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II.C 微积分 Keith Parramore and Terry Watsham Brighton大学，UK这一章的目的是对微积分的意义、方法进行一下介绍，并且传授基本的技能和知识。在这章张结束时你能够：l 理解微分的概念，并且能够将微分法则运用于多项式函数、指数函数、对数函数。l 能在金融环境中运用泰勒逼近。l 理解积分的概念，并且能够将积分法则运用与多项式函数、指数函数、对数函数。l 能够确定单变量和多变量函数的最大最小值l 能够解决无约束和约束最优化问题。在这章中我们将关心两种类型的微积分学：微分学和积分学。微分学能够让我们测量一个变量关于另一个变量或多个变量的变化率。在金融学中的一个普遍的运用就是测量当一个债券收益率变化的时候其价格的变化率。另一个经常碰到的运用是风险资产结构化投资组合的衍生品，用于在给定风险水平下最大化投资组合的收益。后一个运用被称为最优化。积分学能够让我们求得曲线或者曲面下的面积。在金融上面运用包括得到欧式期权在到期日的期望价值，通过概率密度函数下面的面积来求得一个给定回报范围的概率。有很多跟这些例子相似的问题，例如通过找到一个损失分布的期望和一个更小的百分比，来估计一个投资组合的(市场或者)信用的在险价值（见III.A.2和III.B.5）。现代技术为计算机解决涉及变化率、，面积/体积之类的问题提供了很多手段体积之类的问题提供了很多工具，既有通过数值方法，又有通过分析（精确的）方法的计算机代数工具包。然而，要用好这些工具，专业人士需要在微积分的基本原理和技术方面有好的功底。所以我们将从学习微分学开始我们的分析。II.C.1 微分学II.C.1.1 函数假设一个变量y随着变量x的变化而变化，即给定任意的x，有唯一的一个y与之对应。那么我们就说y是x的一个函数，写为，为了说明这个，考虑如下函数：； ； 注意到这些函数都是定义在任意实数x上的。情况并不总是这样，通常函数特定的定义域的特性(函数执行的集合函数运行的区域)是函数定义的一个重要的部分。让我们对x在-5到5上计算每个函数的函数值，并作图。x=-5-4-3-2-1012345y=-10-8-6-4-20246810 y=2xx=-5-4-3-2-1012345y=-5-3-113 579 11 1315y=5+2xx=-5-4-3-2-1012345y=50321882 028 18 3250 图II.C.1II.C.1.2 一阶导数函数y=f(x)的1阶导数(也称为y关于x的1阶导数)显示了随着x的变化，y变化的得有多快。显示了y随着相对于x变化时的变化率。这里有2个完整的1阶导数的记号，。我们将换着使用这两个符号。首先让我们考虑函数y=2x（图II.C.1）。线的斜率指出了y关于x变化的变化率。斜率由垂直变化（例如y的变化）除以水平变化（例如x的变化）的比率给出。因此斜率为。对于函数y=2x，垂直的关于水平的比率为固定的，值为2。在函数y=2x+5中有同样的结果。y的变化总是x变化的两倍。对这两个函数来说2。注意到常数项，5，在第二个函数中没有影响到线的斜率，只影响线的位置。因此常数不影响变化率，也不影响函数f(x)的导数。现在考虑图II.C.2。注意到曲线随着x正的越多，就变的越月陡峭。换句话说就是y的变化率不是一个常数，它随着x的增长而增长。在那样的情况下，如果x变化一个很大的数值，称为,导致y变化，那么只能近似的得到。考虑图II.C.3，直角三角形的斜边，由曲线的弦表示，只给出了2点之间变化的平均值。图II.C.3如果变得越来越小，那么Q点就越接近P点，通过PQ两点的直线就越接近P点的切线。