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常微分方程教案 第四章 高阶微分方程第四章 高阶微分方程4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言讨论如下的n阶线性微分方程(4.1)其中ai(t)(i=1,2,n)及f(t)都是区间atb上的连续函数.如果f(t)0,则称方程(4.1) n阶齐次线性微分方程,否则称为n阶非齐次线性微分方程.定理1 如果ai(t) (i=1,2,n)及f(t)都是区间atb上的连续函数,则对于任一t0a,b及任意的x0,x0(1),x0(n-1),方程(4.1)存在唯一解x=j(t),定义于区间atb上,且满足初值条件.4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程(4.2)定理2(叠加原理) 如果x1(t),x2(t),xk(t)是方程(4.2)的k个解,则它们的线性组合 c1x1(t)+c2x2(t)+ckxk(t)也是(4.2)的解,其中c1,c2,ck是任意常数.特别地,当k=n时,即x= c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t),它含有n个任意常数.讨论通解条件先理解线性相关与线性无关的概念考虑定义在区间atb上的函数x1(t),x2(t),xk(t),如果存在不全为零的常数c1,c2,ck,使得恒等式c1x1(t)+c2x2(t)+ckxk(t)0对于所有ta,b都成立,则称这些函数是线性相关的,否则称为线性无关的.如函数cos t 和sin t在任何区间上都是线性无关的;但函数cos2 t , sin2 t ,1在任何区间上都是线性相关的.再如函数1,t,t2,tn,在任何区间上都是线性无关的.因为恒等式c0+c1t+c2t2+cntn0当且仅当所有ci=0(i=0,1,2,n)时才成立.由定义在区间atb上的k个可微k-1次的函数x1(t),x2(t),xk(t)所作成的行列式称为这些函数的朗斯基行列式.定理3 若函数x1(t), x2(t), xn(t) 在区间atb线性相关,则在a, b上它们的朗斯基行列式W(t)0.证明: 因为x1(t), x2(t), xn(t)线性相关，所以存在一组不全为零的常数 c1, c2, cn 使得c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)=0, a t b现对上式对 t 依次求导到 n-1 阶，可得一方程组则 c1, c2, cn 可看成是上述方程组的解，即上述方程组有非零解，从而知其系数行列式为零，即斯基行列式W(t)0.定理4 如果方程(4.2)的解x1(t),x2(t),xn(t) 在区间atb上线性无关,则W(x1(t),x2(t),xn(t)在这个区间的任何点上都不等于零,即W(t)0(atb).证明: (反证法)假设存在某个t0a, b,使得 W(t0)=0 .即考虑关于 c1, c2, cn, 的齐次线性代数方程组由于行列式 W(t0)=0,也就是上述关于变量 c1, c2, cn 的方程组的系数行列式为零，由齐次线性代数方程组的知识可知，上述代数方程组存在非零解 c1, c2, cn ，即 c1, c2, cn 不全为零构造函数：x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+ckxk(t), ta, b.则由叠加原理，x(t)也是方程(4.2)的解，且满足初始条件x(t0)= x(t0)=x(n-1)(t0)=0.而 x=0 显然也是方程(4.2)的满足初始条件的解，由解的唯一性可得 x(t)0, ta, b.即 x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+ckxk(t) 0, 由于c1, c2, cn 不全为零，从而得出 x1(t), x2(t), xk(t)线性相关，这是矛盾的定理5 n阶齐次线性微分方程(4.2)一定存在n个线性无关的解.定理6(通解结构定理) 如果x1(t),x2(t),xn(t) 是方程(4.2)的n个线性无关的解,则方程(4.2)的通解可表为x=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t),其中c1,c2,cn是任意常数.