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文档简介

立体几何重难点及考点一、 几何体结构与三视图直观图1、有关直观图问题例1、已知的直观图是边长为的正三角形,则原的面积 变式、已知正三角形ABC的边长为,那么的平面直观图的CADxyB面积为 例2、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 。2、 三视图例1、用单位立方体搭一个几何体,使其主视图和俯视图如下图所示,则几何体体积的最小值与最大值分别为( )例2、已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是 例3、某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a + b的最大值为( )A. B. C. 4D. ABCCBFAE3、有关截面问题例1、如图,在直棱柱中,AC=BC=2,E、F分别为AB、CB中点,过直线EF作棱柱的截面,若截面与平面ABC所成的二面角的大小为,则截面的面积为 例2、用一个平面截正方体,对于截面的边界,有以下图形:(1)钝角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五边形(5)正六边形,则不可能的图形的选项是 例3、如图,已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记SE=x(0x1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为( )4、 体积表面积例1、已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )(A) (B) (C) (D) 例2、正四面体ABCD的棱长为1,棱,则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 例3、我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是( )A. B C D二、点、线、面位置关系1、位置判断例1、已知、是三个不同的平面,命题是真命题,如果把中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有 个.例2、不公面的四个定点到平面的距离都相等,这样的平面共有 个.例3、是两个不重合的平面,在上取四个点在上取三个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 例4、在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )A 不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条例5、在正四棱锥P-ABCD中,,M是BC的中点,G是的重心,则在平面PAD中经过点G且与直线PM垂直的直线有 条例6、圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周),若,则点P形成的轨迹长度为 例7、如图,四棱柱中,底面ABCD为正方形,侧棱底面ABCD,,以D为圆心,为半径在侧面上画弧,当半径的端点完整地划过弧时,半径扫过的轨迹形成的曲面面积为 例8、如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面,M为底面ABCD内的一个动点,且满足,则点M在正方形ABCD内的轨迹为( ) A. B. C. D.例9、在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条2、 三种角例1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2、过正方体的顶点A作直线L,使L与棱,所成的角都相等,这样的直线L可以作( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例3、已知二面角的大小为,过外一定点的平面,与平面和平面所成的角都是的平面的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4例4、平面的斜线与平面所成的角是,则与平面内所有不经过斜足的直线所成的角中,最大的角是( )A. B. C. D.例5、在平面直角坐标系中,若沿轴把平面直角坐标系折成的二面角,则此时线段AB的长度为( )A. B. C. D.变式:在平面直角坐标系中,若沿轴把平面直角坐标系折成的二面角,则此时线段AB的长度为( )B. B. C. D.例6、已知二面角-l-为 ,动点P、Q分别在面、内,P到的距离为,Q到的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( )(A) (B)2 (C) (D)4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例7、在正方体中,E,F分别是的中点,P为上的一动点,则PF与AE所成的角为( ) B. C. D.不能确定例8、已知正方体的棱长为1,点P在线段,当最大时,三棱锥P-ABC的体积为( )A. B. C. D.例9、过正方体的顶点A作直线L,使L与棱,所成的角都相等,这样的直线L可以作A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例10、如果平面/平面,AB,CD是夹在间的线段,,且,直线AB与平面所成角为,那么线段CD的长度的取值范围是 例11、P是二面角棱上的一点,分别在平面上引射线PM、PN,如果,那么二面角的大小为 例12、如图所示,已知在平面内,OA是平面的斜线,且,,平面,则OA与平面所成的角为 例13、已知正四面体A-BCD,设异面直线AB与CD所成角为,侧棱AB与底面BCD所成的角为,侧面ABC与底面BCD所成的角为,则( )A. B. C. D.3、 距离例1、如图,直线,垂足为O,已知中,为直角,,该直角三角形做符合以下条件的自由活动:则C、O两点间的最大距离为 变式、如图,直线,垂足为O,已知长方体中,,该长方体做符合以下条件的自由活动:则、O两点间的最大距离为 例2、如图,已知是的二面角,射线,AC与成角,线段,且,交AC于H,则 例3、与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点(A)有且只有1个 (B)有且只有2个(C)有且只有3个 (D)有无数个例4、中,AB=9,AC=15,.