（注意到一条曲线上任意一点的切线定义为一条只与曲线在这一点相交的直线）。切线的斜率也就是函数在P点的变化率。随着趋向于0（图II.C.4），变化的商：也就趋于一个函数，这个函数就给出了瞬时的变化率。图II.C.4我们如何到处瞬时变化率的的表达式我们如何导出瞬时变化率的的表达式：考虑函数。如果x变化一个很小的量，y也将变化一个很小的量。我的得到可以得到。将右边展开得到。对我们推导出，两边同时除以。随着趋向于0，上式清楚的趋向于4x，因此我们得出结论：。函数的一阶导数为4x。这个给出了y在任意选点的x处的变化率。这是任意点x处切线的斜率。II.C.1.3 记号微分有两种记号来源于莱布尼兹和牛顿。后者有称为函数记号。函数（牛顿）记符号：如果，那么莱布尼兹记号；如果，那么莱布尼兹符号；如果，那么莱布尼茨记符号在有多于一个独立变量的时候很有用，它能够分别指出，.当需要指出斜率的时候函数记号有用。因此“x=2这一点处的的值”可以简单的表示为。II.C.1.4 简单法则幸运的是我们不必每次在需要求一个函数的导数的时候重复这个代数过程。这里有以下的简单法则：II.C.1.4.1 常数的导数 如果y=a（a为常数），那么=0II.C.1.4.2 线性函数的导数 如果y=bx，那么=bII.C.1.4.3 直线的斜率 如果y=a+bx，那么II.C.1.4.4 x的幂函数的导数 如果，那么例II.C.1：(i) 如果，那么(ii) 如果，那么，跟下面的一样：如果，那么(iii) 如果，那么，跟下面的一样：如果，那么例(ii)在债券组合管理中特别重要，因为它用于确定债券的利率敏感性。这将在本节的后面阐述。II.C.1.4.5 纯数量倍数函数的导数 如果，其中k为一个数为一个常数，那么II.C.1.4.6 两个函数和的导数 给定函数y=u+v，其中u、v均为x的函数，那么例II.C.2：(i) 如果，那么(ii) 如果，那么II.C.1.4.7 两个x的函数乘积的导数如果y=u*v，那么所以当y是两个x的函数的乘积，由每个函数乘以另一个函数的导数在把两个乘积加起来得到。例II.C.3如果，我们能将右边表达为u*v，其中和，我们得到，并且。所以 或者 注意到在这个例子中，结果也可以通过先把括号乘进去，如，然后再用前面的法则。情况并不总是这样的。II.C.1.4.8 两个关于x的函数的商的导数如果 ，那么例II.C.4又假定，由前面得到，。所以 或者II.C.1.4.9 复合函数的导数如果，其中，那么这个被称为“链式法则”。例II.C.5： 如果，那么，其中。所以： ，II.C.1.4.10 指数函数的导数指数函数（注意它也能写成exp(x)），是微积分中特别重要的函数，除了零函数，这是唯一的一个导数为以自身的导数的函数。如果，那么例II.C.65：(i) 如果，那么 （使用链式法则）(ii) 如果，那么 （还是用链式法则）(iii) 如果，那么 （使用链式法则） II.C.1.4.11 自然对数函数的导数 如果，那么例II.C.7： 如果，那么（用链式法则）表II.C.1 求导法则小结II.C.2 案例：债券的修正久期债券的不纯价格脏值是所有应支付债券的未来现金流的现值。假设有一系列现金流，CF(1)，CF(2)，在时间1，2收到。所有现金流的现值（不纯价格脏值）为PV，收益率为y。这个收益率代表了每个现金流支付时期内的收益率（见I.B.2.4节）。例如，如果两个现金流支付期之间为一年，则该收益率为年收益率。尽管如此，如果支付期之间为半年，则该收益率为半年收益率。这个收益率表示为小数，例如8%写成0.08。在英国债券市场上，每半年支付一次年息，则年收益率即为半年收益率的两倍。因此年收益率是一个名义收益率而不是实际收益率。