚线所示。由图可见，系统开环幅相频率特性曲线反向包围点一圈，因此，开环右极点数仍为零，故，则闭环系统不稳定。【例5-3】已知单位反馈系统开环传递函数试判别闭环系统的稳定性。解作出开环幅相频率特性曲线，如图5-23所示。由图可见，正向包围点半圈，即；由可知开环是不稳定的，有一个正根，即，故，闭环系统稳定。从上述这两个例子可以看出，开环系统稳定，但若各部件以及被控对象的参数选择不当，很可能保证不了闭环系统的稳定性；而开环系统不稳定，只要合理地选择控制装置，完全能使闭环系统稳定。下面证明奈氏判据的稳定条件，奈氏判据实质上是映射定理在自动控制系统中的应用。(1) 映射定理说明设写成零、极点形式的复变函数为根据(5-21)式可知，上式和分别为开环和闭环系统的极点。映射定理： 若自变量在平面上顺时针沿着任意一条封闭回线 (封闭回线应避开复变函数的零、极点)移动一周，并在封闭回线内包围有的Z个零点、P个极点时，那么的映射线在平面上包围其坐标原点圈。假设辅助函数在平面上的零、极点分布如图5-24(a)所示。现在选取： 选择整个虚轴及半径为无穷大的半圆作为。这样包围了平面的整个右半平面，即包围了闭环系统的全部右极点(即的全部右零点)个，以及开环系统的全部右极点(即的全部右极点)个。在回线之外任意取一个极点 (或零点)，当复变量沿顺时针转一周时，向量的相角变化为零，即。显然中所有在之外的零、极点的相角变化均为零。而在内任取一零点(或极点)，当复变量沿顺时针转一周时，向量的相角增量为，即。可见，在右半平面所有零、极点的相角增量之和分别为和，因此，当复变量沿封闭回线运动一周时，的映射线的相角增量为又因为，故与在图形上完全相同，只是纵坐标轴向右平移一个单位距离1， 平面的原点则为平面的点，如图5-24(b),(c)所示。由此可见，当沿移动一周时，的映射线在平面上相对点的相角变化应为，则包围点圈。(2) 的映射线是系统开环幅相频率特性曲线当在无穷大的半圆上移动时，由于开环传递函数分母的最高次幂大于(或等于)分子的最高次幂，因此映射线缩成一个点，即在平面上的坐标原点(或实轴上某个点)。当沿虚轴变化时，则为频率特性曲线。又因为,和变化时，幅相频率特性曲线对称于实轴，因此工程上常用其变化的开环幅相频率特性曲线表示。根据映射定理： 若当沿顺时针移动一周，其映射线，即系统开环幅相频率特性曲线包围点圈，即有式中为闭环系统的右极点数。因此，闭环系统稳定的充分必要条件为：系统开环幅相频率特性曲线正向包围点圈(因为总是等于零或大于零的正整数)，即若开环系统稳定要使闭环系统稳定的充分必要条件是：系统开环幅相频率特性曲线不包围点，即最后，讨论当控制系统的开环传递函数在平面的原点处有极点（，即含有串联积分环节)时，应用奈氏稳定判据分析闭环系统的稳定性问题。在这种情况下，为使封闭回线不经过平面的原点，应该在平面上选取如图5-25(a)所示的封闭回线。可见在坐标原点虚轴右侧作半径为趋于零的小半圆，使复变量在坐标原点的右侧绕过坐标原点处的极点。当自变量在上述小半圆上变化时，有其中对角度的规定为：当从沿小半圆移动到时，按逆时针方向转过角度。复变量在这小半圆上移动的映射线为(5-24)对于一型系统，由式(5-24)可见，平面上以原点为圆心，以无穷小为半径位于该平面右半侧小半圆的映射线，将是按顺时针方向从变化到转过角度以无穷大为半径的圆弧(如图5-25(b)。由图可见，增补后的开环幅相频率特性，它仍具有封闭对称形式。然后，按照增补开环频率特性从变化到，又从继续变化到曲线如图5-26所示，便可应用奈氏判据来分析闭环系统的稳定性。【例5-4】在例5-1中，系统开环传递函数其幅相频率特性曲线如图5-26所示。试判别闭环系统的稳定性。-解因为系统开环传递函数中无右极点，即，由图5-26可见，系统开环幅相频率特性曲线不包围点，即,故，所以闭环系统是稳定的。同理，如果开环传递函数中包含有个积分环节，则绘制开环幅相频率特性曲线后，必须增补从开始顺时针转90到为止的半径为无穷大的一段圆弧。