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LTE 信道估计研究报告目 录LTE 信道估计研究报告1图 表31 引言41.1 编写目的41.2 缩写术语42 背景情况52.1 概述52.2 信道估计算法分类52.2.1 盲信道估计52.2.2 非盲信道估计53 OFDM系统导频图案设计63.1 LTE下行导频结构73.1.1 小区专用参考信号映射73.1.2 MBSFN参考信号映射83.2 LTE上行导频结构94 LTE信道估计算法104.1 系统模型114.2 LS算法134.2.1 算法原理134.2.2 算法实现144.3 MMSE算法144.3.1 算法原理144.3.2 算法实现164.4 基于DFT操作的信道估计算法164.4.1 算法原理164.4.2 算法实现174.5 插值理论174.5.1 理想插值174.5.2 多项式内插204.5.3 基于DFT内插245 结论以及建议276 附录296.1 LS（Least Square 最小二）估计理论296.2 MMSE（Minimum Mean Square Error）估计理论29 第 1 页 共 29 页图 表1 引言1.1 编写目的为了达到高速率的数据传输，TD-LTE中使用多幅度、多相位的调制方式（如16QAM、64QAM），为了保证系统的性能不受信道的多径和衰落效应的影响，就需要采用信道估计的方法来跟踪信道响应的变化。信道估计的目的就是估计出信道的时域或频域响应，对接收到的数据进行校正和恢复，以获得相干检测的性能增益。本文研究了几种信道估计方法，并进行了初步的仿真，为研发实现提供支持。1.2 缩写术语ACKAcknowledgement AMCAdaptive Modulation and CodingBER Bit Error RateBLERBLock Error RateBPSKBinary Phase Shift KeyingBSBase StationCQIChannel Quality Indication CDDCyclic Delay DiversityCP Cyclic PrefixCQI Channel Quality IndicatorCRC Cyclic Redundancy CheckDL DownlinkFDD Frequency Division DuplexFFT Fast Fourier TransformFOEFrequency Offset EstimationFSTD Frequency Switched Transmit DiversityHARQ Hybrid Automatic Repeat requestLLRLog Likelihood RatioMCS Modulation and Coding SchemeMIMO Multi-Input Multi-OutputMMSEMinimum Mean Square ErrorOFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiplex AccessPRBPhysical Resource BlockQAMQuadrature Amplitude ModulationQPSKQuadrature Phase Shift KeyingRB Radio BearerRSSCPReceived Signal Sub-Carrier Power RSSIReceived Signal Strength Indication SNRSignal to Noise Ratio SINRSignal to Interference and Noise RatioSTBC Space-Time Block CodedTDDTime-Division DuplexWSSUSWide-Sense Stationary Uncorrelated Scattering第 28 页 共 29 页2 背景情况2.1 概述无线通信系统的性能主要受到无线信道的制约。发射机和接收机之间的传播路径非常复杂，从简单的传播路径到遭受各种复杂的地貌，如建筑物、山脉和森林等影响的传播。此外，无线信道不像有线信道那样固定且可预见，而是具有很大的随机性和时变性，导致接收信号的幅度、相位和频率失真。所有这些问题对接收机的设计提出了很大的挑战。在高速率的接收机中，信道估计是一个很重要的组成部分；对低速率的情况由于信道在一个码元周期内都可能会发生较大的变化（即信道的相干时间小于码元周期），此时信道估计没有太大的意义。对于宽带传输，目前的主流是采用OFDM系统。