2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质讲义新人教A版选修2.doc

2.2.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案(1)(2)(3) 2做一做(1)(教材改编P46例4)椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3， B10,6，C5,3， D10,6，(2)椭圆x29y236的短轴的端点为_(3)设P(m，n)是椭圆1上任意一点，则m的取值范围是_答案(1)B(2)(0,2)，(0，2)(3)5,5解析(1)变形为1，焦点在y轴上，a5，b3，长轴长为10，短轴长为6，e.探究1椭圆的简单几何性质例1已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1.m0，m，椭圆焦点在x轴上，即a2m，b2，c .由e得， ，m1.椭圆的标准方程为x21.a1，b，c.椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质2根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数【跟踪训练1】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)；(2)离心率e，焦距为12.解(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21；若焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为y21或1.(2)由e，2c12，得a10，c6，b2a2c264.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1.综上所述，所求椭圆的标准方程为1或1.探究2椭圆的离心率问题例2直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c,0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2，又b2a2c2，所以，即e2，所以e.故选B.答案B解法探究解答例2有没有其他解法呢？解如图，由题意得在椭圆中，OFc，OBb，OD2bb，BFa.在RtOFB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，解得，所以椭圆的离心率e.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 【跟踪训练2】(1)已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案C解析设P(m，n)，c2(cm，n)(cm，n)m2c2n2，m2n22c2,2c2m2n2，把P(m，n)代入椭圆1得b2m2a2n2a2b2，把代入得m20，a2b22a2c2，b22c2，a23c2，e.又m2a2，a22c2，e.综上知此椭圆离心率的取值范围是.故选C.(2) 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率解解法一：由已知可设椭圆的方程为1(ab0)，c2a2b2，F1(c,0)，因为PF1F1A，所以P，即P，ABPO，kABkOP，即，bc，a22c2，e.解法二：由解法一知P，又PF1OBOA，即bc，a22c2，e.探究3直线与椭圆的位置关系例3已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值解(1)由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1，点T的坐标为(2,1)(2)由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点的坐标为，|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2)，由0，解得mb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，选D.探究5椭圆中的最值(或范围)问题例5已知椭圆E：1，点P(x，y)是椭圆上一点(1)求x2y2的最值；(2)若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值解(1)解法一：由1，得y216，x2y2x21616.x5,5，16x2y225，x2y2的最大值为25，最小值为16.解法二：令0,2，得x2y225cos216sin2169cos2.又cos20,1，x2y2的最大值为25，最小值为16.(2)如图所示， 易知A(5,0)，C(0，4)，设B(5cos，4sin)为椭圆上任一点又AC方程为1，即4x5y200.所以点B到直线AC的距离为d1.同理可得，点D到直线AC的距离为d2.所以四边形ABCD的最大面积为S|AC|(d1d2)20.拓展提升1.解决椭圆1(ab0)中的范围问题常用的关系(1)axa，byb；(2)离心率0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆C上的动点，ABF1的面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l，若直线l与直线l相交于点P，与直线x2相交于点Q，求的最小值解(1)由已知，有，即a22c2.a2b2c2，bc.设B点的纵坐标为y0(y00)，则SABF1(ac)|y0|(ac)b，即(bb)b1.b1，a.椭圆C的方程为y21.(2)由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l：xmy1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xP，yP)，Q(2，yQ)联立消去x，得(m22)y22my10，此时8(m21)0，y1y2，y1y2.由弦长公式，得|MN| |y1y2|，整理得|MN|2.又yP，xPmyP1 .|PQ|xP2|.2，当且仅当，即m1时等号成立当m1，即直线l的斜率为1时，取得最小值2. 1.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法； (2)方程法. 2.判断直线与椭圆的位置关系的方法 3.求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l 或l求解. 4.两个特殊结论 (1)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|，称为通径. (2)椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac. 5.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法； (2)点差法.1椭圆1与1(0k9)的关系为()A有相等的长轴 B有相等的短轴C有相同的焦点 D有相等的焦距答案D解析当0k9时，(25k)(9k)25916c2，c4，而焦点一个在x轴上，一个在y轴上，两椭圆的焦点不同，因此，有相等的焦距故选D.2点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()Aa BaC2a2 D1a1答案A解析由已知可得1，a22，即ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析PF1F1F2，F1F22c，F1PF260，|PF1|c，|PF2|c，|PF1|PF2|2a，cc2a，得e.4若直线yx1与椭圆y21相交于A，B两个不同的点，则|AB|_.答案解析由解得A，B两个不同的点的坐标分别为(0,1)，故|AB|.5已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9