清华大学计算固体力学第一次课件_绪论.ppt

计算固体力学第1章绪论 全面介绍非线性有限元的前沿性内容 使学习者能进入这一领域的前沿 应用非线性有限元方法求解弹塑性材料 几何大变形和接触碰撞这些非线性力学的主要问题 增强工程结构中非线性计算和虚拟仿真的能力 提高非线性有限元的教学和科研水平 计算固体力学课程体系 非线性有限元的内容 三场变分原理 弱形式 速度 变形率 应力一种格式 Lagrangian格式 TL UL ALE TL 完全的L格式UL 更新的L格式两种解法 隐式和显式求解器隐式 Newton Raphson迭代显式 中心差分三种非线性 材料 几何 接触材料 弹塑性 超弹性 粘弹性几何 Jaumann率 弧长法 接触 Lagrange乘子 罚函数 计算固体力学课程体系 绪论 非线性有限元的基本概念 发展历史 工程应用 标记方法 网格表述和偏微分方程的分类 2 一维L有限元 TL和UL格式的控制方程 E有限元 E公式的控制方程 弱形式与强形式 4 连续介质力学 变形和运动 应力 应变的度量 守恒方程 框架不变性 4 L网格 UL有限元离散 编制程序 旋转公式 4 材料本构模型 一维弹性 非线性弹性 如次弹性和超弹性 一维塑性 多轴塑性 超弹 塑性 橡胶和泡沫模型 粘弹性 蠕变和松弛等 经验本构模型 如J C方程等 应变硬化和软化 4 求解方法 应力更新算法 平衡解答和隐式时间积分 N R求解等 显示时间积分 中心差分等 波的传播问题 4 教学内容 计算固体力学课程体系 7 稳定性 稳定性和连续化 平滑性 数值稳定性 材料稳定性 屈曲和后屈曲 弧长法 模态分析 4 8 ALE有限元 ALE连续介质力学 公式推导 率形式 弱形式 路径相关材料 网格更新方法 Petrov Galerkin公式的动量方程 离散方程的线性化 整体ALE公式 4 有限元单元性能 分片试验 完备性和再造条件 Hu Washizu多场变分原理 多场弱形式 4 单元稳定性 体积自锁 剪切自锁 减积分 不完全积分 沙漏模式 4 梁 壳和连续体单元 理论分析 基于连续体 CB 的梁 4 基于连续体 CB 的壳 连续体单元 膜单元的性能 假设应变单元 一点积分单元 4 接触和冲击 接触界面方程 主从接触 从从接触 多点约束 约束方程 摩擦模型 罚函数 库仑等 接触弱形式 有限元离散 4 计算固体力学课程体系 14 断裂力学的有限元计算 K场计算 J积分 T积分 动态裂纹扩展计算 能量平衡 节点力释放和XFEM 4 15 流固弱耦合算法 2 16 材料本构计算 陈震 4 计算固体力学课程体系 程序训练 1 显式有限元程序 DYFRAC 大变形板壳结构分析计算2 隐式有限元程序 ABAQUS Standard 开发UMAT或UEL接口程序 完成一个结构的完整计算分析过程 成绩 1 期末考试 60 2 程序实践 20 3 课堂作业 20 绪论 虚拟科学与工程有限元的发展和相关著作有限元软件的发展非线性有限元的分类非线性有限元的应用网格和标记偏微分方程分类 1虚拟科学与工程 Simulation basedEngineeringandScience SBES 人类需要借助各种工具来增强 延伸和扩大自己认识世界的能力 虚拟科学与工程 VirtualScienceandEngineering 正是用高科技手段构造出一种人工环境 帮助工程师和科学家创造一个时域和空域可变的虚拟世界 使人们能够在这个虚拟世界中纵观古今 瞬扶四海 实现从必然王国到自由王国的认识过程 CAD CAE CAM 伴随着计算机硬件和软件的发展而发展 适应工业与科技的需求 在国家十一 五发展规划中 提出自主创新 集成创新 引进吸收再创新 发展CAE技术 是工业和科技提高创新能力的手段之一 1虚拟科学与工程 纵观古今 瞬扶四海 源于我国晋代的儒学家陆机 261 303 在他的 文赋 中谈及文学创作的思维活动时说 应 观古今于须臾 扶四海于一瞬 1虚拟科学与工程 实现从必然王国到自由王国的认识过程 源于毛泽东 1893 1976 的 实践论 虚拟科学与工程是指对科学现象 工程 产品的功能 性能和运行行为实施计算机模拟的方法体系 尤其对 难以或耗资昂贵的科学现象的物理实验 如受控热核反应 核聚变 环境污染等 重大工程 复杂产品的功能 性能和极端行为的模拟仿真 科学本质的显现 如溃坝 车辆 船舶或飞机的碰撞等 1虚拟科学与工程 虚拟科学与工程是迅速发展中的计算力学 计算数学 计算物理 计算材料科学以及相关的计算工程科学 与现代计算机科学和技术相结合 而形成的一种综合性 集成化 网络化与智能化的信息处理方法 技术和产品 科学与工程计算 科学与工程仿真 虚拟科学与工程 1虚拟科学与工程 力学的分支计算力学 发展了有限元 有限差分等理论和方法 为虚拟科学与工程仿真提供了工具 有限元分析是虚拟设计的基本组成部分 它提供了更快捷和低成本的方式评估设计的概念和细节 因此 人们越来越多地应用仿真的方法代替样品原型的试验 VirtualPrototyping 1虚拟科学与工程 