第二章+2.2+第一课时　等差数列的概念及通项公式.ppt

2 2等差数列 第一课时等差数列的概念及通项公式 预习全程设计 案例全程导航 训练全程跟踪 1 等差数列的定义如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个叫做等差数列的公差 通常用字母表示 2 同一个常数 常数 d 如何用数学符号语言来表示等差数列的定义 提示 若数列 an 满足an an 1 d n N 且n 2 d为常数 或an 1 an d n N d为常数 则数列 an 为等差数列 2 等差数列的递推公式与通项公式已知等差数列 an 的首项为a1 公差为d 填表 an an 1 a1 n 1 d n m d 已知数列 an an 2 3n 则数列的公差d 提示 当n 2时 an an 1 2 3n 2 3 n 1 3 3 等差中项在由三个数a A b组成的等差数列中 叫做a与b的等差中项 这三个数满足关系式a b A 2A 利用等差数列的通项公式可以解决以下三类问题 1 已知an a1 n d中的任意三个量 可求出第四个量 2 已知数列 an 的通项公式 可以求出等差数列 an 中的任一项 也可以判断某一个数是否是该数列中的项 3 若已知 an 的通项公式是关于n的一次函数或常函数 则可判断 an 是等差数列 已知数列 an 为等差数列 分别根据下列条件写出它的通项公式 1 a3 5 a7 13 2 前三项为a 2a 1 3 a 提示 要写出等差数列的通项公式 只需确定它的首项a1与公差d 然后代入an a1 n 1 d即可 1 等差数列中 已知a5 11 a8 5 求a10 等差数列是一类特殊的数列 是中学数学的一个重要内容 而等差数列的证明问题往往作为一个数列解答题的一部分 是解决其他问题的基础 因此必须熟练掌握证明等差数列的方法 证明一个数列是等差数列常用的方法如下 1 定义法 若an an 1 d 常数 n 2 且n N an 为等差数列 2 等差中项法 若2an an 1 an 1 n 2 且n N an 为等差数列 提示 先将递推公式变换 运用整体代换 求解与等差数列有关的应用性问题 最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型 将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解 某公司经销一种数码产品 2001年可获利200万元 从第二年起 由于市场竞争方面的原因 其利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律 如果公司不开发新产品 也不调整经营策略 从哪一年起 该公司经销这一产品将亏损 提示 建立等差数列的模型 利用通项公式解决问题 解 设从2001年起 第n年的利润为an 则a1 200 an an 1 20 n 2 n N 每年的利润将构成一个等差数列 an 且公差d 20 从而an a1 n 1 d 220 20n 若an 0 则该公司经销这一产品将亏损 由an 220 20n 0 得n 11 即从2012年起 该公司经销此产品将亏损 2 甲虫是行动较快的昆虫之一 下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度 1 你能建立一个模型 表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗 2 利用建立的模型计算 甲虫1min能爬多远 它爬行49cm需要多长时间 已知数列 an a1 a2 1 an an 1 2 n 3 1 判断数列 an 是否为等差数列 说明理由 2 求 an 的通项公式 错解 1 an an 1 2 an an 1 2 为常数 an 是等差数列 2 由上述可知 an 1 2 n 1 2n 1 错因 忽视首项与所有项之间的整体关系 而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误 事实上 数列 an 从第2项起 以后各项组成等差数列 而 an 不是等差数列 an f n 应该表示为 分段函数 型 因此我们在判断等差数列时 要严格按其定义判断