在OFDM系统中，信道估计器的设计主要有两个问题：一是导频信息的选择，由于无线信道的时变特性，需要接收机不断的对信道进行跟踪，因此导频信息必须不断的发送；二是既有较低的复杂度又有较好的跟踪能力的信道估计器的设计，在确定导频发送方式和信道估计准则条件下，寻找最佳的导频跟踪能力的信道估计器的设计。在实际设计中，导频信息的设计和最佳估计器的设计是相互关联的。在欧洲DVB系统中的草案和HSDPA的提案中，导频信息是以特定的载波和特定的时隙来发送的，并且其发送功率高于一般数据信息的发送功率。2.2 信道估计算法分类OFDM理论的提出是在20世纪60年代Error! Reference source not found.，但是受限制于当时实际的IC技术，通过模拟滤波器技术很难做到在没有子载波间干扰（ICI）的情况下恢复子载波信息，因此在当时这种理论技术只能被抛弃掉了。在1970年的时候，美国人在此将这项技术申请了专利，并且命名为“OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）”Error! Reference source not found.。随着CP在OFDM理论与系统中的引入使得这项技术进一步接近了实际应用，它能够从理论上克服ISI的影响。因此对于OFDM系统而言，解调的时候需要信道信息来进行相干解调，信道信息准确性对于OFDM系统性能则起着至关重要作用。通常信道估计方法按照是否依赖导频的角度来区分大体上可以分为盲信道估计和非盲信道估计。2.2.1 盲信道估计盲信道估计一般利用数据的循环平稳统计特性或者采用子空间分解的办法来进行信道估计，但往往具有收敛速度较慢、对SNR要求较高或者需要对数据进行过采样等缺点Error! Reference source not found.。这些缺点限制了盲信道估计方法在OFDM系统工程上的运用，因此对盲信道估计算法的研究更多的停留在学术层面上。2.2.2 非盲信道估计对非盲的信道估计算法根据导频插在时域还是频域又可分为两类，这样就可以通过已知点上信道响应的采样值来估计出整个信道的完整响应。根据导频分布情况的不同，这一类信道估计方法又有一维和二维之分，前者在时间或者频率的一个方向插入导频信号，后者在时间和频率两个方向插入导频信号，能够更好地反映信道的特征。因为信道一般是时变的（但在一个OFDM块内一般认为信道是不变的），因此导频需要周期或者不间断的发送。这种基于导频辅助的信道估计方法所利用的数学原理比较成熟，算法比较简单，易于工程实现。一般情况下，首先利用某种准则，在导频所处时间或者频率位置估计出该位置的信道响应，然后再通过某种一维或二维的内插方式获得完整的信道响应。本文研究的主要是这种导频辅助的非盲信道估计算法，此类信道估计主要包含两部分的内容：导频图案的选择、信道响应的估计。下面的内容就围绕这两部分的内容而展开。3 OFDM系统导频图案设计在常用的无线通信系统中，信道估计通常使用的都是非盲估计的方法，而非盲信道估计不可缺少的就是导频参考信号。OFDM系统中导频插入方式如图1所示，一般有梳状分布和块状分布及时频二维离散分布。导频信号在时间和频率上的间距需满足时间频率二维采样定理，即 （1）式中分别为信道最大多普勒频移和最大时延扩展；为OFDM符号持续时间；为保护间隔时间。图 1 OFDM系统导频放置示意图在上图所示的三种导频插入方式中，梳状导频由于其在时间上的连续性而在频率上的离散性使其能够在高Doppler变化的快衰落无线信道中正常工作，但是由于在频率域中需要通过插值才能够获取相关非导频点信息，因此对于大时延扩展的高频率选择性信道无法很好支持；块状导频在频域上连续，适用于大时延扩展信道，即高频率选择性无线信道。但是由于其导频在时间上的离散度，它对于Doppler变化所带来的影响是十分敏感的，所以其更适合慢衰落的无线信道。而在通常实际无线通信信道中，Doppler变化和多径时延扩展都是存在的，而系统设计则需要将二者一起考虑，并不能够放弃任何一种特性，同时又考虑到导频在整个系统中的开销，经常会采用时频二维离散分布导频。这种方式需要分别在时域和频域上进行内插，其导频密度结构在时域上优于时域复用方式但是劣于频域复用方式，在频域上则优于频域复用方式劣于时域复用方式，在一定程度上是这两种复用方式的折中，在某些方面优于其二者，在另外一方面则又劣于其二者。总之，对于非特定的极端场景，这种导频模式有着更为广泛的使用范围。3.1 LTE下行导频结构在LTE系统中要求在下行过程中最大可以支持到44模式，因此下行导频设计也必须要把这个问题考虑到，至少也要支持4天线发射模式。LTE物理层定义了3种下行参考信号，包括小区专用的参考信号、MBSFN参考信号和终端专用的参考信号。参考信号在时频域的映射规定了放置导频符号的时频域资源位置，LTE下行参考信号映射采用的是时频二维离散分布。3.1.1 小区专用参考信号映射小区专用参考信号最多支持4个天线端口的发送（port03）。