例如，5%的半年收益率可以表示10%的年收益率。但是，通过再投资，5%的半年收益率可以产生10.25%的年收益率，因为债券现值可以用以下公式计算 （II.C.1）考虑债券价格对收益率的一阶导数。为了得到这个一阶导数，需要对（II.C.1）式右边的每一项求微分。比如可以重写第一项为。通过微分计算法则得到它的一阶导数是，也可以写作。同样的，第二项的一阶导数为，而第n个现金流的一阶导数为。因此债券价格对收益的一阶导数为除了现值（P），现金流（C或M），收益（y）等不同的符号，这个表达式同（I.B.2.8）是相同的。也可以表达为 （II.C.2）债券价格对收益的成比例的变化为 （II.C.3）对右边稍加变形，有 （II.C.4）括号中的式子是时间的加权和。这里的时间是每一个现金流支付的时间。对每个时间，权重是相应现金支付的现值与现值总和的比值。因此，该表达式是一个现金支付的平均（期望）时间。括号中的表达式称为麦考利久期（Macaulay 1938）。整个式子称为修正久期。所以有关债券久期的更多信息已在债券久期的更多信息见I.B.2.6中给出。例II.C.8考虑一个年息为4，以到期收益率5%交易的三年期债券。债券的不纯价格脏值为修正久期为这在Excel中很容易计算如果现金流的支付间隔提高为半年，则修正久期的每一项都应该相应变为半年。因此，有必要除以2 以转换修正久期的年限。债券交易商，投资组合管理者和风险管理者通过下面的关系使用久期因此上例中债券的修正久期为-2.7470，债券可以以97.2768卖出。计算每基点收益变动的价格=。每点收益变化计算的实际价格变动=。这在债券市场中称为PVBP或PV01。这个结果对债权投资组合的在险价值计算非常重要。在最简单的形式中，利率的变化率记为，它是日收益变化的标准差。表示每日投资组合价格变化的标准差。有 （II.C.5）其中D为投资组合的修正久期。所以D给出了控制风险的方法，也用于明确交易限制。II.C.3 高阶导数II.C.3.1 二阶导数图II.C.3中切线斜率跟随x的变化而变化。切线斜率的变化率是曲线自身变化率的变化率，也就是。称为y的对于x的二阶导数，记号可以缩写为或。二阶导数为正，表示斜率增加。可以通过对一阶导数求微分来得到二阶导数。因此，如果，则，。一阶导数表示y相对于x的变化率，所以用来说明来变化率是增加、，不变还是下降。II.C.3.2 高阶导数我们用类似的方法来定义高阶导数，但是为了避免混淆，我们用代替。因此。所以，如果，则，II.C.3.3 泰勒逼近我们通常已知一个过程现在的状态，而希望知道在一个潜在因素变化后而希望知道在一个相关因素变化后，该状态如何变化。例如，已知债券的当前值时，希望知道当收益率变化时，债券价格如何变化。或者，我们也许希望知道同一时期下标的资产价格变化时，期权价格如何变化。计算在险价值时，近似计算大型资产组合价格变化的影响比做完整的资产组合重估要更方便。逼近方法以牺牲精度为代价节省了计算时间。，在某些情况下，这种折中是值得的这种代价是值得的。在数学问题中，我们希望知道当x的当前值变化时，如何变化。在前面讲过的例子中，可以将债券的价格表示为收益率的函数。同样的，可以把期权价格表示为标的资产价格（波动率和时间）的函数。这些函数的复杂程度使逼近（而不是所有值）非常有吸引力。下面给出函数的一阶和二阶泰勒逼近。（这些近似仅适合于变量的微小变化）。考虑函数，我们希望知道x有一个微小的增量h时，如何变化线性（一阶）逼近在这种逼近中，假设已知或可以估计。的斜率依赖于x的选择。逼近是曲线的切线，它是一次的，图像为一条直线。直观上，我们需要同时考虑x的增量，也就是h，以及f相对于x的变化率。因此，如果，x的增量为h，则y的变化为。