1997年9月 钱学森院士已经预见到了虚拟工程与科学在未来世纪的重要性 他在为清华大学工程力学系建系40周年的贺信中写道 随着力学计算能力的提高 用力学理论解决设计问题成为主要途径 而试验手段成为次要的了 由此展望21世纪 力学加电子计算机将成为工程设计的主要手段 就连工程型号研制也只用电子计算机加形象显示 都是虚的 不是实的 所以称为 虚拟型号研制 VirtualPrototyping 最后就是实物生产了 1虚拟科学与工程 1Simulation basedEngineeringandScience SBES 2005年6月 美国总统信息技术咨询委员会的报告中指出 计算科学已成为科学领导地位 经济竞争力和国家安全的关键 并发出 美国政府还没有充分认识到计算科学的潜力 的警告 2006年2月 美国国家科学基金会 NSF 发表报告 基于仿真的工程与科学 Simulation basedEngineeringandScience SBES 指出 SBES采用模拟和计算机仿真的原理和方法以获取和应用知识并造福人类 应成为工程与科学领域国家优先发展项目 1Simulation basedEngineeringandScience SBES Thepromise Advancesinmathematicalmodeling incomputationalalgorithms inthespeedofcomputers andinthescienceandtechnologyofdataintensivecomputinghavebroughtthefieldofcomputersimulationtothethresholdofanewera anerainwhichunprecedentedimprovementsinthehealth security productivity andcompetitivenessofournationmaybepossible Ahostofcriticaltechnologiesareonthehorizonthatcannotbeunderstood developed orutilizedwithoutsimulationmethods TheNSFBRPanelReportonSBES J T Oden 2007 1Simulation basedEngineeringandScience SBES Science CambridgeInternationalDictionaryofEnglish Knowledgeobtainedfromthesystematicstudyofthestructureandbehaviorofthephysicaluniverse involvingexperimentationandmeasurementandthedevelopmentofthetheoriestodescribetheresultsoftheseactivities Knowledgeobtainedintwoways Observationandtheory 1Simulation basedEngineeringandScience SBES Engineering istheapplicationofsciencetotheneedsofhumanity Thisisaccomplishedthroughtheapplicationofscientificandmathematicalprinciples andpracticalexperiencetothedesignofusefulobjectsorprocesses EngineeringScience isthesystematicacquisitionofknowledgeforthepurposeofapplyingittothesolutionofproblemseffectingtheneedsandwell beingofhumankind SBES engineeringscienceandsciencethatemploystheprinciplesandmethodsofmodelingandcomputersimulationtoacquireandapplyknowledgeforthebenefitofhumankind 2有限元的发展和相关著作 2有限元的发展和相关著作 涉及非线性有限元分析的著作包括 Zienkiewicz和Taylor 1967 1991 2000 庄茁 岑松译 有限元方法 第5版 第2卷 固体力学 清华大学出版社 2006Oden 1972 是固体和结构非线性有限元分析的开拓 Kleiber 1989 Crisfield 1991 ZhongZH 1993 Belytschko和Hughes 1983 Hughes 1987 Cook Malkus和Plesha 1989 Bathe 1996 Bonet和Wood 