5.15期末综合复习讲义——数列.docx

数列复习讲义1、在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=_3、等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于4、设等差数列an的前n项和为Sn ， 若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=_5、在各项均为正数的等比数列bn中，若b7b8=3，则log3b1+log3b2+log3b14等于_6、等差数列an的前n项和Sn ， 若a3+a7a10=8，a11a4=4，则S13等于_7、数列an中，an+1= ，a1=2，则a4为_8、在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数分别依次为_9、在数列an中，an+1=an+2+an ， a1=2，a2=5，则a6的值是_ 10、首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是_11、已知等差数列an的公差d0，则下列四个命题： 数列an是递增数列； 数列nan是递增数列；数列 是递增数列； 数列an+3nd是递增数列；其中正确命题的个数为_12、等比数列an的前4项和为5，前12项和为35，则前8项和为_13、在等比数列an中，各项都是正数，且a1 ， a3 ， 2a2成等差数列，则 =_14、设等差数列an的前n项和为Sn ， a2=4，S5=30 (1)求数列an的通项公式an (2)设数列 的前n项和为Tn ， 求证： Tn 15、已知数列an、bn满足：a1= ，an+bn=1，bn+1= (1)求a2 ， a3； (2)证数列 为等差数列，并求数列an和bn的通项公式； (3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1 ， 求实数为何值时4Snbn恒成立 16、已知数列an前n项和为Sn=n2+12n (1)求an的通项公式； (2)求数列|an|的前10项和T10 17、已知数列an满足a1=9，an+1=an+2n+5；数列bn满足b1= ，bn+1= bn（n1） (1)求an ， bn； (2)记数列 的前n项和为Sn ， 证明： Sn 18、已知等比数列an满足2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中项 (1)求数列an的通项公式； (2)若bn=an+log2 ，Sn=b1+b2+bn ， 求使 Sn2n+1+470 成立的正整数n的最小值 19、已知递增等比数列an的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1，3，9后成等差数列 (1)求an的首项和公比； (2)设Sn=a12+a22+an2 ， 求Sn 20、数列an的前n项和为Sn ， 若对于任意的正整数n都有Sn=2an3n (1)设bn=an+3，求证：数列bn是等比数列，并求出an的通项公式； (2)求数列nan的前n项和 21、已知数列1，a1 ， a2 ， 9是等差数列，数列1，b1 ， b2 ， b3 ， 9是等比数列，则 的值为_ 22、已知数列an的前n项和Sn=3n22n+1，则通项公式an=_ 23、已知等差数列an中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a1am=18，则数列an的通项公式为an=_ 24、设等比数列an的首项a1=1，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列，则数列an的前10项和S10=_ 25、若等差数列an的公差d0且a9 ， a3 ， a1成等比数列，则 =_ 26、若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n=_时，数列an的前n项和最大 27、已知正项等差数列an的前n项和为Sn ， 且满足 ，S7=56 （）求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足b1=a1且bn+1bn=an+1 ， 求数列 的前n项和Tn 28、设等差数列an的前n项和为Sn ， 已知a3=24，a6=18（） 求数列an的通项公式；（）求数列an的前n项和Sn；（）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值 29、设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列 的前n项和，求Tn 30、已知an是一个等差数列，a2+a8=4，a6=2 （）求an的通项公式；（）设bn= ，求数列bn的前n项和Sn 2017年5月5日高中数学试卷一、单选题（共13题；共26分） 1、在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（） A、2+lnn B、2+（n1）lnn C、2+nlnn D、1+n+lnn 【答案】A 【考点】数列的概念及简单表示法，数列递推式 【解析】【解答】解：故选：A【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成， 用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项 2、在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+ ），则an=（ ） A、2+lnnB、2+（n1）lnnC、2+nlnnD、1+n+lnn 【答案】A 【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】【解答】解： ， ， = 故选：A【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成 ，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项 3、等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前8项和等于（ ） A、6B、5C、3D、4 【答案】D 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等差数列与等比数列的综合 