既有 （II.C.6）可以看到，对于选定的x，有相同的逼近值，以及相同的一阶导数。二次（二阶）逼近对二次逼近，假设二阶导数已知或可估计。逼近是2次的，所以图像为抛物线。对于选定的x值，逼近会得到相同的值，相同的一阶导数和二阶导数。定义二次逼近为 （II.C.7）注意：事实上有常数（零阶）逼近 （II.C.8）同样存在高阶逼近，但在这里我们并不会用到。常数，线性和二次泰勒级数逼近的总结图II.C.5II.C.7显示了债券收益率曲线的连续逼近。每幅图中的债券收益率曲线用实线表示，逼近用虚线表示。（注意函数关系是，而不是）II.C.4 二阶导数在金融中的应用II.C.4.1 凸度同见I.B.2.8节。前面讲到回忆投资组合价值日变化的标准差，其中D是组合的修正久期（见II.C.2节）。二阶导数的一个应用是通过上述等式，用修正久期改进债券价格敏感度的度量。即可以用已知的债券价格对收益和到期日的二阶导数来计算所谓的债券的凸度。为了解释这个问题，首先回忆单个一现金流对收益率的一阶导数，则其二阶导数为。那么对于之前三年期债券久期的例子，现值对收益率的二阶导数为 （II.C.9）债券凸度定义为债券价格对收益率的二阶导数的一半再除以债券价格，即。注意，某些从业人员建议使用二阶导数除以债券价格来表示凸度，即不使用因子1/2。引入因子1/2的原因将在数值变化计算中说明。例II.C.9我们通过计算前例中（例II.C.8）两年期债券的凸度来理解二阶导数在债券风险管理中的应用。债券凸度是债券价格对收益的二阶导数的一半再除以债券价格。其中债券价格对收益的二阶导数为给定债券价格97.2768，则每个现金流期间的凸度为修正久期的度量单位是年，所以凸度的度量单位是年度的平方。因此有必要将计算结果除以每年现金流数量的平方。这个例子中仅有一个现金流，所以债券的凸度为5.163（years2）.如果现金流支付提高为每半年一次，则有必要除以4以便将凸度单位化为（years2）。II.C.4.2 凸度的作用重新考虑三年期债券。如果到期日收益提高1%，则现值从97.2768降为94.6540，降幅2.6228。用修正久期计算的降幅为。过高估计了0.0494。如果在使用修正久期的同时使用凸度，则会得到更精确的结果。因为凸度的影响为。所以收益上涨1%时久期和凸度的联合影响为-2.6722+0.0530=-2.6219.和2.6228相比仅有0.0009的误差。这是一个二阶泰勒逼近优于一阶逼近的例子（见II.C.3.3节）。II.C.4.3 期权的Delta和Gamma期权的价值是标的资产价格（也可能有其他变量）的函数。期权价值对标的资产的一阶导数称为期权的delta，二阶导数称为期权的gamma。在Black-Scholes模型中（见I.A.8.7节），欧式看涨期权的delta记为，其中N表示积累表示累积（标准）正态密度函数，而Black-Scholes模型的gamma为，N表示积累（标准）正态密度函数。则如果将欧式看涨期权的价值W(S)看成标的资产价格S的函数，那么对于一个微小的变化量，有 （II.C.10）其中假设波动率和无风险利率是常数。II.C.5 多元函数的微分在这个题目中在本节中，我们将考虑两个过程。第一是在多个变量组成的函数中，对其中一个变量微分，有时候其他的都是常数。第二是假定所有变量都改变的情况下对多元函数微分。第一个叫偏微分，第二个叫全微分。II.C.5.1 偏微分考虑以下函数，函数z由两个自变量x、y组成x，y。这样一个函数可以对其中一个变量求微分如果该函数对其中一个变量求微分，其他的看作常数，。这就是所谓的偏微分。例II.C.10考虑函数，对变量x的偏导数就为。同样的，f关于y的偏导数为。注意到这个记号(德尔塔的一个形式而不是d)用于指数这是部分派生的表示求偏导，例如用而不是。