数学北师大版九年级下册二次函数表达式的确定方法.doc

3、求二次函数关系式一选择题（共8小题）1如果二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么（）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c02如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）Aa0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，c03二次函数y=（a1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（）Aa1Ba1Ca0Da04如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）Aa0Bb0Cc0Db24ac05抛物线y=（m1）x2mxm2+1的图象过原点，则m的值为（）A1B0C1D16（已知点（2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（）A1B1C1D7将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（）Ay=（x+1）2+1By=（x+1）21Cy=（x1）2+1Dy=（x1）218将抛物线y=（x1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）Ay=（x+1）2By=（x3）2Cy=（x1）2+2Dy=（x1）22二填空题（共6小题）9已知抛物线经过点（5，3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是_10如果二次函数y=（m1）x2+5x+m21的图象经过原点，那么m=_11若点（2，a），（3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a_b（填“”“”或“=”）12已知二次函数y=x2+2x7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是_13抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为_14如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为_三解答题（共8小题）15抛物线y=ax2+bx+c（a0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x3）21，且平移后的抛物线经过点A（2，1）（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求BPM的面积16在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（2，2）与B（1，5）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标17如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式18已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式19已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求ABC的面积20如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标21如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长注：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，）22如图，抛物线y=ax2+bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标26.2.3求二次函数关系式参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1如果二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0考点：二次函数图象与系数的关系分析：首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此得出答案即可解答：解：图象开口方向向上，a0；图象的对称轴在x轴的正半轴上，0，a0，b0；图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，c0；a0，b0，c0故选：C点评：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想2如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）Aa0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，c0考点：二次函数图象与系数的关系分析：首先根据开口方向确定a的符号，再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此解决问题解答：解：图象开口方向向上，a0；图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，c0；a0，c0故选：C点评：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想3二次函数y=（a1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（）Aa1Ba1Ca0Da0考点：二次函数图象与系数的关系分析：由图示知，该抛物线的开口方向向下，则系数a10，据此可求a的取值范围解答：解：如图，抛物线的开口方向向下，则a10，解得a1故选：B点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小4如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）Aa0Bb0Cc0Db24ac0考点：二次函数图象与系数的关系分析：首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b24ac0解答：解：由图象的开口向上可得a开口向上，由x=0，可得b0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b24ac0，所以B不正确故选：B点评：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想5抛物线y=（m1）x2mxm2+1的图象过原点，则m的值为（）A1B0C1D1考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义专题：计算题分析：根据二次函数图象上点的坐标特征得到m2+1=0，解得m1=1，m2=1，然后根据二次函数的定义确定m的值解答：解：把（0，0）代入y=（m1）x2mxm2+1得m2+1=0，解得m1=1，m2=1，而m10，所以m=1故选D点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的定义6已知点（2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（）A1B1C1D考点：二次函数图象上点的坐标特征专题：计算题分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，把点（2，4）代入y=ax2中得到a的方程，然后解方程即可解答：解：点（2，4）在抛物线y=ax2上，a（2）2=4，a=1故选B点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式7将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（）Ay=（x+1）2+1By=（x+1）21Cy=（x1）2+1Dy=（x1）21考点：二次函数图象与几何变换分析：先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，1），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，1），所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x1）21故选：D点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式8将抛物线y=（x1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）Ay=（x+1）2By=（x3）2Cy=（x1）2+2Dy=（x1）22考点：二次函数图象与几何变换专题：几何变换分析：先根据二次函数的性质得到抛物线y=（x1）2的顶点坐标为（1，0），再利用点平移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式解答：解：抛物线y=（x1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（1，0），所以平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2故选A点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式二填空题（共6小题）9已知抛物线经过点（5，3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是（3，3）考点