【解析】【解答】解：等比数列an中a4=2，a5=5， a4a5=25=10，数列lgan的前8项和S=lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=lg（a4a5）4=4lg（a4a5）=4lg10=4故选：D【分析】由等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a4a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得 4、设等差数列an的前n项和为Sn ， 若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ） A、3B、4C、5D、6 【答案】C 【考点】等差数列的前n项和，等差数列的性质 【解析】【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3， 所以公差d=am+1am=1，Sm= =0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，故选C【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am ， 进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1 ， 再由通项公式及am=2可得m值 5、在各项均为正数的等比数列bn中，若b7b8=3，则log3b1+log3b2+log3b14等于（ ） A、5B、6C、8D、7 【答案】D 【考点】数列与函数的综合 【解析】【解答】解：数列bn为等比数列 b1b14=b2b13=b3b12=b7b8=3，log3b1+log3b2+log3b14=log3（b1b14b2b13b7b8）=log337=7故选D【分析】根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=b7b8=3，代入log3b1+log3b2+log3b14 ， 根据对数的运算法则即可求的答案 6、等差数列an的前n项和Sn ， 若a3+a7a10=8，a11a4=4，则S13等于（ ） A、152B、154C、156D、158 【答案】C 【考点】等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：解法1：an为等差数列，设首项为a1 ， 公差为d， a3+a7a10=a1+2d+a1+6da19d=a1d=8；a11a4=a1+10da13d=7d=4，联立，解得a1= ，d= ；s13=13a1+ d=156解法2：a3+a7a10=8，a11a4=4，+可得a3+a7a10+a11a4=12，根据等差数列的性质a3+a11=a10+a4 ， a7=12，s13= 13=13a7=1312=156故选C【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1 ， d的方程组，求出a1、d，代入等差数列的前n项和公式，即可求出s13；或者将a3+a7a10=8，a11a4=4两式相加，利用等差数列的性质进行求解 7、数列an中，an+1= ，a1=2，则a4为（ ） A、B、C、D、 【答案】A 【考点】数列递推式 【解析】【解答】解：an+1= ，a1=2， a2= = = ，同理可得：a3= ，a4= 故选：A【分析】an+1= ，a1=2，分别令n=1，2，3，即可得出 8、在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（ ） A、128B、128C、64D、64 【答案】C 【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：设此等比数列为an，公比为q，a1=1，a5=16， a3= =4则a2a3a4= =64故选：C【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出 9、在数列an中，an+1=an+2+an ， a1=2，a2=5，则a6的值是（ ） A、3 B、11 C、5 D、19 【答案】A 【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】【解答】解：a1=2，a2=5，an+1=an+2+an ， 令n=1代入上式得a2=a3+a1=5，a3=3依此类推得a4=1，a5=2，a6=3故选A【分析】依次令n为1、2、3、4代入递推公式，利用前两项的值分别求出 10、首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ） A、d B、d3C、d3D、d3 【答案】D 【考点】等差数列的性质 【解析】【解答】解：设数列为an公差为d，则a1=24； a10=a1+9d0；即9d24，所以d 而a9=a1+8d0；即d3所以 d3故选D【分析】先设数列为an公差为d，则a1=24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9 ， 进而根据a100，a90求得d的范围 11、已知等差数列an的公差d0，则下列四个命题： 数列an是递增数列； 数列nan是递增数列；数列 是递增数列； 数列an+3nd是递增数列；其中正确命题的个数为（ ） A、1B、2C、3D、4 【答案】B 【考点】等差数列的性质 【解析】【解答】解：对于公差d0的等差数列an，an+1an=d0，数列an是递增数列成立，是真命题 对于数列数列nan，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1nan=nd+an+1 ， 不一定是正实数，故是假命题对于数列 ，第n+1项与第n项的差等于 ，不一定是正实数，故是假命题对于数列数列an+3nd，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）dan3nd=4d0，故数列an+3nd是递增数列成立，是真命题故选：B【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论 12、等比数列an的前4项和为5，前12项和为35，则前8项和为（ ） A、10 B、15 C、15 D、10或15 【答案】B 【考点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：设前8项的和为x， an是等比数列，S4 ， S8S4 ， S12S8成等比数列，等比数列an的前4项和为5，前12项和为35，（x5）2=5（35x），解得x=10或x=15，S4 ， S8S4 ， S12S8它们的公比是q4 ， 它们应该同号，10舍去故选：B【分析】设前8项的和为x，由等比数列an中，S4=5，S12S8=35x，根据等比数列的性质即可求出 