2002年日本大学入学统一考试试题（数学I·数学A） .pdf

6 一 数 学数学 2 0 0 2 年第6 期 2 0 0 2 年 日本大学入学统一考试试题 数学i 数学a 1 0 0 0 2 5 北京市同仁中学耿荣瑶 岳雪梅译解 第一题 必答题 满分4 0 分 1 a 为定值 二次函数y 4 x 4 a 1 a 的曲线为 1 通过点 1 4 时 a 口 2 的 顶 点 坐 标 为 f 口 0 口 1 3 设a 1 在一l 2 7 1 的范围内 若 1口 则函数的最大值为 一 0 4 a一 口 最小值为 一 0 2一da 当函数的最大值与最小值的差为 l 2 时 a 一1 口 百 2 有 b两个箱子 箱中有6 枚卡片 其 中1 枚写有0 2 枚写有 1 3 枚写有2 b箱中有 7 枚卡 片 其 中4 枚写有0 1 枚写有 l 2 枚写有 2 从 箱 中取 1 枚 从 b箱 中取 2 枚 共 3 枚 卡片 1 3 枚都写有o 的概率为口 2 3 枚卡片数字之积为4 的概率为口 3 3 枚卡片数字之积为0 的概率为口 4 3 枚卡片数字之积的期望值为口 第二题 必答题 满分4 0 分 1 0 6 为实数 a b为 z 的多项式 a 2 7 a x b b 2 7 2 7 1 a b 1 a b 2 x 4 6 x 3 3 x 2 c d 贝 0 a 口 b 口 c 口 d 口 2 等式 a 一b a b a b 0一1 b b 一1 l i d a 口 b l 1 当它满足条件 口时 b可被2 7 一l 整除 当它满足条件 口时 b可被2 7 一l 整除 这两个条件从下面的 一 中选择 a b 0 a b 0 a b一 2 0 a b 4 0 a b一 2 0 因此 当 b可被 2 7 一1 整除 一 b 可被 2 7 一1 整除 此 时 a 口 b 口 a 2一b2 v ix x一1 2 2 半径为 r的圆 内接 四边形 b d 中 b 3一l bc 3 l c o s a bc 一 且 d的面积为aa bc面积的3 倍 一 此时 a c 口 r 由 c d与 ab 的面积关系 可知 ad d 口 d2 cd 2 口 此时四边形ab d的周长为 2 口 2 3 第三题 选作题 满分 2 0 分 1 首项不为0 的等比数列 0 n 满足a l 2 a 2 0 此时的公比为 口 若 a l a 2 0 3 则a 4 a 5 a 6 口 当n 口时 5 7 一 一 一 al a2 an 2 对于由b n p n g 表示的数列 b n 它 的前 n 项的和记作 若 6 7 l 1 2 1 0 则p 口 q 口 口 第四题 选作题 满分2 0 分 aab 的外 心0 内心 外接 圆半径为 维普资讯 2 0 0 2 年第6 期 数学教学 6 3 5 r 内切圆半径为r 在 二 与 不重合的情况下 考察oi 与两圆半径 的关 系 图 1 根据下面推理 从 a g 除外 中选择 相 应 的 字 母 填 入 空 格 囡一 回 中 其 中 某 些 解答顺序可以交换 但标号不能改变 推理 a 延长线与外接圆交 点为d do 延长线交外接圆于点 直线 oi 与外接 圆交 点为f g 按 f 二 i g顺次排序 由 作 ac的垂线 垂足为 日 在 a日 与aebd中 日a i 1 i z bed 又 a i bd 9 0 r 这两个三角形 则 成立 固 2 r r 1 对于abdi 因为 d b 卅6 i z i ba zd b i zd b c zi bc i ba zi b c zd ac zd b c zd i b 1 9 1 i d 2 在 fd和 ag中 zi fd zgfd zi ag zfi d zai g a i fd a i ag r 一r 1 i 1 0 j 1 1 gi oi go一 r2一 oi 2 3 由 1 2 3 可知 o i r 一l 1 3 i 成立 从 a 一 f 六个答案中 回 中 a r b r c r 2 e 2 r r f 4 r r 第五题 选作题 满2 0 分 利用下列程序 求当 a x b x c 的最大 最小值 选择正确填入 d r r 0 1 9时 在囡 囡中 填 入正确的 行号 完 成 这一 程 序 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 0 0 2 1 0 2 2 0 2 3 0 2 40 i nput i nput i nput u c v c or x 0 to 9 y a木 x 木 x b木 x c i f y