含有偏微分的方程叫做偏微分方程(PDE)。这在衍生工具估价中是特别重要的。特别的特别地，布莱克布兰克斯科尔斯偏微分方程(B-S方程)含有这些变量：衍生证券的价值W，标的资产的价格S，标的资产的波动性，无风险利率r，这个方程式： (II.C.11)为了理解B-S方程的含义，首先考虑下面的这个例子。假设w是一个三元函数；。那么：,，。这些结果指出：；当x增加一个很小的数量，w将增加。当y增加一个很小的数量，w将增加。当z增加一个很小的数量，w将增加有了，很自然的想到这些将根据标的变量怎么变化。例如，关于x的变化率为，简写为。，读作称作w关于x的二阶偏微分的二阶偏导。关于y的变化率为，简写为：。，读作称作w关于x和y的二阶偏微分的二阶偏导。，注意这个跟注意区分该式跟w关于y和x的二阶偏导微分的不同之处。因此对于三元函数就有9个二阶偏微分。这个通常用一个对称矩阵表示，叫做Hessian矩阵（见II.D.3）。上面的例子里Hessian矩阵为： (II.C.12)II.C.5.2 全微分全微分解释了当所有自变量改变的时候，函数值如何变化。还是考虑函数.对自变量的微小变化，这里表示很小的变化。同时发生的每个变量的微小变化得到： (II.C.13)例II.C.11：函数，那么，那么全微分为考虑例：求w(2,1,3)，w(2.01,1.05,2.98)值W(2,1,3)=16+54+2-4=68，=(32+27+1)*0.01+(2-13)*0.05+54*(-0.02)=-0.98这个得到67.02(68-0.98)作为w(2.01，1.05，2.98)的一个近似值。事实上w（2.0.1，1.05，2.9)的正确值为66.9942。例II.C.12我们在II.C.4.3中看到泰勒级数逼近可以用于测量期权的价值变化中看到泰勒级数逼近可以用于度量期权的价值变化，当标的资产价格变化的时候。然而，期权的价值也依赖于标的资产的波动性和无风险利率。只考虑前一个，期权的价值关于标的资产波动率的变化为Vega，用V表示。下面这个近似是比较常用的： (II.C.14)其中是伴随着标的资产价值的微小变化和波动率的微小变化而发生的期权价值的变动。是投资组合的delta，V为Vega, 为gamma。这个表示了一个既包含泰勒展开也包含全微分的实例这里有一个既包含泰勒展开也包含全微分的实例。例如，如果我们有一个标的资产波动率为0.25，在一个无奉献利率为0.06的交易环境以150交易。那么一个执行价格为150的3个月期的欧式看涨期权的价值为8.58953，delta为0.57240，gamma为0.02093，vega为29.42652（见II.D.2.3）如果我们有一个投资组合有这些看涨期权组成，考虑如果当标的资产的价格增加1到151，同时它的波动性有0.02涨到0.27，那么我们能够看到看涨期权的价值大约变为：(0.57240*1)+(29.42652*0.02)+(0.5*0.02093*1)0.5724+0.5885+0.01051.171相应的B-S方程的值为9.759，比原始价格8.59的基础上增加了1.169。II.C.6积分学II.C.6.1不定积分和定积分函数的积分有两个方面的积分有两种。一个方面是种称为不定积分的思维训练寻找一个函数，使它的微分形式等于给定函数。有时也称为“反微分”。另一个方面是用定积分求给定曲线另一种是定积分，比如用定积分求给定曲线下方两个x值之间的面积。不严谨的说用不严谨的说法来解释，图II.C.8所解释的“微积分基本定理”说明定积分和不定积分是一个硬币的正反两面。也就是说，如果能找到函数使它的微分为，则可以推出和x轴之间的面积。