2013 高二期末考试：几何三大难点突破.doc

立体几何重难点及考点一、 几何体结构与三视图直观图1、有关直观图问题例1、已知的直观图是边长为的正三角形，则原的面积 变式、已知正三角形ABC的边长为，那么的平面直观图的CADxyB面积为 例2、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 。2、 三视图例1、用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如下图所示，则几何体体积的最小值与最大值分别为（ ）例2、已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是 例3、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）A. B. C. 4D. ABCCBFAE3、有关截面问题例1、如图，在直棱柱中，AC=BC=2，E、F分别为AB、CB中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为，则截面的面积为 例2、用一个平面截正方体，对于截面的边界，有以下图形：（1）钝角三角形（2）直角三角形（3）菱形（4）正五边形（5）正六边形，则不可能的图形的选项是 例3、如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记SE=x（0x1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图像大致为（ ）4、 体积表面积例1、已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）(A) (B) (C) (D) 例2、正四面体ABCD的棱长为1，棱，则四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 例3、我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）A. B C D二、点、线、面位置关系1、位置判断例1、已知、是三个不同的平面，命题是真命题，如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 个.例2、不公面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 个.例3、是两个不重合的平面，在上取四个点在上取三个点，则由这些点最多可以确定平面的个数为 例4、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）A 不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条例5、在正四棱锥P-ABCD中，,M是BC的中点，G是的重心，则在平面PAD中经过点G且与直线PM垂直的直线有 条例6、圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若,则点P形成的轨迹长度为 例7、如图，四棱柱中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，,以D为圆心，为半径在侧面上画弧，当半径的端点完整地划过弧时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为 例8、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面,M为底面ABCD内的一个动点，且满足，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D.例9、在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条2、 三种角例1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2、过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,所成的角都相等，这样的直线L可以作（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例3、已知二面角的大小为，过外一定点的平面，与平面和平面所成的角都是的平面的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4例4、平面的斜线与平面所成的角是，则与平面内所有不经过斜足的直线所成的角中，最大的角是（ ）A. B. C. D.例5、在平面直角坐标系中，若沿轴把平面直角坐标系折成的二面角，则此时线段AB的长度为（ ）A. B. C. D.变式：在平面直角坐标系中，若沿轴把平面直角坐标系折成的二面角，则此时线段AB的长度为（ ）B. B. C. D.例6、已知二面角-l-为 ，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）(A) (B)2 (C) (D)4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例7、在正方体中，E，F分别是的中点，P为上的一动点，则PF与AE所成的角为（ ） B. C. D.不能确定例8、已知正方体的棱长为1，点P在线段,当最大时，三棱锥P-ABC的体积为（ ）A. B. C. D.例9、过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例10、如果平面/平面，AB，CD是夹在间的线段，,且，直线AB与平面所成角为，那么线段CD的长度的取值范围是 例11、P是二面角棱上的一点，分别在平面上引射线PM、PN,如果,那么二面角的大小为 例12、如图所示，已知在平面内，OA是平面的斜线，且,，平面，则OA与平面所成的角为 例13、已知正四面体A-BCD，设异面直线AB与CD所成角为，侧棱AB与底面BCD所成的角为，侧面ABC与底面BCD所成的角为，则（ ）A. B. C. D.3、 距离例1、如图，直线，垂足为O，已知中，为直角，,该直角三角形做符合以下条件的自由活动：则C、O两点间的最大距离为 变式、如图，直线，垂足为O，已知长方体中，,该长方体做符合以下条件的自由活动：则、O两点间的最大距离为 例2、如图，已知是的二面角，射线,AC与成角，线段，且，交AC于H，则 例3、与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个例4、中，AB=9，AC=15，.所在平面外一点P到三个顶点A,B,C的距离都是14，那么点P到平面的距离为 例5、已知两条异面直线的距离为1，所成的角为，且，AB为公垂线，且，,求M、N之间的距离.例6、已知平面，线段AB、CD夹在之间，,且它们在内的射影之差为2，求之间的距离.例7、如图，过四面体V-ABC的底面上任意一点O，分别作,分别是作直线与侧面的交点，则 例8、直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A. B. C.2.6D.2.4例9、如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_.例10、设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边的距离分别为，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内的任意一点，且到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为，则有为定值是 参考答案1、有关直观图问题例1、解：建立如图所示的坐标系的顶点在轴OA(A)B(B)CCxyy上，边在轴上，OC为的高.把轴绕原点逆时针旋转得轴，则点变为点C，且,A、B点即为点，长度不变.已知，在中，由正弦定理得,所以，所以原的高，所以变式：解：如图所示的实际图形和直观图AABBCCODOxxyy由图可知，在图中作,垂足为，则，例2、2、三视图例1、C例2、如图，截面为,延长：例3、C3、有关截面问题例1、3或1例2、（1）（2）（4）例3、A4、体积表面积例1、B【解析1】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,故.【解析2】 例2、棱在上的射影设CD在上的射影为，则当时，当时，射影为以为底边的等腰三角形，底边上的高为正四面体AB、CD棱间的距离上的射影易求正四面体AB、CD棱间距离为。例3、1、位置判断例1、2 例2、7例3、32例4、D例5、解：设正四棱锥P-ABCD的底面边长为，则侧棱长为，由，得，连接PG并延长与AD相交于点N，则，所有,所有,又,所有平面PAD,所以在平面PAD中经过点G的任意一条直线都与PM垂直，故填无数条例6、解：过点M在平面SAB内作AM的垂线与底面直径AB相交于点C，过点C在底面圆上作与直径AB垂直的弦DE，因为平面SAB，所以,又,所以平面MDE，所以点P形成的轨迹即为弦DE.由条件可得,设，,即，解得，所以弦长例7、解：连接CE、BD.由已知得,所以,依题意知，半径的端点轨迹是以D点为顶点，底面是在侧面上以C点为圆心，以6为半径的圆形成的圆锥侧面的一部分，弧与圆（以C为圆心且半径为6的圆）的周长的比等于，故所求曲面面积占该圆锥的总侧面积的，即等于例8、解：取AD的中点O，以为轴，垂直于OA的为轴，为轴，建立空间例9、D2、三种角例1、解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2、解：考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。例3、B 例4、C例5、B 变式：解：如图，过点B作,垂足分别为,又,所以，则例6、解:如图分别作 ，连，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C例7、C 例8、解：例9、第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 例10、解：例11、解：如图，设，作,垂足为E，,垂足为F，则因,故,于是因为EM、FN分别是内的两条与棱垂直的直线，所以之间的夹角等于欲求二面角的大小，所以二面角的大小为例12、解：，为正三角形，,为等腰直角三角形，同理，也为等腰直角三角形.过A作AH垂直平面，连接OH，易知即为OA与平面所成的角.又易知H为BC的中点，,即OA与平面所成的角为例13、解：如图，取底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知,取BC的中点E，连接AE、OE,易知,易知，延长BO交CD于F，则,又,平面ABF，,即，3、距离例1、解：取AB的中点M，连接OM及,由已知易得为直角三角形，为直角，所以,也为直角三角形，为直角，所以易求得,连接,设,则当即时，取得最大值，所以的最大值为变式、解：连接AC、OC，取AC的中点M，连接OM及,由已知易证为直角三角形，为直角，所以,也为直角三角形，为直角，所以易求得,连接,设,则当即时，取得最大值，所以的最大值为例2、解：过P作,垂足为B，连接AB、BH，易知就是二面角的平面角，即，易得,那么,在中，可得，在中，可得例3、解：直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即P