13、在等比数列an中，各项都是正数，且a1 ， a3 ， 2a2成等差数列，则 =（ ） A、1+ B、1C、3+2 D、32 【答案】C 【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：由题意设等比数列an的公比为q（q0）， a1 ， a3 ， 2a2成等差数列，2 a3=a1+2a2 ， a10，q22q1=0，解得q=1+ 或q=1 （舍去）；公比q=1+ ， = =q2=（1+ ）2=3+2 ，故选：C【分析】先根据题意求出公比，再代值计算即可 二、综合题（共7题；共75分）14、设等差数列an的前n项和为Sn ， a2=4，S5=30 (1)求数列an的通项公式an (2)设数列 的前n项和为Tn ， 求证： Tn 【答案】（1）解：设等差数列an的公差为d，a2=4，S5=30， ，解得a1=d=2an=2+2（n1）=2n（2）证明： = = ， 数列 的前n项和为Tn= = T1Tn， Tn 【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a2=4，S5=30，可得 ，联立解出即可得出（2） = = ，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出 15、已知数列an、bn满足：a1= ，an+bn=1，bn+1= (1)求a2 ， a3； (2)证数列 为等差数列，并求数列an和bn的通项公式； (3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+anan+1 ， 求实数为何值时4Snbn恒成立 【答案】（1）解： ， ， ， ， ， （2）证明：由 ， = ， ，即anan+1=anan+1 ， =1数列 是以4为首项，1为公差的等差数列 ，则 ， （3）解：由 ， Sn=a1a2+a2a3+anan+1= = = ，要使4Snbn恒成立，只需（1）n2+（36）n80恒成立，设f（n）=（1）n2+3（2）n8当=1时，f（n）=3n80恒成立，当1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意nN*恒成立，当l时，对称轴n= f（n）在1，+）为单调递减函数只需f（1）=（1）n2+（36）n8=（1）+（36）8=4150 ，1时4Snbn恒成立综上知：1时，4Snbn恒成立 【考点】数列的函数特性，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等差关系的确定，数列的求和 【解析】【分析】（1）由给出的 ，循环代入an+bn=1和 可求解a2 ， a3；（2）由an+bn=1得an+1+bn+1=1，结合 ，去掉bn与bn+1得到an+1与an的关系式，整理变形后可证得数列 是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列an和 bn的通项公式；（3）首先利用裂项求和求出Sn ， 代入4Snbn ， 通过对分类讨论，结合二次函数的最值求使4Snbn恒成立的实数的值 16、已知数列an前n项和为Sn=n2+12n (1)求an的通项公式； (2)求数列|an|的前10项和T10 【答案】（1）解：当n=1时，a1=S1=12112=11；当n2时，an=SnSn1=（12nn2）12（n1）（n1）2=132n 经验证当n=1时，a1=11也符合132n的形式（2）解：数列an的通项公式为an=132n， 当n6时，an0，当n7时，an0，T10=a1+a6a7a8a9a10=2S6S10=52 【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（1）求出a1 ， 利用n2时，an=SnSn1 ， 求出an ， 验证n=1时满足通项公式，即可求得数列an的通项公式（2）由（1）判断哪些项为正，哪些项为负，然后求解Tn 17、已知数列an满足a1=9，an+1=an+2n+5；数列bn满足b1= ，bn+1= bn（n1） (1)求an ， bn； (2)记数列 的前n项和为Sn ， 证明： Sn 【答案】（1）解：由an+1=an+2n+5得an+1an=2n+5， 则a2a1=7，a3a2=9，an1an2=2（n2）+5，anan1=2（n1）+5=2n+3等式两边同时相加得ana1= （n1）=（5+n）（n1）=n2+4n5，则an=a1+n2+4n5=n2+4n5+9=n2+4n+4，所以数列an的通项公式为 又 ， ， ， ， ， ， ，将上述（n1）个式子相乘，得 ，即 （2）解： = ， 【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（1）利用数列的递推关系，利用累加法和累积法进行求解即可（2）求出数列 的通项公式，利用裂项法进行求解，结合不等式的性质进行证明即可 18、已知等比数列an满足2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中项 (1)求数列an的通项公式； (2)若bn=an+log2 ，Sn=b1+b2+bn ， 求使 Sn2n+1+470 成立的正整数n的最小值 【答案】（1）解：设等比数列an的首项为a1 ， 公比为q， 依题意，2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中项 由 得 q23q+2=0，解得q=1或q=2当q=1时，不合题意舍；当q=2时，代入（2）得a1=2，所以an=2n （2）解： =2nn 所以Sn=b1+b2+bn=（2+22+2n）（1+2+n）=2n+12 n2因为 ，所以2n+12 n22n+1+470，即n2+n900，解得n9或n10故使 成立的正整数n的最小值为10 【考点】等比数列的通项公式，数列与不等式的综合，等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）设等比数列an的首项为a1 ， 公比为q，根据2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列an的通项公式；（2） =2nn，求出Sn=b1+b2+bn ， 再利用 ，建立不等式，即可求得使 成立的正整数n的最小值 19、已知递增等比数列an的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1，3，9后成等差数列 (1)求an的首项和公比； (2)设Sn=a12+a22+an2 ， 求Sn 【答案】（1）解：根据等比数列的性质，可得a3a5a7=a53=512，解之得a5=8 设数列an的公比为q，则a3= ，a7=8q2 ， 由题设可得（ 1）+（8q29）=2（83）=10解之得q2=2或 an是递增数列，可得q1，q2=2，得q= 因此a5=a1q4=4a1=8，解得a1=2（2）解：由（1）得an的通项公式为an=a1qn1=2 = ， an2= 2=2n+1 ， 可得an2是以4为首项，公比等于2的等比数列因此Sn=a12+a22+an2= =2n+24 【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）根据题意利用等比数列的性质，可得a53=512，解出a5=8设公比为q，得a3= 且a7=8q2 ， 由等差中项的定义建立关于q的方程，解出q的值，进而可得an的首项；（2）由（1）得an=a1qn1= ，从而得到an2= 2=2n+1 ， 再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求Sn的表达式 20、数列an的前n项和为Sn ， 若对于任意的正整数n都有Sn=2an3n (1)设bn=an+3，求证：数列bn是等比数列，并求出an的通项公式； (2)求数列nan的前n项和 【答案】（1）解：Sn=2an3n，对于任意的正整数都成立， Sn+1=2an+13n3，两式相减，得a n+1=2an+12an3，即an+1=2an+3，an+1+3=2（an+3），所以数列bn是以2为公比的等比数列，由已知条件得：S1=2a13，a1=3首项b1=a1+3=6，公比q=2，an=62n13=32n3（2）解：nan=3n2n3n Sn=3（12+222+323+n2n）3（1+2+3+n），2Sn=3（122+223+324+n2n+1）6（1+2+3+n），Sn=3（2+22+23+2nn2n+1）+3（1+2+3+n）= Sn= 【考点】等比关系的确定，数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（1）通过递推关系式求出an与an+1的关系，推出an+3即数列bn是等比数列，求出数列bn的通项公式即可求出an的通项公式；（2）写出数列nan的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可 三、填空题（共6题；共6分） 21、已知数列1，a1 ， a2 ， 9是等差数列，数列1，b1 ， b2 ， b3 ， 9是等比数列，则 的值为_ 【答案】 【考点】等差数列的性质，等比数列的性质 【解析】【解答】解：已知数列1，a1 ， a2 ， 9是等差数列，a1+a2 =1+9=10 数列1，b1 ， b2 ， b3 ， 9是等比数列， =19，再由题意可得b2=1q20 （q为等比数列的公比），b2=3，则 = ，故答案为 【分析】由等差数列的性质求得a1+a2 的值，由等比数列的性质求得b2 的值，从而求得 的值 22、已知数列an的前n项和Sn=3n22n+1，则通项公式an=_ 【答案】 【考点】数列的函数特性 【解析】【解答】解：当n=1时，a1=S1=32+1=2 当n2时，an=SnSn1=3n22n+13（n1）22（n1）+1=6n5 故答案为： 【分析】利用“当n=1时，a1=S1 当n2时，an=SnSn1”即可得出 23、已知等差数列an中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a1am=18，则数列an的通项公式为an=_ 【答案】3n+23 【考点】等差数列的通项公式 【解析】【解答】解：等差数列an中，前m（m为奇数）项的和为77， ma1+ =77，其中偶数项之和为33，设公差等于d，由题意可得偶数项共有 项（a1+d）+ 2d=33，a1am=18，a1am=18=（m1）d，由，解得 m=7，d=3，a1=20，故an=a1+（n1）d=20+（n1）（3）=3n+23数列an的通项公式为an=3n+23故答案为：3n+23【分析】设公差等于d，由题意可得偶数项共有 项，从而列出方程组求出m，d，a1 ， 由此能求出数列an的通项公式 24、设等比数列an的首项a1=1，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列，则数列an的前10项和S10=_ 【答案】1023 【考点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：等比数列an的首项a1=1，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列， 设等比数列an的公比为q，4，2q，q2成等差数列，4q=4+q2 ， 解得q=2，数列an的前10项和S10= =2101=1023故答案为：1023【分析】设等比数列an的公比为q，由题意4q=4+q2 ， 求出q，由此能求出数列an的前10项和S10 25、若等差数列an的公差d0且a9 ， a3 ， a1成等比数列，则 =_ 【答案】 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质 【解析】【解答】解：等差数列an中，a1=a1 ， a3=a1+2d，a9=a1+8d， 因为a1、a3、a9恰好是等比数列，所以有a32=a1a9 ， 即（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得d=a1 ， 所以该等差数列的通项为an=nd则 = = 故答案为： 【分析】因为an是等差数列，故a1、a3、a9都可用d表达，又因为a1、a3、a9恰好是等比数列，所以有a32=a1a9 ， 即可求出d，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值 26、若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n=_时，数列an的前n项和最大 【答案】8 【考点】等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：由等差数列的性质得，a7+a8+a9=3a80，a7+a10=a8+a90， a80、a90，且|a8|a9|，等差数列an的前八项都大于零，从第九项开始都小于零，则当n=8时，数列an的前n项和最大，故答案为：8【分析】根据题意和等差数列的性质判断出a80、a90，由等差数列的各项符号特征可求出答案 四、解答题（共4题；共20分） 27、已知正项等差数列an的前n项和为Sn ， 且满足 ，S7=56 （）求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足b1=a1且bn+1bn=an+1 ， 求数列 的前n项和Tn 【答案】解：（）an是等差数列且 ， ，又