浅阴影的面积为深阴影的面积为，近似为所以，其极限是求微分为f的函数的过程称为积分，记为，称作不定积分。图II.C.9解释了由函数描述的曲线下方的面积。其中a和b分别是x在所求区域左右两端的值。这称作定积分。微积分基本定理：如果有，使得，则记为。例如，如果，则微分相对简单，而积分相对困难。有经验的学习者人员并不完整记忆积分，而是通过导数的知识来构建积分。尽管如此，为了方便使用，表II.C.2列出来常见函数的积分。函数不定积分 （） （即）1 （即） （即） （由来自得出） （即） （即） （即） （即） （即） （即）进阶的II.C.6.2积分的运算规则与微分类似，积分同样存在运算规则。在表II.C.3中给出规则1. 常数乘法例如2. 加法3. 分布积分4. 复合函数令4.5. 复合函数（特例）只需用对f积分，剩下的部分由微分的链式法则求得。II.C.6.3 推断有经验的人员用推测和微分来计算积分。规则1允许你“推测数量级”。所以的积分可以推测为。的微分为，是原式的两倍。因此将推测减半得到规则1中计算的正确答案。的积分推测为。计算（链式法则）。这是原式的3倍，所以II.C.7 最优化极值最优化是寻找函数最大最小值的过程极值是寻找函数最大最小值的过程。回忆一下，一阶导数确定了一个函数的变化率，二阶导数指出变化率是增加、减小还是维持稳定的。当最大或者最小值达到的时候，函数在瞬时是不增大也不减小的，它是稳定的。因此，我们能用微分学，特别是函数的一阶导数来找到最优点特别是函数的一阶导数来找到“极值”点。二阶导数能帮我们看到这些点的特性。一个应用是在所有可能的投资组合结构中，找到能给出最小风险水平的投资组合。我们把这个过程叫做无约束极值最优化。然而，在金融中我们很少在没有约束的条件下工作。例如，通常情况下，我们是在保证投资组合得到一个最小水品的收益这个约束下我们是在保证投资组合得到一个最低的收益这个约束下，来寻找最小风险水品的投资组合结构。考虑到通常风险跟收益是一个正相关关系，具有更低风险的投资组合结构通常意味着一个更低的收益。寻找受限于一个最低收益的最低风险结构就是一个约束最优化问题寻找受限于一个最低收益的最低风险结构就划归为一个求解约束极值问题。在这节中我们将解释如何去寻找单变量和多变量函数的无约束最最大最最小值。我们将解释寻找多变量函数的约束最优值的原理我们将解释寻找多变量函数的约束极值的原理。然而一个实际的约束最优化的应用必须等到我们在章节然而一个实际的约束极值的应用必须等到我们在章节II.D中学习了矩阵代数之后。II.C.7.1 寻找一元函数的最大最小值图II.C.10从图II.C.10中我们清楚的看到A点是一个局部最大值（local maximum）* “local maximun”在精确的数学定义中应译作“极大值”，这里将其译作“局部最大值”，便于理解，并以免初学者与“最大值”混淆。”local minimum”同理。切线是水平的，所以一阶导数为零。B点明显是一个局部最小值，一阶导数也是零。C点切线也是水平的，所以它是一个拐点。但它既不是最大值也不是最小值，他是一个拐点称作拐点。局部最小值点，局部最大值点，拐点都是驻点。这些点的一阶导数dy/dx=0如果局部最大值，局部最小值和拐点都是由一阶导数为零来指出的话，我们在没有图形的条件下怎么知道他们到底哪个是哪个？如果在驻点上二阶导数为负，那么我们知道dy/dx=0，并且dy/dx是下降的。所以从左到右我们一定有正的斜率、接着是零斜率，然后是负斜率。这是局部最大值的特征，就像在A点一样。类似的讨论指出如果在驻点上二阶导数为正，那么我们得到的斜率从左到右是负的，零，然后是正的。这是局部最小值的特征，就像在B点。如果在驻点上二阶导数为零，那么这个点是拐点的话情况将比较简洁。不幸的是情况并不是这样。