证明:首先证明常数c1, c2, , cn 互相独立计算关于 c1,c2,cn 的雅可比行列式：所以常数c1, c2, , cn 互相独立，即 x=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t) 是方程的通解其次，证明该解包含方程的所有解，即方程的任一解都可表成该形式由于对任一初值条件：,如能满足方程，则有方程组这是关于 c1, c2, , cn 的线性代数方程组，它的系数行列式恰是朗斯基行列式W(t0),由定理可知，W(t0)0因此，线性代数方程组有唯一解从而，满足上述初始条件的解为也就是说，方程的任意解都可表示成上述形式推论 方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n.因此可得结论:n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间.方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组.基本解组并不唯一,特别地,当W(t0)=1时称为标准基本解组.4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法考虑n阶非齐次线性微分方程(4.1)性质1 如果x(t)是方程(4.1)的解,而x(t)是方程(4.2)的解,则x(t)+ x(t)也是方程(4.1)的解.性质2 方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解.定理7 设x1(t), x2(t), xn(t) 是方程(4.2)的基本解组,而是方程(4.1)的某一解,则方程(4.1)的通解可表为x=c1 x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)+ x(t).证明:首先类似于定理的方法容易证明该形式的解是非齐次型方程(4.1)的通解其次，假设是非齐次型方程(4.1)的任一解，因也是非齐次型方程(4.1)的某一解，则由性质,是对应齐次型方程(4.2)的解，由定理,有一组确定的常数使即这也就说明了非齐次型方程(4.1)的任一解可表示成上述形式非齐次线性微分方程的常数变易法类似于求解一阶非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解高阶非齐次线性微分方程假设 x1(t), x2(t), xn(t) 是对应齐次型方程(4.2)的基本解组，从而 x=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t) 是齐次型方程的通解现使用常数变易法，将其中的常数 c1, c2, , cn 看成是 t 的函数：c1(t), c2(t), cn(t)则有x=c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t)+ cn(t)xn(t)代入非齐次型方程(4.1)中可得到关于 c1(t), c2(t), cn(t) 的方程，需有 n-1 个限制条件方能求解构造常数变易法的求解条件在 x=c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t)+ cn(t)xn(t) 中对 t 求导有令上式的右半部分为零，即(第个条件)可得再次对 t 求导又可得同理，令上式的右半部分为零，即(第个条件)可得继续下去，直到对 t 求导 n-1 次，得到(第 n-1 个条件)及最后再求次导可得将所有 x, x, x, ., x(n-1), x(n) 代入非齐次型方程(4.1)中，得到方程可变形为由于 x1(t), x2(t), xn(t) 是对应齐次型方程(4.2)的解，所以最后可得方程将此 n 个方程( n-1个条件加最后一方程)合在一起可组成一个关于未知函数 ci(t) (i=1, 2, , n) 的线性代数方程组，其系数行列式恰为W(x1(t),x2(t),xn(t)0，因此该方程组的解可确定假设求得各解为积分可得各其中 gi 为任意常数，则最终可得非齐次型方程(4.1)的通解为例1 求方程的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为cos t, sin t.解：由于基本解组已知，所以直接使用常数变易法，令对其求导(对t)得令得再求导有将 x, x, x 代入原方程，得到联立方程可解得从而最终可得原非齐次型方程的通解为： 例2 求方程tx-x=t2于域t0上的所有解.解：先求对应齐次型方程 tx-x=0 的通解，改写方程为作业:P131, 3.(1),(3)4.2 常系数线性微分方程的解法4.2.1 复值函数与复值解复值函数 如果对于区间a t b中的每一实数t,有复数z(t)=j(t)+iy(t)与它对应,其中 j(t) 与 y(t) 是定义于区间a t b上的实函数,则称区间a t b上给定了一个复值函数z(t).