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应用平面向量基本定理解题举例秭归一中数学组 周宗圣 向量融数、形于一体，具有几何与代数形式的双重身份，因此向量的引入与应用极大地拓宽了解题的思想与方法。其解题方法归纳如下：一.化归思想:将题目已知条件转化成形式，其中、不共线，则.例1：设、为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知+与共线，且+与共线，试问与+是否共线？并证明你的结论.证明：与共线，存在唯一实数，使得= 又+与共线，存在唯一实数，使得= -：-=-,又与不共线，,代入：=-，故与+共线.G二.构造思想：构造某向量在同一组基底下的两种不同表示形式，即（不共线），则 .例2：在ABC中，BD=DC，AE=2EC，求和.解：设，,D是BC的中点，,又AG=GD，,又AE=2EC，,BG=GE，,故 ,故，.总结：用平面向量基本理解题的步骤可概括为：第一步：选择适当的两个不共线向量作为一组基底,第二步：用两种不同的形式表示同一向量(一般要将向量集中到同一三角形中),第三步：利用平面向量基本定理列方程组并求解,第四步：答题.三.待定系数法：构造关于基底的实系数方程组，即若，则，化简求解.例3：如图，与的夹角为120，与夹角为30，试用、表示解：设,化简得.同理可得:.解得：，故.总结：在此解法中，应用了下列推理：.四.巩固练习T1：设点P是ABC内一点，延长CP交边AB于点Q，设，用表示.T2：已知ABC的面积为14cm2，D、E分别是边AB、BC上的点，且AD:DB=BE:EC=2:1，连接AE和CD相交于点P,求APC的面积. T3：平面内有三个向量、，其中，与的夹角为120，与的夹角为60，若=，（、），求+的值.解T1：C、P、Q三点共线，A、Q、B三点共线，设，,又，即,代入得：,即.与不共线， .，P是线段CQ的中点，故.解T2：设，为平面ABC的一组基底，则，,点A、P、E共线，D、P
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