正方形内的45°角.docx

正方形内的45角例 题：（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE连接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90。又GCE45，GCFGCE45。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90。又CGA90，ABBC，四边形ABCD 为正方形。 AGBC。已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得ECF=BCD=90，又由GCE=45，可得GCF=GCE=45，即可证得ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。练习1、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】A B C D3 【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。【分析】正方形纸片ABCD的边长为3，C=90，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。设DF=x，则EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。DF= ，EF=1。故选B。2、如图11，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.【答案】(1)证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF DABEAB，DACFAC，又BAC45，EAF90又ADBCEADB90FADC90又AEAD，AFADAEAF四边形AEGF是正方形(2) 解：设ADx，则AEEGGFxBD2，DC3BE2，CF3(3) BGx2，CGx3在RtBGC中，BG2CG2BC2( x2)2(x3)252化简得，x25x60解得x16，x21（舍）所以ADx63、（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数（2）如图，在RtABD中，点M，N是BD边上的任意两点，且，将ABM绕点A逆时针旋转至ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（图） （3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，求AG，MN的长【答案】（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，（2）， 又，AMNAHN ， （3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（舍去负根）在（2）中，设，则即【思路分析】（1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明ABEAGE，AFGAFD,从而得出；（2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得到对应边、对应角相等，从而为证明AMNAHN做好了足够铺垫.将线段MN的长转移为HN的长，从而将三条线段集中于RtHDN中.（3）利用（1）的结论求出AG的长，进而得出BD的长.利用（2）的结论求出MN的长.【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.（2）当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（3）平移、旋转、轴对称对应了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间.4、已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，EAF=45.（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想.（2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围.（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的E和以F为圆心以FD为半径的F之间的位置关系. （4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2.问EGF与EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由.（1）猜想：EF=BE+DF. 证明：将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，易知点F、B、E在一直线上.图1. AF=AF， FAE=1+3=2+3=90-45=45=EAF， 又 AE=AE，AFEAFE.EF=FE=BE+DF. （2）由（1）得 EF=x+y又 CF=1-y，EC=1-x， .化简可得 .中国教#育出&版网%（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时E与F外切；当点E在点C时，DF=0，F不存在.当点E在BC延长线上时，将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，图2.有 AF=AF，1=2，FAF=90. FAE=EAF=45. 又 AE=AE，AFEAFE. .此时E与F内切. 综上所述，当点E在线段BC上时，E与F外切；当点E在BC延长线上时，E与F内切.（4） EGF与EFA能够相似，只要当EFG=EAF=45即可.#这时有 CF=CE. 设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x- y.由 ，得 . 化简可得 . 又由 EC=FC，得 ，即，化简得 ，解之得 （不符题意，舍去）. 所求BE的长为.5、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰ABC中，ABAC，BAC90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分MAB，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；(2)当045时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF(如图2)；小亮的方法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG(如图3)请你从中任选一种方法进行证明；(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45135且90时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立现请你继续探究：当135180时(如图4)，等量关系BD2CE2DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由【答案】解：（1）证明：BAC90，DAEDAMMAE45，BADEAC45。又AD平分MAB，BADDAM。MAEEAC。AE平分MAC。（2）证明小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，AFAB，AFDB45，BADFAD。又AC=AB，AFAC。由（1）知，FAECAE。 在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE，AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。DFEAFD AFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。（3）当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，AFAB，AFDABC45，BADFAD。又AC=AB，AFAC。又CAE900BAE900（45BAD）45BAD45FADFAE。在AEF和AEC中，AF AC，FAECAE，AEAE，AEFAEC（SAS）。CEFE，AFEC45。又在AGF和BGE中，ABCAFE45，AGFBGE，FAGBEG。又FDEDEF=FDEFAG（ADBDAB）ABC90。DFE90。在RtOCE中，DE2FE2DE2，BD2CE2DE2。【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。 （2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到AEFAEC，在RtOCE中应用勾股定理而证明。 小亮的方法是将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，根据旋转的性质用SAS得到ACEACG，从而在RtCEG中应用勾股定理而证明。（3） 当135180时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立。仿（2）证明即可。6、问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点E、F分别在边BC、CD上，则当EAF与BAD满足BAD=2EAF关系时，仍有EF=BE+FD【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD已知AB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AEAD，DF=40（1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）考点：四边形综合题菁优网版权所有分析：【发现证明】根据旋转的性质可以得到ADGABE，则GF=BE+DF，只要再证明AFGAFE即可【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证ADFABM，证FAEMAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到ABE是等边三角形，则BE=AB=80米把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，根据旋转的性质可以得到ADGABE，则GF=BE+DF，只要再证明AFGAFE即可得出EF=BE+FD解答：【发现证明】证明：如图（1），ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAF=45，即DAF+BEA=EAF=45，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AFGAFE（SAS）GF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，BE+DF=EF【类比引申】BAD=2EAF理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，ABC+D=180，ABC+ABM=180，D=ABM，在ABM和ADF中，ABMADF（SAS），AF=AM，DAF=BAM，BAD=2EAF，DAF+BAE=EAF，EAB+BAM=EAM=EAF，在FAE和MAE中，FAEMAE（SAS），EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF故答案是：BAD=2EAF【探究应用】如图3，把ABE绕点A逆时针旋转150至ADG，连接AFBAD=150，DAE=90，BAE=60又B=60，ABE是等边三角形，BE=AB=80米根据旋转的性质得到：ADG=B=60，又ADF=120，GDF=180，即点G在CD的延长线上易得，ADGABE，AG=AE，DAG=BAE，DG=BE，又EAG=BAD=150，GAF=FAE，在GAF和FAE中，AFGAFE（SAS）GF=EF又DG=BE，GF=BE+DF，EF=BE+DF=80+40（1）109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米7、小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF=45，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）参考小炎同学思考问题的方法，