1997 Simo和Hughes 1998 2 1著作 徐芝纶 弹性力学问题的有限单元法 水利电力出版社 1972谢贻权 何福保编著 弹性和塑性力学中的有限单元法 机械工业出版社 1981徐次达 华伯浩 固体力学有限元理论 方法及程序 水利电力出版社 1983王勖成 邵敏 有限单元法基本原理和数值方法 清华大学出版社 1987 1995王勖成 有限单元法 清华大学出版社 2003郭乙木 陶伟明 庄茁 线性与非线性有限元及应用 机械工业出版社 2003 NonlinearFiniteElementsforContinuaandStructures T Belytschko W K Liu B Moran JohnWiley Sons Ltd 2000庄茁等译 连续体和结构的非线性有限元 清华大学出版社 2002 2有限元的发展和相关著作 有限元的创立与科学的发展和工业界需求相关RayW Clough 毕业于MIT1949 Berkeley土木工程学院任教1952 Boeing暑期研究 detal三角形机翼振动分析 应用传统梁理论和数学计算 基于一维梁模型的机翼结构挠度计算结果与小比例机翼模型试验数据相差甚远 工作失败 1953 计算小三角形板的刚度性能 将一片片汇合成机翼 directstiffnessmethod 直接刚度法 有限元的雏形 机翼结构挠度计算结果与小比例模型试验数据吻合 1955 JohnH Argyris 矩形单元1956 第一篇有限元文章发表 2有限元的发展和相关著作 2 2发展历史 通过波音研究组的工作和Turner Clough Martin和Topp 1956 的著名文章 使线性有限元分析得以闻名 不久后 在许多大学和研究所里 工程师们开始将方法扩展至非线性 小位移的静态问题 他们非常清楚有限元方法的前途 它提供了处理复杂形状真实问题的可能性 2有限元的发展和相关著作 我们不仅关注发表的文章 而是更关注软件的发展 在这个信息 计算机时代 象许多其它方面的进步一样 在有限元分析中 软件常常比文献更好地代表了最新的进展 有限元程序两条脉络 隐式 ABAQUS Standard Nastran ANSYS MARC显式 ABAQUS Explicit Dytran Dyna3D 2有限元的发展和相关著作 3有限元软件的发展 在20世纪60年代 由于EdWilson发布了他的第一个程序 这种激情终于被点燃了 这些程序的第一代没有名字 在遍布世界的许多实验室里 通过改进和扩展这些早期在Berkeley开发的软件 工程师们扩展了新的用途 带来了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展 SAP 在Berkeley开发的第二代线性程序称之为SAP StructuralAnalysisProgram 之后发展的第一个非线性程序是NONSAP 它具有隐式积分进行平衡求解和瞬时问题求解的功能 3有限元软件的发展 隐式有限元程序 Implicit MARC 1969年 在Brown大学任教的PedroMarcal 为了第一个非线性商业有限元程序进入市场 于建立了一个公司 程序命名为MARC 目前它仍然是主要软件 1999年被MSC公司兼并 MSC MARC ANSYS 大约在同期 JohnSwanson为了核能应用在Westinghouse发展了一个非线性有限元程序 为了使ANSYS程序进入市场 他于1969年离开Westinghouse ANSYS尽管主要是关注非线性材料而非求解完全的非线性问题 它多年来仍垄断了商业非线性有限元软件的舞台 3有限元软件的发展 ABAQUS DavidHibbitt 他与PedroMarcal合作到了1972年 1978年创立了HKS公司 使ABAQUS商用软件进入市场 因为该程序是能够引导研究人员增加用户单元和材料模型 对软件行业带来了实质性的冲击 2005年被法国达索公司 DassaultSystemes 收购 该公司的主要产品有CATIA 2007年更名为Simulia NASTRAN 大型通用有限元软件 TheMacHeal SchwendlerCorporation MSC 1963年创立 主要得到美国航空界赞助 如NASA和FAA 为飞行器验证软件 前处理为PATRAN 3有限元软件的发展 按照美国反垄断法 于2003年将NASTRAN源代码一式二份 分别属于 MSC NASTRAN MSC公司产品 NX NASTRAN UGS公司产品 2007年 SIEMENS收购UGS ADINA J rgenBathe是在EdWilson的指导下在Berkeley获得博士学位的 不久之后开始在MIT任教 这期间他便发布了他的程序 这是NONSAP软件的派生产品 称为ADINA 据说UGS目前正准备收购ADINA 3有限元软件的发展 DOE实验室的工作强烈地影响了早期的显式有限元方法 特别是命名为hydro codes的软件 Wilkins 1964 显式有限元程序 Explicit 