（精选）第3章 - 矩阵特征值和特征向量.ppt

1 第3章矩阵特征值和特征向量 简介迭代法 乘幂法 乘幂法的加速反幂法 2 1简介 线性代数中矩阵的特征值与特征向量能反映矩阵的性态 在理论上重要 而工程技术中的许多问题 如桥梁的振动 机械的振动 建筑物的振动及飞机机翼的颤动 这些问题的求解常归结为求矩阵的特征值问题 另外一些稳定性分析问题 例如地震信号反演 也会转化为求特征值与特征向量的问题 3 基本概念n阶方阵A的特征值是特征方程det A E 0的根 A的特征向量是齐次线性方程组 A E x 0的非零解 4 即要求 将行列式展开 得关于 的n次多项式 n不大时 如n 4 解特征方程 可求出全部特征值 n 3较难 当n较大 n 5 计算量极具增大 且一般不可能求得准确结果 还可能出现不稳定 所以当n稍大一般根据实际问题的需要 采用相应的的数值解法 5 1乘幂法 很多应用 例如谱半径 范数等计算只需求出矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量 6 乘幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法 问题 设A是单构矩阵 即A有n个线性无关的特征向量 其n个特征值为 1 2 n 对应的特征向量为x1 x2 xn线性无关 求 1和x1 7 乘幂法的基本思想是取初始向量v 0 Rn 作迭代v k 1 Av k Ak 1v 0 k 0 1 2 产生迭代序列 v k 由于x1 x2 xn线性无关 从而有v 0 a1x1 a2x2 anxn 故有v k Akv 0 a1 1kx1 a2 2kx2 an nkxn 3 1 8 1 设 1 2 n 3 1 式可写成 若a1 0 则对充分大的k有 因而有 或取 而特征向量x1 v k 乘幂法的收敛速度取决于 2 1 的大小 9 求矩阵A的按模最大的特征值 解取v 0 1 0 T 计算v k Av k 1 结果如下 例1 可取 0 41263 x1 0 017451 0 014190 T 10 说明2 而k充分大时 会随k的增大而无限增大或无限趋于0 这样上机计算时会产生溢出 上溢或下溢 的情况 为避免这种情形出现 实际计算时 每次迭代求得的向量x k 要进行归一化 规范化 处理 取x k 中绝对值最大的一个分量除x k 这样将x k 的分量全部控制在 1 1 中 而 1是由相邻二次分量的比值所决定 因此不会受到影响 说明1 一般有 1 0 若恰好x 0 使 1为0 也不影响上述法 因为实际计算中 由于有舍入误差的影响 迭代n次后所得到的向量x k 在u1方向上的分量不会为0 因此 可得x 2 为初始向量 可继续迭代下去 11 对非零向量v 用max v 表示v的按绝对值最大的分量 称向量u v max v 为向量v的规范化向量例如 设向量v 2 1 5 1 T 则max v 5 u 0 4 0 2 1 0 2 T 可见规范化向量u总满足 u 1 规范化计算公式 任取初始向量u 0 v 0 0 则 12 所以 其收敛速度由比值 2 1 来确定 所以 因此 当k充分大时可取 1 k x1 u k 13 计算流程 输入A 初始向量 误差限 最大迭代次数N置k 1 0 求整数r 使得计算y x x Ay xr 若输出 x 停止 否则下一步 若k N 置k 1 k 转3 否则输出错误信息 停止 14 如用规范化乘幂法解例1 仍取u 0 v 0 1 0 T 则有 故可取 1 0 412627 x1 1 0 813138 T 15 例2用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量 解取初值u 0 v 0 1 1 1 T 计算得 16 可取 1 6 000837 x1 1 0 714316 0 249895 T 实际上 A的3个特征值分别为 1 6 2 3 3 2 17 2 设 1 2 r 且 1 r 1 n 3 1 式可写成 若a1 a2 ar不全为零 则对充分大的k有 由于a1x1 a2x2 arxr是对应 1的特征向量 若仍记为x1 则有 v k 1kx1 故前面的结论仍然成立 18 3 设 1 2 且 1 2 3 n 3 1 式可写成 则对充分大的k有 v 2i 12i a1x1 a2x2 v 2i 1 12i 1 a1x1 a2x2 于是有 x1 v k 1 1v k x2 v k 1 1v k 19 的按模最大特征值和相应的特征向量 例3用乘幂法求矩阵 解取初始向量u 0 v 0 1 1 2 T 计算可得 20 21 x2 13u 13 1u 12 0 0 631924 0 631924 T x1 13u 13 1u 12 4 315961 8 631924 8 631924 T 实际上 A的特征值为 1 4 2 4 3 1 22 3乘幂法加速 由于 所以 乘幂法收敛速度取决于比值 2 1 当 2 1 1时 收敛是很慢的 23 1 原点移位法 作矩阵B A pI 则B的特征值为且对应的特征向量相同 对B应用幂法 24 则对B应用乘幂法可达到加速收敛的目的 选取p 使m1仍然是B的按模最大特征值 且满足 25 解 由于A的特征值为 1 6 2 3 3 2 故取p 2 5 则B的特征值为m1 3 5 m2 0 5 m3 0 5 则 取初始向量u 0 v 0 1 1 1 T 由规范化计算公式 例4用原点位移法求例2中矩阵A的按模最大的特征值和特征向量 26 计算可得 27 这是因为 2 1 1 2 而 m2 m1 1 7 故对B应用乘幂法远比对A应用乘幂法收敛的快 取 1 6 2 5 6 000102 x1 u 6 1 0 714287 0 249995 T 原点移位法较简单 然而 0选取是很困难的 一般的 如果对特征值的分布情况有大概了解 可粗略估计出 0 28 2 Aitken加速 由 可见 序列 k 线性收敛于 1 构造Aitken序列 会达到加速收敛的目的 可得 29 例2 30 3反幂法 在乘幂法中 以A 1代替A 即为反幂法 用于求A的最小特征值及对应的特征向量 设A是n阶非奇异矩阵 其特征值为 1 2 n 1 n 0 对应特征向量为x1 x2 xn 则A 1的特征值为 对应的特征向量为xn xn 1 x1 对A 1应用乘幂法 任取初始向量u 0 v 0 0 作 31 也可将上式改写成 式 3 3 称为反幂法 显然有 每一步求v k 需要求解线性方程组 可采用LU分解法求解 32 若按乘幂法 以A 1代替A 有x k 1 A 1x k 为避免求逆阵A 1 实际运算时 常化为求解Ax k 1 x k 这样迭代一次的算法 转化为求解一次方程组 矩阵A在迭代过程中不会改变 可先对其进行分解A LU 于是在每次迭代时 就只需转化为求解两个三角方程组 33 设已求得例2中矩阵A的特征值的近似值 1 6 003 和相应的特征向量x1 1 0 714405 0 249579 T 试用带原点位移的反幂法求 1和x1的更精确的值 例 解取p 6 003 作矩阵B A 6 003I 则 34 取初始向量u 0 1 0 714405 0 249579 T 对B用反幂法 可见收敛速度非常快 这是因为B的3个特征值为 1 4 003