4-5柯西、排序.doc

选修4_5 不等式选讲课 题： 几个著名的不等式之一：柯西不等式一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则， 其中等号当且仅当时成立。几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设 ，等号成立当且仅当变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，n），则：，等号成立当且仅当。二、典型例题：例1、已知，求证：。例2、设，求证：。例3、设为平面上的向量，则。例4、已知均为正数，且，求证：。例5：已知，为实数，求证：。推论：在个实数，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。三、练习：1、设x1，x2，xn 0, 则 2、设（i=1，2，n）且 求证: 3、设a为实常数,试求函数 (xR)的最大值 4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数四、作业：1、已知：，,证明：。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若 ，且=，= ，求证： 都是不大于的非负实数。3、设ab为不相等的正數，试证：(ab)(a3b3)(a2b2)2。4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。5、设x，y，zR，求的最大值。6、ABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。x2+y2+z27、设三个正实数a,b,c满足，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。8、求证个正实数a1，a2，an满足9、已知,且求证: 。10、设,求证: 。11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值选修4_5 不等式选讲课 题： 几个著名的不等式之二：排序不等式一、引入：1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？二、排序不等式：1、基本概念：一般地，设有两组数：，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：对 应 关 系和备 注（，）（，）顺序和（，）（，）乱序和（，）（， ）乱序和（，）（， ，）乱序和（，）（，）乱序和（，）（， ）反序和根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：顺序和最大，反序和最小。2、对引例的验证：对 应 关 系和备 注（1，2，3）（25，30，45）同序和（1，2，3）（25，45，30）乱序和（1，2，3）（30，25，45）乱序和（1，2，3）（30，45，25）乱序和（1，2，3）（45，25，30）乱序和（1，2，3）（45，30，25）反序和3、类似的问题：5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？4、排序不等式的一般情形：一般地，设有两组实数：，与，且它们满足：，若，是，的任意一个排列，则和数在，与，同序时最大，反序时最小，即：，等号当且仅当或时成立。三、典型例题：例1、已知为正数，求证：。例2、设，为正数，求证：。四、练习：1、求证：。2、在ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+c