然后用增补后的开环幅相频率特性曲线来分析闭环系统的稳定性。【例5-5】一单位反馈系统，其开环传递函数试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。解系统开环幅相频率特性曲线，如图5-27所示。图中虚线是按=2画的增补圆弧。可见，开环幅相频率特性曲线反向包围点一圈，开环右极点数，因此，所以闭环系统不稳定。在工程计算中，常采用开环对数频率特性曲线。故必须把奈氏判据的条件转换到开环对数频率特性曲线上来，直接用开环对数频率特性曲线来判别闭环系统的稳定性，这样将会更方便。三、 对数稳定判据由奈氏判据可知，若系统开环稳定，由变化时，开环幅相频率特性曲线不包围点，则闭环系统稳定。若包围点，则闭环系统为不稳定。通过点，则闭环系统为临界稳定状态。若某系统开环幅相频率特性曲线如图5-28(a)所示，其对数频率特性曲线如图5-28(b)所示。根据奈氏判据，则闭环系统是稳定的。如果用开环幅频特性和开环相频特性来描述上述闭环系统，则稳定条件为：在的范围内，开环幅相频率特性曲线对线的正穿越(随增加相角也增大)次数、负穿越(随增加相角减小)次数之差必须等于零。由于的范围，对应着的范围。因此可得对数稳定判据如下：在开环对数幅频特性曲线的所有频率范围内，对数相频特性曲线对线的正、负穿越次数之差等于零，则闭环系统稳定。若开环系统不稳定，要闭环系统稳定的充要条件是：在的所有频率范围内，曲线对线的正负穿越次数之差等于。即式中为正穿越次数；为负穿越次数。同理，当开环传递函数中包含有个积分环节时，在对数相频特性曲线上必须增补从变化时所相应的相角变化量90。 【例5-6】已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环系统的稳定性。解绘制系统开环对数频率特性曲线，如图5-29所示。开环传递函数中有二个积分环节，从变化时相应的相角变化量为，在相频特性曲线上增补一段从的相角，如图5-29中虚线所示。根据对数判据：在的所有频率范围内，相频特性曲线穿越线，由开环传递函数可知，因此，故闭环系统不稳定。四、 稳定裕量为了使系统能很好地工作，不但要求系统稳定，而且要有一定的稳定裕量。下面可以看到稳定裕量不但是衡量一个闭环系统稳定程度的指标，而且与系统性能有密切的关系。通常有二种稳定裕量，即相稳定裕量和幅稳定裕量。相稳定裕量：是指在开环幅相频率特性曲线上幅值等于1的矢量与负实轴的夹角，如图5-30(a)所示。在开环对数频率特性曲线上，系统截止频率点的相角离线的角度，如图5-30(b)所示，图中箭头方向为正方向。相裕量的表达式为 (5-25)相裕量的含义是： 如果系统对频率信号的相角迟后量再增大，则系统将处于临界稳定状态，这一点从图5-30上很容易看出。所以说相裕量是系统在相角上的稳定储备量。幅值稳定裕量：是指开环幅相频率特性曲线与线交点()处幅值的倒数，即 (5-26a)在开环对数频率特性曲线上，相频特性曲线为时的对数幅值离零分贝线的距离，如图5-30(b)所示。图中箭头方向为正方向。其表达式为 (5-26b)幅值裕量的含义是： 如果系统开环增益增大到原来的倍，则系统就将处于临界稳定状态。所以说幅裕量是系统在幅值上的稳定储备量。对于最小相位系统，当相裕量大于零而幅裕量大于1(的分贝值为大于零)时，表明系统是稳定的。且和越大，系统的稳定程度越好； 当1、 1(分贝值为负)时，则表明系统不稳定。一阶和二阶系统的相角裕量总大于零，而幅值裕量为无穷大。因此，从理论上讲，一阶、二阶系统不可能不稳定。但是，某些一阶和二阶系统的数学模型本身是忽略了一些次要因素之后建立的，实际系统常常是高阶的，其幅值裕量不可能无穷大。因此，如开环增益太大，这些系统仍有可能不稳定。一般说来，仅用相裕量(或幅裕量)还不足以说明系统的稳定程度。但是，对于无零点的二阶系统和只要求粗略估算过渡过程性能指标的