如果实函数j(t)与y(t)当t趋于t0时有极限,就称复值函数z(t)当tt0时有极限,并且定义若,则称复函数z(t)在t0连续(等价于j(t)与y(t)在t0连续).若极限存在,则称z(t)在t0有导数(可微),并记为z(t0)或.z(t)在t0有导数等价于j(t)与y(t)在t0有导数,且有设z1(t), z2(t)是定义在atb上的可微函数,c是复值常数,有以下等式:复函数的指数形式设K=a+ib是任一复数, a,b是实数,t是实变量,定义eKt=e(a+ib)t=eat(cos bt+isin bt)设K=a-ib是K=a+ib的共轭复数,则有.函数eKt的其它性质:(1);(2);(3);结论 实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数完全类似的性质.线性微分方程复值解的定义 定义于区间atb上的实变量复值函数x=z(t)称为方程(4.1)的复值解,如果对于atb恒成立.定理8 如果方程(4.2)中所有系数ai(t)(i=1,2,n)都是实值函数,而x=z(t)=j(t)+iy(t)是方程的复值解,则z(t)的实部 j(t),虚部 y(t)和共轭复值函数也都是方程(4.2)的解.定理9 若方程(ai(t), u(t), v(t)都是实值函数)有复值解 x=U(t)+iV(t),那么这个解的实部U(t)和虚部V(t)分别是方程和的解.4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程设齐次线性微分方程中的有系数均为常数,即方程形如(4.19)称为n阶常系数齐次线性微分方程.欧拉待定指数法(特征根法)一阶常系数齐次线性微分方程有形如x=e-at的解,假设方程(4.19)也有指数形式的解elt的,l 为待定常数.代入方程有从而方程变为则可知, elt是方程(4.19)的解的充要条件是 l 为代数方程 ln+a1ln-1 +an-1l+an=0的根.方程 ln+a1ln-1 +an-1l+an=0称为常系数齐次线性微分方程(4.19)的特征方程,其根称为特征根.按特征根的不同情况分类讨论:(1)特征根是单根的情形设l1, l2, ln是特征方程的n个彼此不相等的根,则微分方程相应地有如下n个解:验证这n个解线性无关:后一个行列式是范德蒙行列式,有由于 lilj(ij),所以上述范德蒙行列式不等于零.所以W(t) 0,即这n个解是线性无关的.如果l1, l2, ln是n个实数,则原微分方程有n个线性无关的实数解,则其通解为x=c1el1t+c2e l2t+ cnelnt.如果特征方程有复根,则复根将成对出现.假设某对共轭复根为: l=a ib, 则微分方程也对应有两个复数解:与其对应的实部与虚部也是方程的解,则可得复值解对应的实数形式为:与.所以复值解对应的通解形式为:(2)特征根有重根的情形设特征方程有k重根 l=l1, 则可知有F(l1)=F(l1)=F(k-1)(l1)=0,F(k)(l1)0.A 若l1=0,即特征方程有k重零根,则特征方程有因式 lk.特征方程变为: ln+a1ln-1 +an-klk=0.此时,对应微分方程为: 它有k个解: 1, t, t2, tk-1,而且这些解是线性无关的.B 若 l10,则作变换 x=yel1t.则x(m)=(yel1t)(m)可得于是原微分方程化为(b1,b2,bn仍为常数)其相应特征方程为 (4.24)现设，则有又从而且由此可知,特征方程(4.21)的根l1(0)对应于特征方程(4.24)的根m=m1=0,且重数相同.由此可得原微分方程的k重非零根对应有k个解:el1t, tel1t, t2el1t, ,tk-1el1t,假设方程的所有特征根为:l1, l2, lm,它们的重数分别为:k1,k2,km,ki1,且k1+k2+km=n.则微分方程有以下解:这些所有解如果线性无关,则可构成微分方程的基本解组.以下验证特征方程上述的n个解线性无关.假设这些函数线性相关,则有其中Aj(r)是常数,不全为零.假设多项式至少有一个系数不等于零,即Pm(t)0.等式两端除以el1t,对t求导k1次,可得Sr(t)为次数低于Pr(t)的多项式.因此Qr(t)与Pr(t)次数相同,且Qr(t)0,如此下去,经过m-1次后,可得等式Rm(t)e(lm-lm-1)t =0,而Rm(t)与Pr(t)次数相同,且Rm(t)0这是不可能的,从而上述n个解线性无关,可构成微分方程(4.19)的基本解组.特征方程有复重根的情形,类似于情形(1). 有：设为的k重复根，则方程有2k个解，分别为：例1 求方程的通解.例2 求解方程.例3 求方程的通解.例4 求解方程.