3有限元软件的发展 在1964年 Costantino在芝加哥的IIT研究院发展了可能是第一个显式有限元程序 它局限于线性材料和小变形 由带状刚度矩阵乘以节点位移计算内部的节点力 它首先在一台IBM7040系列计算机上运行 花费了数百万美元 其速度远远低于一个megaflop和32000字节RAM 刚度矩阵存储在磁带上 通过观察磁带驱动能够监测计算的过程 当每一步骤完成时 磁带驱动将逆转以便允许阅读刚度矩阵 这些和以后的ControlData机器有类似的性能 如CDC6400和6600 一台CDC6400价值为一千万美元 32k内存和大约一个megaflop的真实速度 3有限元软件的发展 一台CDC6400价值为一千万美元 32k内存和大约一个megaflop的真实速度 3有限元软件的发展 每芯片的晶体管数每过18个月加倍 为什么要发展纳米技术 奔腾 最小元件 130纳米 保持计算机技术的持续高速发展 在1969年 开发了著名的从单元到单元的技术 节点力的计算不必应用刚度矩阵 因此 发展了名为SAMSON的二维有限元程序 它被美国的武器实验室应用了十年 在1972年 该程序功能扩展至结构的完全非线性三维瞬态分析 称为WRECKER 3有限元软件的发展 这一工作得到美国运输部敢于幻想的计划经理LeeOvenshire的基金资助 他在七十年代初期就预言汽车的碰撞试验可能被仿真所代替 然而 比他所预言的时间稍微提前了一点 在当时进行一个300个单元模型的仿真 对于两千万次模拟需要约30小时机时 花费约3万美元 相当于助理教授三年的工资 LeeOvenshire的计划资助了若干个开拓性的工作 Hughes的接触 冲击 IvorMcIvor的碰撞工作 以及由TedShugar和CarlyWard在PortHueneme的关于人头的模拟研究 3有限元软件的发展 WHAMS 但是 大约在1975年 运输部认为仿真太昂贵 决定所有的基金转向试验方面 使这些研究努力令人痛心的停止下来 在Ford WRECKER勉强维持生存了下一个十年 在Argonne 由Belytschko发展的显式程序被移植应用在核安全工业上 其程序命名为SADCAT和WHAMS WHAMS PFRACTsinghua MPFRAC 3有限元软件的发展 DYNA 显式有限元程序发展的里程碑来自于LawrenceLivermore实验室的JohnHallquist的工作 1975年 John开始他的工作 1976年 他首先发布DYNA程序 他慧眼吸取了前面许多人的成果 并且与Berkeley的研究人员紧密交流合作 包括JerryGoudreau BobTaylor TomHughes和JuanSimo 他之所以成功的部分关键因素是与DaveBenson合作发展了接触 冲击相互作用 和他的令人敬畏的编程效率 以及计算程序DYNA 2D和DYNA 3D的广泛传播 3有限元软件的发展 目前 隐式方法比显式方法的功能增加得更加迅速 对于处理非线性约束 例如接触和摩擦 隐式方法已经有了明显的改进 稀疏迭代求解器也已经成为更加有效的工具 科学与工程分析功能的强健需要两种方法的有效性 因此 在工业和研究中 精通非线性软件的应用要求分析者重视对于非线性有限元方法的理解 能够清楚在分析中许多有兴趣的挑战和机遇 这将是本课程的宗旨 3有限元软件的发展 中国建研院 PKPM 建筑结构分析程序胡平 北 KMAX和钟志华 南 分别开发了研制汽车覆盖件模具的有限元软件梁国平 飞箭软件 大连理工大学 有限元程序郑州机械所 紫瑞软件清华大学 东方 DYFRAC 断裂与强度分析程序 3有限元软件的发展 CAE的发展概况与前景 国内外高性能计算对比分析目前我国与美国研究领域先进的数值仿真相比 在计算机硬件设备和软件开发能力 以及基础研究等方面存在的主要差距有以下几点 1 硬件与软件环境在硬件方面 美国国家实验室装备了峰值速度为136 8万亿次计算机 用于结构分析的计算机浮点运算速度 我国与美国相差2 3个数量级 在软件方面 美国可以同时利用数千个CPU开展并行计算 而我国在结构分析方面有效使用的CPU并行应用数量比美国低1 2个数量级 在并行计算效率方面严重依赖于国外商用软件 2005年 LLNL装备的蓝色基因计算机的并行计算峰值速度达到136 8万亿次 美国完成了武器系统在敌方辐射与爆炸冲击波环境下的仿真 以及武器系统从库存到靶目标的多物理场动力学数值仿真 计算规模达数千万乃至上亿自由度 1992年法国在进行了210次核试验之后 宣布其核武器更新将依靠数值仿真计划来实现 该项目15年总投资210亿欧元 这标志着发达国家在复杂武器工程分析方面已经进入了大规模并行计算时代 参考文献 1 ASCprogramplanFY05 NNSA USA 2002 2003 2 法国原子能委员会 挑战 2003年6 8月刊 CAE的发展概况与前景 美国战略武器储存和管理的挑战是确保突发事件时的攻击力量 CAE的发展概况与前景 2 求解规模美国在结构动力学分析的求解规模已达到数千万自由度 