：二次函数图象上点的坐标特征分析：根据二次函数的对称性求解即可解答：解：点（5，3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，3），抛物线一定经过另一点的坐标是（3，3）故答案为：（3，3）点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性10如果二次函数y=（m1）x2+5x+m21的图象经过原点，那么m=1考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义分析：把原点坐标代入函数解析式求解即可得到m的值，再根据二次项系数不等于0求出m1解答：解：二次函数y=（m1）x2+5x+m21的图象经过原点，m21=0，解得m=1，函数为二次函数，m10，解得m1，所以，m=1故答案为：1点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义，要注意二次项系数不等于011若点（2，a），（3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：ab（填“”“”或“=”）考点：二次函数图象上点的坐标特征分析：根据二次函数图象上点的坐标特征计算出自变量为2和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可解答：解：点（2，a），（3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象，a=x2+2x+m=44+m=4，b=x2+2x+m=96+m=3+m，ab故答案为点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式12已知二次函数y=x2+2x7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是5或3考点：二次函数图象上点的坐标特征分析：把函数值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可解答：解：y=8时，x2+2x7=8，整理得，x2+2x15=0，解得x1=5，x2=3，所以，对应的自变量x的值是5或3故答案为：5或3点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键13抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为y=（x+2）2+2考点：二次函数图象与几何变换分析：已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，2），则平移后顶点坐标为（2，2），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式解答：解：y=x2+2顶点坐标为（0，2），向左平移2个单位后顶点坐标为（2，2），所得新抛物线的表达式为y=（x+2）2+2故答案为：y=（x+2）2+2点评：本题考查了二次函数图象与几何变换关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式14如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为y=3（x2）2+2考点：二次函数图象与几何变换分析：平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式解答：解：原抛物线解析式为y=3x2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，2），平移后的抛物线的表达式为：y=3（x2）2+2故答案为：y=3（x2）2+2点评：本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式三解答题（共8小题）15抛物线y=ax2+bx+c（a0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x3）21，且平移后的抛物线经过点A（2，1）（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求BPM的面积考点：二次函数图象与几何变换分析：（1）把点A代入平移后的抛物线y=a（x3）21来求a的值；（2）根据平移前、后的函数解析式，然后求出B、P、M三点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出BPM的面积解答：解：（1）把点A（2，1）代入y=a（x3）21，得1=a（23）21，整理，得1=a1，解得 a=2则平移后的抛物线解析式为：y=2（x3）21；（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=2（x3）21，则M（3，0）抛物线y=ax2+bx+c（a0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x3）21，平移前的抛物线解析式为：y=2（x1）21P（1，1）令x=0，则y=1故B（0，1），BM=SBPM=BMyP=1=点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力16在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（2，2）与B（1，5）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质分析：（1）把原点O、A（2，2）与B（1，5）三点分别代入函数解析式，求得a、b、c的数值得出函数解析式即可；（2）把函数解析式化为顶点式，得出顶点坐标即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（2，2）与B（1，5）三点，解得：，抛物线的表达式为y=2x23x（2）y=2x23x=y=2（x+）2+，抛物线的顶点坐标为（，）点评：此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用配方法求得顶点坐标17如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式考点：待定系数法求二次函数解析式分析：（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这一二次函数解析式解答：解：（1）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），OC=AB=5，点C的坐标为（0，5）；（2）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，把A（1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：a=，b=；所以这个二次函数的解析式为：y=x2+x+5点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，同时还考查了方程组的解法等知识18已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式考点：待定系数法求二次函数解析式分析：根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再把（0，1），代入求解即可解答：解：抛物线的顶点坐标是（8，9），设抛物线的解析式为y=a（x8）2+9，把（0，1），代入得1=64a+9，解得a=，抛物线的解析式为y=（x8）2+9点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式19已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求ABC的面积考点：待定系数法求二次函数解析式分析：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，即可得出抛物线的表达式y=x25x+6； （2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解即可解答：解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=5，所以抛物线的表达式y=x25x+6； （2）抛物线的表达式y=x25x+6； A（2，0），B（3，0），C（0，6），SABC=16=3点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式20如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值专题：计算题分析：根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式，找出函数图象最低点坐标即可解答：解：设二次函数解析式为y=a（x2）2+k，把A（1，0），C（0，6）代入得：，解得：，则二次函数解析式为y=2（x2）22=2x28x+6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为（2，2）点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键21如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长注：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，）考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质专题：计算题分析：（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