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1 课程内容 绪论第1章离散时间信号第2章离散时间系统第3章离散时间信号的傅里叶变换第4章快速傅里叶变换第5章离散时间系统的相位 结构与逆系统第6章无限冲激响应数字滤波器设计第7章有限冲激响应数字滤波器设计 2 数字信号 3 1 1典型离散信号1 2离散信号的运算1 3信号的分类1 4噪声1 5信号空间的基本概念1 6确定性信号的相关函数 第1章离散时间信号 4 1 单位抽样信号 Kronecker函数 1 1典型离散信号 单位冲激信号 Drac函数 5 2 脉冲串序列 1 1典型离散信号 冲激串序列 6 将用来替换 离散序列 连续信号抽样的数学模型 离散信号 7 则 3 单位阶跃序列 8 4 正弦序列 Hz rad s 抽样频率 Hz 圆 周 频率 9 例 则 令 则 则周期 正弦序列的周期 10 6 指数序列 欧拉公式 5 复正弦序列 11 1 移位 整个序列移动 1 2离散信号的运算 的基本运算包括 移位 相加 相乘及变换 12 n时刻的值 过去时刻的值 将来时刻的值 的单位延迟 是 x n 中各时间值的含义 13 n时刻的值 过去时刻的值 将来时刻的值 的单位延迟 是 序列在某一时刻k的值可以用的延迟表示 的抽取性质 14 2 两个信号的相加与相乘 3 信号时间尺度的变化 两个序列有相同的长度和相同的时间范围 M为正整数 信号的抽取 L为正整数 信号的插值 时间反转 15 4 信号的分解 分解的基向量 分解系数 信号的离散表示 若分解系数两两正交 则该分解为x的正交展开或正交分解 16 5 信号的变换 信号分解的逆过程 分解的基向量 分解系数 信号的离散表示 给定x及分解的基向量的情况下 求解分解系数 或者理解为将信号由一个域映射到另一个域的运算 常用的变换有傅里叶变换 离散余弦变换 希尔伯特变换 小波变换等 17 1 连续 离散 根据时间变量的取值 2 周期 非周期 3 确定性信号 随机信号 1 3信号的分类 4 能量信号 功率信号 信号能量的定义式则为能量信号 均匀分布的随机变量 18 信号功率的定义式则为功率信号 周期信号的功率 周期信号 准周期信号和随机信号 由于其时间无限 故这些信号都不是能量信号 通常是功率信号 存在于有限时间区间内的确定性信号有可能是能量信号 19 相关是研究两个信号之间 或一个信号与其移位后的相关性 是信号分析 检测与处理的重要工具 1 6确定性信号的相关函数 这两种相关系数可用来描述两个信号之间的相似程度 又称为归一化的相关系数 20 之间的互相关函数 之间的互相关函数 自相关函数 21 自相关函数 实序列 复序列 性质 22 功率信号相关函数的定义 自相关 互相关 对于能量信号 自相关 对于功率信号 23 1 若是周期的 周期是 则 2 若是实信号 则 3 取最大值 为信号功率 若是复信号 则 功率信号自相关函数的性质 24 同频率余弦 例1 6 2 25 例 相关函数的应用 信号周期性的检测 其中u n 为白噪声 s n 周期为M 主要集中在m 0处有值 功率信号的自相关函数在取最大值 为 26 2 1离散时间系统的基本概念2 2离散时间系统的输入输出关系2 3Z变换的定义2 4Z变换的收敛域2 5Z变换的性质2 6离散时间系统的转移函数2 7离散时间系统的频率响应2 8离散时间系统的极零分析2 9滤波的基本概念2 10IIR系统的信号流图与结构2 11与本章内容有关的MATLAB文件 第2章离散时间系统 27 连续系统的描述 微分方程 卷积 转移函数 Laplace变换 频率响应 Fourier变换 2 1离散时间系统 离散系统的描述 差分方程 卷积 转移函数 Z变换 频率响应 DTFT DFT 28 2 1离散时间系统 当 时 输出称为单位抽样响应 记为 描述了离散系统的固有特征 是重要的物理参数 29 例 当前时刻 差分方程 前一时刻 一阶自回归差分方程的信号流图 单位抽样响应为无限长的系统 IIR系统 InfiniteImpulseResponse 即 30 例 三点加权平均器 三点平均器 三点加权平均器信号流图 n为其它值 单位抽样响应为有限长的系统 FIR系统 finiteImpulseResponse 31 1 线性Linear 含意 该系统满足迭加原理 离散系统的几个重要定义 32 2 移不变性 同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变 Linear ShiftInvariantSystem