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文档简介

1 称L 为样本的似然函数 2 称这样得到的 为参数 的最大似然估计值 称统计量 为参数 的最大似然估计量 利用最大似然法的思想 3 4 5 例1设总体X N 2 x1 x2 xn是X的样本值 求 2的极大似然估计 解 6 2的最大似然估计量分别为 7 例2设X U a b x1 x2 xn是X的一个样本值 求a b的极大似然估计值与极大似然估计量 8 例2设X U a b x1 x2 xn是X的一个样本值 求a b的极大似然估计值与极大似然估计量 似然函数为 9 似然函数只有当a xi b i 1 2 n时才能获得最大值 且a越大 b越小 L越大 取 都有 故 是a b的最大似然估计值 分别是a b的最大似然估计量 10 11 12 问题 1 待估参数的最大似然估计是否一定存在 2 若存在 是否惟一 13 设X U a a x1 x2 xn是X的一个样本 求a的最大似然估计值 解 由上例可知 当 时 L取最大值1 即 显然 a的最大似然估计值可能不存在 也可能不惟一 例3 14 不仅如此 任何一个统计量 若满足 都可以作为a的估计量 15 最大似然估计的不变性 设是 的最大似然估计值 u 是 的函数 若u是一一映射 则是u 的最大似然估计值 16 如在正态总体N 2 中 2的最大似然估计值为 lg 的极大似然估计值为 17 18 6 2点估计的评价标准 对于同一个未知参数 不同的方法得到的估计量可能不同 如 例设总体X U a b a b未知 19 1 无偏性 3 相合性 2 有效性 20 定义设 是总体X的样本 是总体参数 的估计量 1 无偏性 21 是总体X的样本 证明 不论X服从什么分布 证 因而 由于 22 特别地 是总体期望E X 的 样本均值 无偏估计 1 2 23 例2设总体X的期望与方差存在 X的 样本为 n 1 1 不是Var X 的无偏估计 2 是Var X 的无偏估计 证 前已证 证明 24 因而 故证毕 25 例3 证 26 27 X b n p n 1 求p2的无偏估计 解由于样本矩是总体矩的无偏估计以及数学期望的线性性质 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数 然后用样本矩作为总体矩的估计 这样得到的未知参数的估计即为无偏估计 令 28 因此 p2的无偏估计为 故 29 例5设总体X的密
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