u t h e n g o t o i l l u y i f y 1 9 0 行中 变 为 u t he n u y b i f y v t he n v y e i f y v t he n v y f i f y v th e n v y 注 从第三 四 五题 中任选一题 答 案 口不 第 一题 1 1 2 2 一 2 a 3 1 3 时 最大值 一 0 4 0 8 最小值 a2 4 a 若 13 由一a 4 a一8 一 一 a 一4 a 2 得 0 矛盾 2 1 吾 1 詈 菩 c3 丢 兰 吾 菩 丢 4 三枚卡片数字之积可能出现 0 8 共 9 种情况 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i 7 z 4 3 l p 0 0 0 0 0 42 6 3 三张卡 片期望值为 第二题 1 1 a 2 b 2 c 6 d 5 2 满足条件 时 b可被 一1 整除 满足条件 时 b可被 一1 整除 此时 a 5 b 1 一 b 1 2 x 一 1 2 由余弦定理得 c 3 由c o s x a bc 一 得s i n x a bc 竽 由 正 弦 定 理 得r 下2 j f 由 a c d 3 s aa b c得 ad cd 3 一1 1 6 ad 上 cd c 2 ad cd c o s ad c 1 2 故 d d 2 6 四边形abcd周长为2 6 2 3 第 三题 1 公比q 一 言 则a 4 a 5 a 6 a l 乞 口 0 2 0 3 j 口 一 u 1 1 等 比数列中 0 n a l q n 二 口 一 n 由条件可求得 a l 3 一 1 一 1 5 75 7 解得n 9 一 一 一 解得n 9 2 n 1 时 b l p q n 2 时 b n b n 1 p 6 n 是等差数列 b l p q 公 比为 p 由 题 意 知 71p2 q 口 i 6印 1 解得p 言 q 一 b l p q 一 1 数 列 前 n 项 和 吉 n 一 吉 n 2 丢 2 2 2 一 1 2 3 1 2 5 2 注 这里用到 自然数平方和公式 第四题 序号 1 2 3 4 5 答案 bai a bd a bd 序号 6 7 8 9 i 1 0 i 答 案 ab b db db d 序号 i 1 1 i 1 2 1 3 答 案 f f e 第 五题 序号 l 1 i 2 3 4 5 l 6 i i 7 i l 8 i 答 案 1 9 0 2 1 0 2 3 1 0 4 0 4 5 下转 第6 1 0 页 维普资讯 6 1 o 数 学教学 2 0 0 2 年第6 期 图 3 定理的证 明方法2 设 f个面分别为 礼 1 n 2 n f边形 则 所有面角总和 0 礼 1 2 r n 2 2 丌 礼 f 一 2 丌 f n l n 2 n f r一2 f r 2 er一2 f丌 1 如上面展成平面 网络后 设去掉 的一个面为礼 边形 可得到一个 由礼边形围成的网络 内部 有 一礼 个点 则 0 礼一2 丌 礼一2 丌 n 2 r 礼一2 2 r v n 2 r 2 由 1 2 易得我们所要得到的式子 六 初步应用 加深理解 在我们得到欧拉公式及有关证明后 下面 就来看欧拉公式的一些初步应用 例 1 1 9 9 6 年的诺贝尔化学奖授予对发现 c 6 o 有重大贡献的三位科学家 c 6 o 由6 0 个 原子组成的分子 它的结构为简单多面体形状 这个多面体有 6 0 个顶点 从每个顶 点都引出 3 条棱 各面的形状分为五边形或六边形两种 如图4 计算 c 6 o 分子 中形状为五边形和六 边形的面各有多少 上接第6 3 6页 日本高考办法是先参加全国统一考试 合 格者再参加志愿学校的考试 统一考试中数学 分为数学i 数学 a 数学 数学b 数学 数 学 c 三套试卷 内容范围不同 不同学校 不同 c6 o的 结 构 图 4 让学生思考 讨论 教师在下列问题上注 意启发 1 设未知数 2 弄清顶点数 面数f 3 棱数计算方法有两种 特别是棱数计 算不要重复 具体解答略 例2 有没有棱数是 7 的简单多面体 说 明理 由 同样让学生思考 讨论 教师注意启发引 导 1 这是个存在性 问题 先不妨假设它存 在 看看是否有矛盾 2 f 4 4 3 联系实际模型思考 具体解答略 七 归纳总结 提高能力 欧拉公式是立体几何中描述简单多面体的 顶点数 面数 棱数之间特有规律的一个重要 公式 它的重要性更体现在公式的发现 公式 的推导证明过程 中所蕴含着的数学思想方法 欧