LSI 离散时间系统 本书中简称LSI系统 含意 移不变性质保证对给定的输入 系统的输出和输入施加的时间无关 33 例2 1 5 1 判断系统是否线性 移不变 系统是线性的 则 所以系统对的输出是 对的输出是 而 由于 所以 系统不具备移不变性 34 3 因果性Causality 因果系统 非因果系统 含意 一个实际的物理系统 其在任意时刻的输出只决定于当前时刻的输入 过去时刻的输入 而和将来时刻的输入无关 因果性的判别方法 35 4 稳定性Stability 若 有 含意 输入有界 输出也有界 定义 不是稳定的 36 线性移不变离散时间系统的一般形式 2 2离散时间系统的输入输出关系 37 将作如下形式的分解 输入输出 38 称LSI系统的线性卷积 离散时间系统的输入输出关系 计算步骤 1 将换成 得 2 将翻转 得 3 将移动 得 4 将和对应相乘 相加 系统稳定的充要条件 即 39 系统稳定的充要条件 系统稳定 即 充分性 必要性 因系统稳定 则y 0 有界 40 Laplace变换 2 3Z变换的定义 离散信号x n 的z变换定义为 如何由时域 信号x t 的拉氏变换得到离散信号的z变换 复频域 频域 Fourier变换 双边z变换指n从 到 单边z变换 X z 指n从0到 41 令 得到 42 离散时间序列的傅里叶变换 DTFT 当 43 2 4Z变换的收敛域 收敛域ROC除外 还取决于的取值 是的模 所以ROC具有 圆 或 环 的形状 44 例2 4 1 使Z变换的分母为0的点 称为Z变换的极点 45 例2 4 2 46 1 ROC 3 ROC 有限长离散时间信号Z变换的收敛域 即 即 2 ROC 即 47 ROC 右边无限长序列 ROC 左边无限长序列 ROC 双边无限长序列 ROC ROC 48 例2 4 5 思考 什么信号的z变换的收敛域是整个z平面 单位抽样信号的z变换的收敛域是整个z平面 49 1 线性 2 3Z变换的性质 例 50 表示单位延迟 2 时移性质 1 双边Z变换 2 单边Z变换 51 3 为因果序列 则 3 指数加权性质 4 线性加权性质 52 5 时域卷积性质 53 一些典型信号的Z变换 54 1 2 3 2 6离散系统的转移函数 55 4 系统为FIR系统 则h n 为无限长 系统为IIR系统 56 5 以上关系是离散时间系统中的基本关系 它们从不同的角度描述了系统的性质 它们彼此之间可以互相转换 1 2 3 4 57 令 则 2 7离散时间系统的频率响应 系统的频率响应 系统的输出包含和输入同频率的正弦 但受到一复函数的调制 该复函数即系统的频率响应 频率响应是系统单位抽样响应的傅里叶变换 在系统的分析和综合中起到了重要的作用 频率响应进一步可分成幅频响应和相频响应 系统的特征函数 58 周期性 实部与虚部 模与角度 幅频响应与相频响应 离散时间系统频率响应性质 偶函数 奇函数 59 使分子多项式 0的的Zeros 零点 使分母多项式 0的的Poles 极点 2 8离散时间系统的极零分析 60 1 稳定性 判别条件1 稳定性 判别条件2 所有极点都在单位圆内 极零分析的应用 证明 61 2 由极零图估计系统的频率响应 62 例2 8 1由极零分析大致画出系统的频率响应 63 2 9滤波的基本概念 目的 去除噪声 或不需要的成分 原理 信号通过线性系统输入 输出的关系 滤波器的截至频率 线性滤波 64 实现本系统需要一个加法器 个乘法器 个延迟单元 2 10IIR系统的结构及信号流图 能否改造 从而节约延迟单元 可以 65 则 及 66 IIR系统的直接实现形式 假设N M 实现本系统需要两个加法器 个乘法器 个延迟单元 67 级联实现 假设N M N为偶数 当N为奇数时 有 N 1 2个子系统 68 并联实现 69 3 1连续时间信号的傅立叶变换3 2离散时间信号的傅立叶变换3 3连续时间信号的抽样3 4离散时间周期信号的傅立叶级数3 5离散时间傅立叶变换DFT3 6用DFT计算线性卷积3 7与DFT有关的几个问题 第3章离散时间信号的傅立叶变换 70 1 傅立叶级数 3 1连续信号的傅立叶变换 71 FSFT对应连续周期信号对应连续非周期信号离散连续谐波幅度频谱密度 2 连续非周期信号的傅立叶变换 信号能量有限 FT 3 傅立叶级数与傅立叶变换的区别与联系 72 由 得 73 周期信号 可以实现傅里叶级数分解 属功率信号 非周期信号 可以实现傅里叶变换 属于能量信号 周期信号能否实现傅里叶变换 在经典数学的意义上是不可实现的 但在引入了奇异函数后可以实现 74 因此 