第三讲 有效前沿与最优证券组合.ppt

第三讲 有效前沿与最优证券组合 1 有效前沿的定义 定义3 1设S是N种证券的选择集 如果其中存在一个子集F p 具有如下性质 1 在给定的标准差 或方差 中 F p 中的证券组合在S中具有最大的期望收益率 2 在给定的期望收益率中 F p 中的证券组合在S中具有最小的标准差 或方差 则称F p 为有效前沿 efficientfrontier 简称前沿 边界 2 3 1N种风险证券组合的有效前沿 一 两种风险证券组合的有效前沿两种风险证券A和B A和B的期望收益率为a和b 方差和协方差分别为对任一组合p x 1 x x 0 1 证券组合p的期望收益率和方差如下 3 讨论证券组合P的有效前沿形状 1 2 3 4 2种和3种风险证券的有效前沿 pB pC ab 12 ab 143 CD1B AA O pO p图3 1图3 2 5 例题 两种风险证券A和B A和B的期望收益率为a 4 6 和b 8 5 方差和协方差分别为求这两种风险资产的有效前沿 6 N种风险证券的有效前沿 p O p图3 3 E 7 二 N中风险证券组合泽的有效前沿 设市场上有N种风险证券 它们的收益率和方差为有限值 这些收益率的方差 协方差矩阵V为正定矩阵 N种证券的期望收益率为 N种证券组合P表示为 证券组合期望收益率和方差分别为 8 按有效前沿的定义 求有效前沿即要求解下规划问题 9 构造拉格朗日函数一阶条件 10 由于V为正定阵 V的逆矩阵存在 求解得 11 对于另一个指定的 在前沿上的证券组合为 12 两个证券组合的协方差为令 则得前沿上的证券组合方差为 13 A CMVP O 1 C 1 2 p 14 3 2允许对无风险证券投资的有效前沿 无风险证券 例如国库券等 的期末收入是确定的 因此这种证券的方差为零 从而它和任何一种股票的协方差也为零 我们把无风险证券简称为债券 15 一种风险证券和一种无风险证券 股票A和债券以记投入债券的比例 则是购买股票的比例 证券组合的期望收益率和标准差分别为 16 一种风险证券和一种无风险证券 得证券组合的期望收益率和标准差的关系 17 图3 5 B A C O 18 两种股票A和B 及一种债券 有效前沿为从 0 rf 出发 与双曲线AB相切的射线 C A D B O e 19 N种股票及一种债券 问题s t构造拉格朗日函数 20 一阶条件 21 得证券组合的投资比例其中证券组合的方差为或 22 切点证券组合 tangencyportfolio 切点证券组合e的投资比例 23 切点的证券组合 24 3 3最优证券组合 N种风险证券的情形设投资者的效用函数为 并设和 下标1 2分别表示对U的第1 2个变元求导 意味着对给定的风险 投资者认为期望回报率越大越好 意味着对给定的期望回报率 投资者认为风险越小越好 25 这时投资者的问题可表述为s t 26 构造拉格朗日函数一阶条件 27 一阶条件变形得 从而得出 28 把 代回X中可得最优投资比例 29 定理3 1当市场上只有风险证券时 任何投资者的最优证券组合都是由和的凸组合构成的 又最优证券组合O 是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点 故有 推论1任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由和的凸组合构成的 有效前沿又可以看成由所有切点组成 因而有 推论2有效前沿上任何一点都是和的凸组合 30 最优证券组合 存在无风险证券的情形设N种风险证券和一种债券 在风险证券上的投资比例为X 在无风险证券上的投资比例为 1 X I 从而证券组合的期望收益率 31 证券组合的期望收益率投资者的问题可表示为 32 一阶条件最优投资比例为在债券上的投资比例为 1 X I 33 定理3 2 两资金分离定理 two fundseparation 当市场上存在无风险证券时 每个投资者有一个效用最大的证券组合 它由无风险证券和切点证券组合构成 34 计算方法与例题 切点e证券组合的计算方法 35 例3 1设风险证