欧拉方程 (a1,a2,an为常数)可通过变量替换x=et将其变为常系数线性微分方程.此时有,由归纳法知,对自然数k有:其中b1, b2, bk-1都是常数.于是.将它们代入原方程可得此类方程有形如 elt 的解,由于 x=et ,所以对应于原方程有形如 xl 的解.现假设 y=xl 是原欧拉方程的解,则有即得欧拉方程的特征方程为: G(l)=l(l-1) (l-n+1)+a1l(l-1) (l-n+2)+an-1l+an=0若变换后的方程的特征方程有根 l 为 k 重根,则对应于原欧拉方程的特征方程的根也为 k 重,而变换后的方程的k 个解为: xl, tel, t2el , , tk-1el ,从而原欧拉方程的 k 个解为:xl, ln|x|xl, ln2|x|xl , , lnk-1|x|xl . 例5 求解方程例6 求解方程4.2.3 非齐次线性微分方程.比较系数法与拉普拉斯变换常系数非齐次线性微分方程(4.32)(1)比较系数法类型1设f(t)=(b0tm+b1tm-1+bm-1t+bm)elt,其中及bi(i=0,1,m)为实常数,那么方程有形如特解,其中k为特征方程F(l)=0的根l的重数(单根相当于k=1;当l不是特征根时,取k=0),而B0,B1,Bm是待定常数,可以通过比较系数来确定.如果l=0,则此时f(t)=b0tm+b1tm-1+bm-1t+bm ,再分两种情形讨论:(A)l=0不是特征根时, F(0)0,因而an0.取k=0,以代入方程比较t的同次幂的系数可得Bi的值:(B) l=0是k重特征根时,F(0)=F(0)=F(k-1)(0)=0,而F(k)(0)0,则有an = an-1 = = an-k+1 =0, an-k0.方程变为令,则方程又变为由(1)可知上述方程有形如的特解,因而原微分方程(4.35)有特解满足.上式说明特解是关于t的m+k次多项式,上式积分k次后t0,t1,tk-1次项的系数为任意常数,令它们为零可得一个特解为:如果l0,可作变量替换x=yelt,将方程化为(4.37)原微分方程(4.21)的特征方程的根l对应于方程(4.37)的特征方程的零根,且重数相同.因此,有如下结论:(A)当l不是特征方程(4.21)的根时,方程(4.37)有特解,从而方程(4.32)有特解;(B) 当l是特征方程(4.21)的k重根时,方程(4.37)有特解,从而方程(4.32)有特解;类型I推导方法二:设f(t)=Pm(t)elt, 其中 Pm(t) 是m次的关于的t的多项式.设方程有特解形如:x*=Q(t)elt ,其中 Q(t) 为待定多项式.代入方程可得即以下按 l 与特征方程的关系分类讨论:(1) l 不是特征方程的根,则表明Q(t) 是关于的t的m次多项式,则可设 Q(t)=Rm(t)=B0tm+B1tm-1+Bm-1t+Bm,代入方程比较系数可确定各Bi(i=0,2,m)值.(2) l 是特征方程的单根,则表明Q(t) 是关于的t的m次多项式,则可设Q(t)=tRm(t)=t(B0tm+B1tm-1+Bm-1t+Bm),代入方程比较系数可确定各Bi(i=0,2,m)值.(3) l 是特征方程的k重根,则表明Q(k) (t) 是关于的t的m次多项式,则可设Q(t)=tkRm(t)=tk(B0tm+B1tm-1+Bm-1t+Bm),代入方程比较系数可确定各Bi(i=0,2,m)值.例7 求方程的通解.例8 求方程的通解.例9 求的通解.类型2设f(t)=(A(t)cosbt+B(t)sinbt)eat,其中a,b为常数,A(t),B(t)是实系数的t的多项式,最高次数为m. 类似于类型1的讨论,此类方程有形如的特解,其中k为特征方程F(l)=0的根a+ib的重数, P(t),Q(t)待定的实系数次数不高于m的t的多项式,可以通过比较系数来确定.将f(t)表为指数形式由非齐次线性微分方程的叠加原理(习题4.1 T2)方程与的解之和必为方程(4.32)的解.由于f1(t)与f2(t)是共轭的,因此可直接利用类似1的结果,则方程(4.32)有如下形式的解:其中D(t)为t的m次多项式,而P(t)=2ReD(t),Q(t)=2ImD(t).例10 求方程的通解.复数解法：若或，则可先设可先求解方程的特解，它有特解形如：，其中为与同次的待定多项式；视是特征方程的根的情况取相应值。将代入方程待定系数求出解后，取相应实部或虚部为原方程的解。例11 用复数法解例10.(2)拉普拉斯变换法由积分所定义的确定于复平面(Re ss)上的复变量s的函数F(s),称为函数f(t)的拉普拉斯变换.其中f(t)定义于t0,且满足| f(t) |0, j(0)=0.(3)齐次线性微分方程设x1, x2, , xk是方程(4.2)的k个线性无关解,令x=xky