时域连续的周期信号的傅里叶变换在频率域是离散的 非周期的 因此 时域连续的非周期信号的傅里叶变换在频率域是连续的 非周期的 当为周期信号时 有 当为非周期信号时 有 75 2 DTFT 可以看作是将在频域展开为傅立叶级数 傅立叶系数即是 3 2离散时间信号的傅里叶变换 DTFT 定义 1 是的连续周期函数 周期为 3 是在单位圆上取值时的变换 76 DTFT的反变换 由可知的幅度谱 相位谱及能量谱 从而实现离散信号的频域分析 77 线性则 移位则 3 奇偶 虚实性质 DTFT的性质 78 如果是实信号 即 如果是实偶信号 即 则是的实函数 频谱为实数 相频响应恒为0 2020 3 20 79 80 4 时域卷积定理 则 5 频域卷积定理 则 81 6 时域相关定理 互相关 自相关 82 7 Parseval s定理 信号时域的总能量等于频域的总能量 能量谱 83 8 Wiener Khinchin定理 对功率信号x n 其自相关函数定义为 定义 为功率信号的功率谱 功率信号的自相关函数和其功率谱是一对傅立叶变换 信号的总功率则为 84 例3 2 3 3 2 4 一些典型信号的DTFT 85 3 2 4 一些典型信号的DTFT 86 3 3抽样定理 信号抽样的数学模型 87 3 3抽样定理 信号抽样的数学模型 88 3 3抽样定理 信号抽样的数学模型 89 周期延拓 无穷迭加 迭加后可能产生的影响 90 或 要求 若保证 相等 则 可保留 全部信息 抽样定理 91 如何保证 1 做频谱分析 了解的行为 2 使用抗混叠滤波器 限制的范围 奈奎斯特频率 折叠频率 如果抽样频率不满足要求 将出现频谱的混叠 将无法恢复原信号 92 工程上 使用D A转换器 在满足抽样定理的情况下 的一个周期即等于 因此 可截取之 理论上 导出如下 信号的重建 93 其余为零 插值公式 94 如何对作频谱分析 因为是离散的 故频谱是周期的 因为是周期的 故频谱是离散的 即 的频谱应是离散的 且是周期的 但 是功率信号 不能直接作DTFT 3 4离散时间周期信号的傅立叶级数 DFS 周期序列 95 记 DFS 96 即 是周期的 周期是 间隔是 是周期的 周期是 间隔是 各取一个周期 记 DFT 97 DFT与DTFT及Z变换之关系 98 DFT的性质 1 线性 2 正交性 99 3 循环移位 100 为实序列 4 奇 偶 虚 实对称性质 为复序列 101 5 Parseval s定理 6 循环卷积 线性卷积 都是点序列 当和DFT联系起来时 注意到都是以为周期的周期序列 移位时有移出也有移入 循环卷积定义为 102 3 6用DFT计算线性卷积 非周期信号 能否用DFT来实现线性卷积呢 103 104 一 分辨率分辨率问题是信号处理中的基本问题 包括频率分辨率和时间分辨率 3 7与DFT有关的几个问题 频率分辨率定义为 将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力 频率分辨率 一是取决于信号的长度 二是取决于频谱分析的算法 时间和频率是描述信号的两个主要物理量 它们通过傅里叶变换相联系 105 设长度为 则的分辨率 主瓣宽度反比于时间长度 106 对DTFT 设抽样间隔为 则 主瓣宽度反比于时间长度 107 用计算机分析和处理信号时 信号总是有限长 其长度即是矩形窗的宽度 要想分辨出处的两个频谱 数据长度必须满足 108 对DFT 此为相邻两点的频率间隔 也是最大分辨 细胞 若要分辨出处的两个谱峰 必须大于 109 例 试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度 在本例中 最小的 由 有 即要想分辨出这三个谱峰 数据的长度至少要大于1000 从DFT的角度看若令 则 110 作业 P1493 19 111 第4章快速傅立叶变换 4 1概述4 2时间抽取 DIT 基2FFT算法4 3频率抽取 DIF 基2FFT算法 112 4 1概述 113 解决耗时的乘法问题是将数字信号处理理论用于实际的关键问题 特别是30年前 计算机的速度相当慢 因此 很多学者对解决DFT的快速计算问题产生了极大的兴趣 DSP的正式开端 CooleyJW TukeyJW AnalgorithmforthemachinecomputationofcomplexFourierseries MathematicsofComputation 1965 pp297 301 FFT的思路 如何充分利用这些关系 114 4 2时间抽取基2算法 问题是如何分最有效 