而我国在结构非线性问题分析中的求解规模一般限制在百万自由度量级 与美国相比 自由度数目相差1 2个数量级 这样使得三维数值仿真非线性分析模型的规模较小 对结构的物理内涵和几何细节考虑不够充分 再是大量的仿真分析基于通用商用程序完成 数值仿真方法研究和软件开发的能力不足 没有形成较强的创新能力 CAE的发展概况与前景 基于网络架构的NEST系统平台 CAE的发展概况与前景 硬件技术 上海超级计算中心 曙光4000A系统峰值10 2Tflops 10万亿次 秒 512节点 4 2048CPU内存4256GB 容量95TB CAE的发展概况与前景 清华航院的并行计算机群 985 I期系统峰值0 3万亿次 秒 16节点 2 32CPU 985 II期系统峰值1 0万亿次 秒 64节点 2 128CPU 4非线性有限元的分类 线性分析 外加载荷与系统的响应之间为线性关系 例如线性弹簧 结构的柔度阵 将刚度阵集成并求逆 只需计算一次 通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆 可得到结构对其它载荷情况的线性响应 此外 结构对各种载荷情况的响应 可以用常数放大和 或相互叠加 以确定它对一种全新载荷情况的响应 所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加 或相乘 这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件 4非线性有限元的分类 非线性分析 非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变 所有的物理结果均是非线性的 线性分析只是一种近似 它对设计来说通常已经足够了 但是 对于许多结构包括加工过程的模拟 诸如锻造或者冲压 碰撞分析以及橡胶部件的分析 诸如轮胎或者发动机支座 线性分析是不够的 一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧 4非线性有限元的分类 4非线性有限元的分类 由于刚度依赖于位移 所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移 在非线性隐式分析中 结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆 分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多 在显式分析中 非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的 非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数 因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答 每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解 4非线性有限元的分类 非线性的来源 在结构的力学模拟中有三种 材料非线性边界非线性 接触 几何非线性 4非线性有限元的分类 材料非线性大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力 应变关系 但是在高应变时材料发生屈服 此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的 橡胶材料是一种非线性 可恢复 弹性 响应的材料 材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关 应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式 材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数 4非线性有限元的分类 边界非线性如果边界条件在分析过程中发生变化 就会产生边界非线性问题 悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲 梁端点在接触到障碍物以前 其竖向挠度与载荷成线性关系 如果挠度是小量 当碰到障碍物时梁端点的边界条件发生了突然的变化 阻止了任何进一步的竖向挠度 因此梁的响应将不再是线性的 边界非线性是极度的不连续 当在模拟中发生接触时 结构中的响应在瞬时会发生很大的变化 另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程 在与模具接触前 板材在压力下比较容易发生伸展变形 在与模具接触后 由于边界条件的改变 必须增加压力才能使板材继续成型 4非线性有限元的分类 几何非线性几何非线性发生在位移大小影响到结构响应的情况 由于 大挠度或大转动 突然翻转 