所在平面外一点P到三个顶点A,B,C的距离都是14,那么点P到平面的距离为 例5、已知两条异面直线的距离为1,所成的角为,且,AB为公垂线,且,,求M、N之间的距离.例6、已知平面,线段AB、CD夹在之间,,且它们在内的射影之差为2,求之间的距离.例7、如图,过四面体V-ABC的底面上任意一点O,分别作,分别是作直线与侧面的交点,则 例8、直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l,则A1C1与l的距离为( )A. B. C.2.6D.2.4例9、如左下图,空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为_.例10、设等边的边长为,是内的任意一点,且到三边的距离分别为,则有为定值;由以上平面图形的特性类比空间图形:设正四面体的棱长为,是正四面体内的任意一点,且到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为,则有为定值是 参考答案1、有关直观图问题例1、解:建立如图所示的坐标系的顶点在轴OA(A)B(B)CCxyy上,边在轴上,OC为的高.把轴绕原点逆时针旋转得轴,则点变为点C,且,A、B点即为点,长度不变.已知,在中,由正弦定理得,所以,所以原的高,所以变式:解:如图所示的实际图形和直观图AABBCCODOxxyy由图可知,在图中作,垂足为,则,例2、2、三视图例1、C例2、如图,截面为,延长:例3、C3、有关截面问题例1、3或1例2、(1)(2)(4)例3、A4、体积表面积例1、B【解析1】过CD作平面PCD,使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.【解析2】 例2、棱在上的射影设CD在上的射影为,则当时,当时,射影为以为底边的等腰三角形,底边上的高为正四面体AB、CD棱间的距离上的射影易求正四面体AB、CD棱间距离为。例3、1、位置判断例1、2 例2、7例3、32例4、D例5、解:设正四棱锥P-ABCD的底面边长为,则侧棱长为,由,得,连接PG并延长与AD相交于点N,则,所有,所有,又,所有平面PAD,所以在平面PAD中经过点G的任意一条直线都与PM垂直,故填无数条例6、解:过点M在平面SAB内作AM的垂线与底面直径AB相交于点C,过点C在底面圆上作与直径AB垂直的弦DE,因为平面SAB,所以,又,所以平面MDE,所以点P形成的轨迹即为弦DE.由条件可得,设,,即,解得,所以弦长例7、解:连接CE、BD.由已知得,所以,依题意知,半径的端点轨迹是以D点为顶点,底面是在侧面上以C点为圆心,以6为半径的圆形成的圆锥侧面的一部分,弧与圆(以C为圆心且半径为6的圆)的周长的比等于,故所求曲面面积占该圆锥的总侧面积的,即等于例8、解:取AD的中点O,以为轴,垂直于OA的为轴,为轴,建立空间例9、D2、三种角例1、解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2、解:考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类:通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1,第二类:在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等,有3条,合计4条。例3、B 例4、C例5、B 变式:解:如图,过点B作,垂足分别为,又,所以,则例6、解:如图分别作 ,连,又当且仅当,即重合时取最小值。故答案选C例7、C 例8、解:例9、第一类:通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1,第二类:在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等,有3条,合计4条。 例10、解:例11、解:如图,设,作,垂足为E,,垂足为F,则因,故,于是因为EM、FN分别是内的两条与棱垂直的直线,所以之间的夹角等于欲求二面角的大小,所以二面角的大小为例12、解:,为正三角形,,为等腰直角三角形,同理,也为等腰直角三角形.过A作AH垂直平面,连接OH,易知即为OA与平面所成的角.又易知H为BC的中点,,即OA与平面所成的角为例13、解:如图,取底面BCD的中心为点O,连接AO,BO,易知,取BC的中点E,连接AE、OE,易知,易知,延长BO交CD于F,则,又,平面ABF,,即,3、距离例1、解:取AB的中点M,连接OM及,由已知易得为直角三角形,为直角,所以,也为直角三角形,为直角,所以易求得,连接,设,则当即时,取得最大值,所以的最大值为变式、解:连接AC、OC,取AC的中点M,连接OM及,由已知易证为直角三角形,为直角,所以,也为直角三角形,为直角,所以易求得,连接,设,则当即时,取得最大值,所以的最大值为例2、解:过P作,垂足为B,连接AB、BH,易知就是二面角的平面角,即,易得,那么,在中,可得,在中,可得例3、解:直线上取一点,分别作垂直于于则分别作,垂足分别为M,N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线定理可得,PNPM;PQAB,由于正方体中各个表面、对等角全等,所以,PM=PN=PQ,即P

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