可以对时间变量分 DIT 也可对频率变量分 DIF FFT的核心思想是 令 115 所需运算量 复数乘法次数复数加法次数 注意 因子的位置 输入序列的顺序 码位倒置 4 116 因子的位置 012 M 1 0000000041000011201001026110011310011004510110153011110671111117 码位倒置 117 4 3频率抽取基2算法 令 118 119 4 各是N 2点的DFT 继续分解 直到两点DFT 输入正序 输出倒序 注意因子的位置 120 第5章离散时间系统的相位 结构与逆系统 5 1离散时间系统的相频响应5 2FIR系统的线性相位特性5 3具有线性相位系统的FIR系统的零点分布5 4全通系统与最小相位系统5 5谱分解5 6FIR系统的结构 121 5 1离散时间系统的相频响应 相频响应 如果 称其为线性相位 对输入 有 假定 所以 输出是输入的简单移位 移位的大小正比于 因此不会发生失真 幅频响应 122 5 2FIR系统的线性相位 对FIR系统 如果保证 则该系统具有线性相位 上述对称有四种情况 第一类FIR系统 偶对称 奇对称 第二类FIR系统 123 令 相位增益 只要保证滤波器的系数偶对称 该滤波器必然具有线性相位 124 2 为偶数 令 则 第二类FIR系统 3 为奇数 125 4 为偶数 126 所以 的零点也是的零点 反之亦然 5 3具有线性相位系统的零点分布 令 则 线性相位系统二者相等 127 5 4全通系统和最小相位系统 如果一个因果系统的幅频响应对所有的频率都等于1 或一个常数 即 则称系统为全通系统 最简单的全通系统举例 全通系统 一阶全通系统 镜像对称 128 一个因果 稳定的离散系统 其极点必须在单位圆内 但对零点没有限制 如果 1 所有的零点都在单位圆内 最小相位系统2 所有的零点都在单位圆外 最大相位系统 3 单位圆内 外都有零点 混合相位系统 最小相位系统 在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器集合中 最小相位滤波器具有最小的相位偏移 最小相位系统的性质 129 2 在所有具有相同幅频响应的离散系统中 最小相位系统的具有最小的延迟 所以 最小相位系统的单位抽样响应又称最小延迟序列 最小相位系统的性质 例 以下系统具有相同的幅频响应 试判断 哪一个是最小相位系统 最大相位系统 混合相位系统 最小相位系统 最大相位系统 混合相位系统 130 第6章无限冲激响应数字滤波器设计 6 1滤波器的基本概念6 2模拟低通滤波器的设计6 3模拟高通 带通及带阻滤波器的设计6 4用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器6 5双线性Z变换法设计IIR数字低通滤波器6 6数字高通 带通及带阻滤波器的设计 131 滤波原理 6 1滤波器的基本概念 132 滤波器的技术要求 低通 单位 dB 若幅度在下降到0 707 则 若幅度在下降到0 01 归一化为1 133 高通 带通 带阻 134 1 给定所设计的滤波器的技术指标 LP HP BP BS 2 设计出一个 使其逼近给定的技术要求 数字滤波器设计的一般步骤 135 给定数字滤波器的技术指标 得到数字低通 高通 带通 带阻滤波器 得到模拟低通 高通 带通 带阻滤波器 转换成模拟低通滤波器的技术指标 设计模拟低通滤波器G S 转换成模拟滤波器的技术指标 数字IIR滤波器设计的具体步骤 136 6 2模拟低通滤波器的设计 一 概述 将要求的衰减和模拟滤波器的幅平方特性联系起来 137 将按不同的原则简化 可得到不同形式的滤波器 即不同的表达式 1 巴特沃思 Butterworth 滤波器 2 切比雪夫I型 Chebyshev I 滤波器 138 1 将实际频率归一化 得归一化幅平方特性 2 求和 由 有 二 Butterworth滤波器的设计 139 对Butterworth滤波器 通常 所以 3 确定 140 6 则 141 4 巴特沃思滤波器幅频响应的特点 142 例 给定技术指标 设计模拟低通Butterworth滤波器 143 6 4用冲激响应不变法设计IIRDF 给定数字滤波器的技术指标 转换成模拟滤波器的技术指标 转换成模拟低通滤波器的技术指标 设计模拟低通滤波器 得到模拟高通 带通 带阻滤波器 得到数字高通 带通 带阻滤波器 144 6 5用双线性Z变换法设计IIRDF 放弃上一节的线性转换关系 找新的关系 令 双线性z变换 非线性关系 但是一对一的转换 145 S