例如，在x=0这一点上，函数的一阶二阶导数都为零，但这一点是局部最小值点。我们只能说如果二阶导数为零，那么二阶导数测试将失效那么二阶导数方法将失效。我们必须回过头来关注一阶导数，去看它是否变号。如果不变号，例如在C点，它从正到零然后又变为正，或者从负变到零再变到负，那么我们可以判断这是一个拐点。例II.C.13举个例子，函数 () ，这个函数的图像如图II.C.11 图II.C.11寻找函数最大最小值的第一步是令一阶导数为零。求一阶导数得到：。令它等于0，求得x3。图像指出如果我们将x限制在正数上，那么这将是最小值。如果考虑所有的x的值，那么函数将没有最小值。对于x的很小的负值而言，函数值将非常负函数值将为负无穷，就是说是负的而且数值很大。在正的定义域上的最小值就是所知的局部最小值。在这个特定的例子里是没有全局最小值的。总结一下，求极值点的方法如下：1. 找到驻点，即导数为0的点。2. 将驻点划归到最大值、最小值、拐点三种中的一种里面。一种安全的为驻点分类的方法是考察一阶导数的行为（一阶导数测试法），但是二阶导测试法发也很有用。一阶导数测试法：x30函数形状 表中第三行的图形显示该函数在0这一点有极小值二阶导数测试法：再次求导得到，求其在驻点的值。如果值为正，那么驻点为（局部）最小值点如果值为负，那么驻点为局部最大值点。如果值为零，那么二阶导数测试法失效。注意到：如果二阶导数的值为零，那么驻点并不必然是拐点（例如，考虑在x=0这点。所以对函数，有,并且II.C.7.2 多元函数的最大最小值一个多元函数的驻点，是所有偏导数为零的点。驻点可以是极大值点也可以是极小值点也可以是鞍点驻点可以是局部最大值点也可以是局部最小值点也可以是鞍点。鞍点是至少在一个方向上为最大值点，在至少一个方向上为最小值点。鞍点是一个例子，第二个是山坳，这里函数是一个有两个方向变量的函数（如经度和纬维度），函数值为高度。一个极小值可能是一个强极小值一个局部最小值可能是一个强局部最小值（一个碗形盆的底部），或者可能是弱的（一个水槽形的水平底部）。类似的，极大值点也有强弱之分局部最大值点也有强弱之分。为了确定驻点的类型，二阶偏导数Hessian矩阵是需要的（见II.C.5.1）。对照一元函数的情况，如果在驻点上，二阶偏导数的Hessian矩阵是正定的（见II.D.3.2），那么我们的到一个极小值那么我们的到一个（局部）最小值，如果是负定的，那么我们得到一个极大值那么我们得到一个（局部）最大值。如果既不是正定的也不是负定的，那么我们将无法确定，它可能是极大值它可能是局部最大值，也可能是极小值也可能是局部最小值，也可能为鞍点。我们需要检验梯度变化来确定类型。二元的情况是比较容易形像化的二元的情况是比较容易形象化的，因为函数值可以通过高度来表示，而位置可以通过两个变量如经度维度来确定而位置可以通过两个变量如经度纬度来确定。考虑这样一个函数。它有2个一阶偏导数，四个二阶偏导数。他们是：，注意到在两个变量的情况下，这里有三种类型的驻点，极大值局部最大值，局部最极小值，鞍点。后者像山路上的高点山峰在两边，山谷在前后。强极值点的条件如下强局部最值点的条件如下：极大值局部最大值：；0； 弱极值的条件弱局部最值的条件，除了允许山峰以外也允许山脊，或者允许盆地底部也允许山谷底部，将和，分别改为和。II.C.7.3 约束最优化约束极值：拉格朗日乘数法在金融和商务中有许多例子，需要在一个约束条件下求最大最小值。例如，在投资组合管理中，我们经常希望知道在一个要求的预期回报下的最小风险。在约束最优化中我们用一种叫做拉格朗日乘数子法的方法。假设我们需要对目标函数，在约束条件 注意当约束条件是不等式而不是等式的时候 情况更为复杂。这种情况由KuhnTuc