圆周角定理及其推论.pptx

圆周角 沪科版九年级下册 夏店中心校刘真宝 一 复习引入 1 圆心角的定义 在同圆 或等圆 中 如果圆心角 弧 弦有一组量相等 那么它们所对应的其余两个量都分别相等 答 顶点在圆心的角叫圆心角 2 上节课我们学习了一个反映圆心角 弧 弦三个量之间关系的一个结论 这个结论是什么 如下图 同学们能找到圆心角吗 它具有什么样的特征 顶点在圆心 两边与圆相交的角叫做圆心角 今天我们要学习圆中的另一种特殊的角 它的名称叫做圆周角 4 二 新授 1 导入 圆周角究竟什么样的角是圆周角呢 像图 3 中的角就叫做圆周角 而图 2 4 5 中的角都不是圆周角 同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角 顶点在圆上 两边与圆相交的角叫做圆周角 4 圆周角 O 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 ABC是圆周角 2 圆周角定义 思考 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1 一段弧上所对的圆周角的个数有多少个 2 同弧所对的圆周角的度数是否发生变化 3 同弧上的圆周角与圆心角有什么关系 结论 1 一段弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2 通过度量 我们可以发现 同弧所对的圆周角是没有变化的 3 通过度量 我们可以得出 同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面 我们通过逻辑证明来说明 同弧所对的圆周角的度数没有变化 并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 为了解决这个问题 我们先探究同一段弧所对的圆心角和圆周角之间有什么关系 O 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角有什么关系 类比圆心角探知圆周角 圆周角和圆心角的关系 如图 观察圆周角 ABC与圆心角 AOC 它们的大小有什么关系 注意 圆心角与圆周角的位置关系 1 首先考虑一种特殊情况 当圆心 O 在圆周角 ABC 的一边 BC 上时圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系 AOC是 ABO的外角 AOC B A OA OB A B AOC 2 B 即 ABC AOC 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 2 当圆心 O 在圆周角 ABC 的内部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC D ABD AOD CBD COD 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 D 过点B作直径BD 由1可得 ABC AOC ABD AOD CBD COD 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 3 当圆心 O 在圆周角 ABC 的外部时 圆周角 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样 探究 有关圆周角的度数 1 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度 2 的圆周角所对的弦是否是直径 线段AB是 O的直径 点C是 O上任意一点 除点A B 那么 ACB就是直径AB所对的圆周角 想想看 ACB会是怎么样的角 为什么呢 证明 因为OA OB OC 所以 AOC BOC都是等腰三角形 所以 OAC OCA OBC OCB 又 OAC OBC ACB 180 所以 ACB OCA OCB 90 因此 不管点C在 O上何处 除点A B ACB总等于90 结论 半圆或直径所对的圆周角都相等 都等于90 直角 反过来也是成立的 即90 的圆周角所对的弦是圆的直径 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 推论 B C1 O C2 C3 4 圆周角定理 例1如图24 38 AB为 O的直径 弦CD交AB于点P ACD 60 ADC 70 求 APC的度数 解连接BC 则 ACB 90 DCB ACB ACD 90 60 30 又 BAD DCB 30 APC BAD ADC 30 70 100 如果 A 44 则 BOC 如果 BOC 44 则 A 如果 A 35 则 BDC 如图 点E F G H在圆上 你会找出几对相等的圆周角 试一试 判断 1 等弧所对的圆周角相等 2 相等的圆周角所对的弧也相等 3 90 的角所对的弦是直径 4 同弦所对的圆周角相等 X X X 巩固练习 三 小结 通过本节课的