《282解直角三角形》教学设计.doc

教学设计教学课件多媒体素材学习评价扩展资源您现在的位置 教学设计教学课时建议：本小节为新授课，一课时，主要探讨解直角三角形的方法，并会用解直角三角形的知识解决有关的实际问题，具体的教学设计如下：28.2解直角三角形一、教学目标知识技能：借助实际问题，探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形的方法.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数的相关知识解直角三角形，并会用解直角三角形的知识解决有关的实际问题.数学思考：通过用解直角三角形的知识解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力以及应用数学的意识.问题解决：学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.情感态度：通过学习解直角三角形，认识到数形结合的意义和作用，体验数学来源于生活，又服务于生活二、重难点分析教学重点：求解直角三角形的方法；运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数的相关知识解直角三角形.研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本节的直接基础.教学难点：用解直角三角形的知识解决有关的实际问题，渗透数形结合的思想教学中可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另外也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再将数学问题的答案回到实际问题的这种实践-理论-实践的认识过程，这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣.三、学习者学习特征分析学生在初一，初二、以及初三上学年的基础上已经具有一定的分析力，归纳力，根据他们的特点以及年龄特征，利用锐角三角函数和解直角三角形的理论解决生活实际中的问题，既能综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的知识，也为学生提供了更加广阔的探索空间，从而开阔学生的思路，发展学生的思维能力，有效地改变学生的学习方式四、教学过程（一）创设情境，引入新课（多媒体视频引入）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足5075，(如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)？(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1)？这时人是否能够安全使用这个梯子？（二）教师引导学生通过探究以上问题形成解直角三角形的基础知识1.解直角三角形探究1：引言中的问题.（引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量？在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？）探究2：（1）在三角形中共有几个元素？ （2）直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素.在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形.教师引导，学生合作、交流，并总结解直角三角形常用关系：（1）三边之间关系+=(勾股定理)边角之间关系（2）两锐角之间关系A+B=90（3）边角之间的关系sinA=，sinB=；cosA=，cosB=；tanA=，tanB=.教师引导学生利用解直角三角形的基础知识解决问题并能相互解疑例1：在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b=， a=，解这个三角形（解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演）解： tanA=C=2b=例2：在RtABC中， B =35，b=20，解这个三角形（引导学生思考分析完成后，让学生独立完成，在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书）小结：“已知一边一角，如何解直角三角形”教师引导，学生讨论得出结论：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边注意：计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底.2.解直角三角形的应用（让学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言，师生共同解决问题，注意观察图形，数形结合）例3：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6400 km，结果精确到0.1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出POQ(即)解:在上图中，FQ是O的切线，FOQ是直角三角形，弧PQ的长为由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2 009. 6 km.例4：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋离楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在RtABD中，=30，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.解:如图， =30，=60，AD=120，BD=AD tan=120tan30=120=CD=AD tan=120tan60=120=BC=BD+CD=+=277.1答:这栋楼高约为277.1m.例5：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?解:如图, 在RtAPC中,=80cos25800.906=72.48在RtBPC中, B=34.,因此.当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约129.4海里.师生共同总结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案.3.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长，测出相应的仰角，这样就可以算出这段山坡的高度=sin.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度,然后我们再“积零为整”，把,相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容（三）由学生自己提出有关解直角三角形的问题并加以解决利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）1.在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形的方法.2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数的相关知识解直角三角形.3.会用解直角三角形的知识解决有关的实际问题.（五）拓展延伸，布置作业（1）必做题： 在RtABC中，C=90，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是( )（A）. （B）. （C）. （D）.在RtABC中，已知C=90，sinB=，则cosA的值是 ( )（A）. （B）. （C）. （D）.（2）选做题：为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为,则楼房BC的高为()（A）米.（B）米. （C）米. （D）米 .（3）思考题下图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米从A到B、从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角BAE=5，山坡路BC的坡角CBH=12为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得DBI=5(1)求山坡路AB的高度BE(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米? (精确到0O1米)(sin5=00872，cos5=09962,sin12=02079，cos12=09781) 五、学习评价：(一)选择题1在RtABC中,C=90,则下列等式中不正确的是()（A）a=csinA.（B）a=.（C）b=csinB.（D）c=-.2.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为,则楼房BC的高为()（A）30tan米；（B）米； （C）30sin米； （D）米3一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）（A）.（B）. （C）7.（D）14.4如图4，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别是45和30，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB等于（ ）（A）100m.（B） 50m.（C）50m.（D）50（+1）m.5如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（ ）（A）42m. （B）（30+24）m. （C）78m. （D）（30+8）m.(二)填空题6根据直角三角形的_元素（至少有一个边），求出其它所有元素的过程，就是_.7. 在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，那么sinA=_8.在ABC中，C=90，sinA,c=,则a=_9.在ABC，A=90，AB=12，BC=13，则tanB=_，=_.10如下图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是_米11.如上图，A市东偏北60方向有一旅游景点M，在A市东偏北30的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15，则景点M到公路AC的距离MN为_米（结果保留根号）(三)解答题12. 已知等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角A的正弦、余弦、正切值13苏州的虎丘塔塔身倾斜，却经千年而不倒，被誉为“天下第一斜塔”如图，BC是过塔底中心B的铅垂线，AC是塔顶A偏离BC的距离据测量，AC约为2.34米，倾角ABC约为248，求虎丘塔塔身AB的长度（精确到0.1米）第13题 第14题14如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosDAC（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的长15如图，平地上有甲乙两楼，甲楼高15米.已知从甲楼顶测得乙楼底的俯角为30，又测得乙楼顶的仰角为15.求乙楼的高，（tan15=0.2679，精确到0.01）第15题 第16题16如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28m的速度沿着与垂直方向夹角为30的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15，求热气球升空点A与着火点B的距离（结果保留根号，参考数据：sin15=，tan15=2-，tan75=2+）答案与提示(一)选择题1D；2B；3A；4D；5C.(二)填空题6已知两个，解直角三角形 ；7；87；9，30； 103；11200（+1）.(三)解答题12解：如下图，ADBC，CEAB，AB=AC因为ADBC，AB=AC，所以BD=CD=5在直角三角形ABD中，AD=12SABC=ABCE=BCAD，所以13CE=1012，CE=在直角三角形ACE中，AE=在直角三角形ACE中，sinCAE=， cosCAE=， tanCAE=.13解：在RtABC中，AC=2.34米，ABC=248，斜边AB=47.9（米）答：塔身AB长约为47.9米14解：（1）在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=又tanB=cosDACBD=AC（2）sinC=，设AD=12x，AC=13x，CD=5x，BD=13x，则BC=18x，又