Snapthrough 初应力或载荷刚性化 如果端部的挠度较小 可以认为是近似的线性分析 然而 如果端部的挠度较大 结构的形状乃至其刚度都会发生改变 另外 如果载荷不能保持与梁轴垂直 载荷对结构的作用也将发生明显的改变 当悬臂梁挠曲时 载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个沿梁长度方向的分量 这两种效应都会对悬臂梁的非线性响应产生贡献 即 随着梁承受载荷的增加 梁的刚度发生变化 4非线性有限元的分类 不难理解大挠度和大转动对结构承载的方式会产生显著的影响 然而 并不一定位移相对于结构尺寸很大时 几何非线性才显得重要 考虑一块很大的具有小曲率的板在所受压力下的 突然翻转 板的刚度在变形时会产生剧烈的变化 当板突然翻转时 刚度变负 尽管位移的量值相对于板的尺寸很小 但是有明显的几何非线性 必须在模拟中加以考虑 4非线性有限元的分类 几何非线性 刚性悬臂梁值域 平衡条件约束刚度K非线性关系线性关系 4非线性有限元的分类 几何非线性 刚性悬臂柱 平衡条件约束刚度K线性关系非线性关系3个解答 有限元分析 Buckling特征值 eigenvalues 弹性临界 屈曲 载荷特征向量 eigenvectors 屈曲模态 非线性分析包含下列步骤 建立模型 Pre process基本方程的公式离散方程求解方法表述结果 Post process 4非线性有限元的分类 4非线性有限元的分类 非线性有限元基本解决方案 材料非线性 Newton Raphson迭代 隐式 中心差分 R K 显式 边界非线性 接触 约束 连接 摩擦 滑移 Lagrange乘子 罚函数几何非线性 考虑Jaumann率的大变形算法 弧长法 Riks 非线性分析包含几个重要主题 选择近似的方法 如Newton Raphson 选择合适的网格描述 动力学和运动学的描述检验结果和求解过程的稳定性 物理和数值 认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难判断假设的作用和误差的来源 4非线性有限元的分类 5非线性有限元的应用 略 6网格和标记 6网格和标记 非线性有限元分析关联三个领域 线性有限元方法 结构分析矩阵方法的扩展 非线性连续介质力学 数学 包括数值分析 线性代数和泛函 标记方法 矩阵 张量和指标标记 3种标记方法 1 指标标记矢量 一阶张量 指标重复两次为求和 三维问题缺点 公式 程序难以阅读2 张量标记指标不出现 独立于坐标系统 直角 柱 曲线小写黑体字母表示一阶 v 大写表示高阶 E 除外 内部指标缩并 例如线性本构方程 6网格和标记 3 矩阵标记二次项 应变能 6网格和标记 Voigt标记 在有限元编程中 将对称的二阶张量写成列矩阵 我们将它和高阶张量的任何其它换算称为列矩阵Voigt标记 关于转换对称二阶张量到列矩阵的过程称为Voigt规则 动力学Voigt规则 Voigt规则取决于是否一个张量是一个动力学量 诸如应力 或者运动学量 诸如应变 关于动力学张量的Voigt规则 诸如对称张量 二维问题 6网格和标记 Voigt标记 运动学Voigt规则对于二阶张量 运动学张量 诸如应变 也可以在表A1 1中给出 但是 剪切应变 即用不相同指标表示的分量 需要乘以2 因此 关于应变的Voigt规则为张量 Voigt A1 3 6网格和标记 空间坐标 x Eulerian坐标 指一点在空间的位置 材料坐标 X Lagrangian坐标 标记一个材料点 每一个材料点有唯一的材料坐标 一般为在物体初始构形中的空间坐标 当t 0 X x 物体的运动或变形用函数称其为在初始构形与当前构形之间的变换 如运动 逆变换 1 网格描述 2 动力学描述 应力张量和动量方程3 运动学描述 应变度量 6网格和标记 6网格和标记 Lagrangian网格和Eulerian网格描述 6网格和标记 一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻 当材料变形时 蚀刻 和单元 随着变形 一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻 当材料变形时 蚀刻不变形 而材料横穿过网格 6网格和标记 Lagrangian网格 材料点与网格点保持重合 单元随材料变形 适合描述固体与结构的变形 但容易严重扭曲 解决方法 ALE网格 ArbitraryLagrangianEulerian 节点能够有序地任意运动 在边界上的节点保持在边界上运动 内部的节点运动使网格扭曲最小化 7偏微分方程分类 当面对这样的力学问题 引起物体开裂的原因既要考虑到温度的影响 又要考虑到振动的效应 我们会被问到 应该选择哪种类型的偏微分方程 在有限元软件中 可以将各种因素作为输入文件 计算得到解答 然而 当讨论这些结果的合理性时 我们会被问到 哪些因素控制着解答 什么情况下是温度控制 或是振动控制 他们共同控制解答的条件是什么 带着这些问