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文档简介
第三节幂级数 一 函数项级数的一般概念二 幂级数及其收敛性三 幂级数的运算四 小结练习题 1 20 3 20 一 函数项级数的一般概念 1 定义 2 20 3 20 2 收敛点与收敛域 3 20 3 20 函数项级数的部分和 余项 x在收敛域上 注意 函数项级数在某点x的收敛问题 实质上是数项级数的收敛问题 3 和函数 定义域是 4 20 3 20 二 幂级数及其收敛性 1 定义 2 收敛性 5 20 3 20 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 6 20 3 20 推论 7 20 3 20 定义 正数R称为幂级数的收敛半径 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域为以下几个区间之一 8 20 3 20 证明 9 20 3 20 由比值审敛法 10 20 3 20 定理证毕 11 20 3 20 例2求下列幂级数的收敛域 解 该级数收敛 该级数发散 12 20 3 20 13 20 3 20 发散 收敛 故收敛域为 0 1 14 20 3 20 解 缺少偶次幂的项 级数收敛 15 20 3 20 级数发散 级数发散 级数发散 原级数的收敛域为 16 20 3 20 三 幂级数的运算 1 代数运算性质 1 加减法 其中 17 20 3 20 2 乘法 其中 18 20 3 20 3 除法 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 2 和函数的分析运算性质 19 20 3 20 收敛半径不变 20 20 3 20 收敛半径不变 21 20 3 20 解 两边积分得 22 20 3 20 23 20 3 20 解 24 20 3 20 25 20 3 20 解 收敛区间 1 1 26 20 3 20 常用已知和函数的幂级数 27 20 3 20 四 小结 2 幂级数的收敛性 收敛半径R 3 幂级数的运算 分析运算性质 1 函数项级数的概念 28 20 3 20 思考题 幂级数逐项求导后 收敛半径不变 那么它的收敛域是否也不变 29 20 3 20 思考题解答 不一定 例 它们的收敛半径都是1 但它们的收敛域各是 30 20 3
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