对于前两个天线端口（port01），每个时隙有2个OFDM符号携带参考信号；对于后两个天线端口（port23），每个时隙有1个OFDM符号携带参考信号。在每个OFDM符号内参考信号的频域间隔为6个子载波，采用交错放置的方式，如图2和图3所示。其中第一行为单天线发送时的导频结构，蓝色部分为导频放置点；第二行为2天线发送时导频结构，蓝色为第一根天线导频位置，黄色为第二根导频位置，每根天线的导频密度是一致的；第三行为4天线导频结构，其中蓝色为天线1的导频位置，黄色为天线2的导频位置，绿色为天线3的导频位置，红色为天线4的导频位置，对于天线1和2而言其结构与2天线是一样的，且导频密度未变化，而天线3、4其导频的密度被将为天线1、2的一半。图 2 CRS映射（常规CP）Error! Reference source not found.图 3 CRS映射（扩展CP）Error! Reference source not found.3.1.2 MBSFN参考信号映射MBSFN参考信号采用单天线端口的发送，即port4。MBSFN参考信号映射如图4、5所示，参考信号采用较小的频域间隔，即每2个子载波放置1个参考信号（在MBSFN专用载波采用7.5kHz子载波间隔时，每4个子载波放置1个参考信号）： 图 4 MBSFN RS映射（扩展CP，）Error! Reference source not found. 图 5 MBSFN RS映射（扩展CP，）Error! Reference source not found.3.1.2.1 终端专用的参考信号映射LTE中终端专用的参考信号采用单天线端口的发送，即port5。DRS的映射如图6、图7所示：图 6 DRS映射（常规CP）Error! Reference source not found. 图 7 DRS映射（扩展CP）Error! Reference source not found.3.2 LTE上行导频结构LTE系统在上行中采用的是SC-FDMA的调制技术，导频设计与调制技术和上行帧结构是紧密相关的。在一个时隙中，多个用户以及多根天线场景下，资源分配、导频设计如下面图8中所示。图中对于多个用户之间资源采用Localized模式。多天线场景中，不同天线之间RS信号并不像下行中采用频分复用的方式，而是采用了码分复用的方式，每根天线使用相同根索引的CAZAC序列，但是其之间有不同的初始相位，由于我们都知道CAZAC序列其理想时域与频域自相关特性，采用上述方式是可以完全从理论上进行区分及对各自天线进行信道估计。需要说明的一点是在LTE上行系统中，每个UE是不支持多天线模式（除天线选择，其实质仍是单天线），因此这里的多天线实际就是多个用户，即多用户MIMO（MU-MIMO）。 图 8 LTE上行导频参考信号结构设计根据36.211协议可以知道，不同UE在通过MU-MIMO技术复用时，导频参考信号的关系有如下： （2）其中，为第一个UE(所谓第一个只是一个参照)，即第一根天线发射的导频信号，而第t个UE(天线)的发射信号则有如上式表述， t= 0,1,2,3，而其导频参考信号是通过实现变换的。从上面的介绍我们也发现了LTE上行对于信道估计而言与下行一样，从估计算法上并不会受到天线数目的影响，只是会随着天线数目的增加而需要有办法将其不同天线之间的导频分离出来，在协议中规定了采用码分复用的设计结构。4 LTE信道估计算法信道估计的方法将理论联系到实际通常可以被分为两个部分，一个是对导频所处位置信道响应的估计，这部分主要完成对导频进行相应处理，去除干扰信息项的影响，得到导频处的信道估计；另外一个部分就是插值部分，通过内插得到完整信道响应的估计。我们知道做信道估计的参考信息来自于导频信息，而导频在整个资源中不可能使用太多开销，否则会使整个OFDM通信系统效率大大降低，而没有导频部分的数据所使用的信道信息通常是通过对有导频信息信道估计后的结果进行插值而获取的。下面从系统模型入手，分别介绍几种OFDM系统中常用的非盲信道估计算法和插值算法。4.1 系统模型 图 9 OFDM基带系统模型Error! Reference source not found.如上图所示的OFDM基带系统模型中，xk为发送符号，为信道冲激响应，n.(t)为复高斯白噪声，yk为接收到的符号。发送信号xk为星座调制符号，D/A与A/D组件中认为包含有了理想的低通滤波器，其带宽为1/Ts，其中Ts为采样间隔，TG为循环前缀。将时变无线多径信道建模为多抽头的横向FIR滤波器，信道冲激响应可以)表示为： （3）式中L表示传播路径总数；是第i径上的复脉冲响应；是第i径的归一化时延长度，通常要求0TG，即信道冲激响应完全落入CP保护间隔中。从式（3）看出多径信道的脉冲响应是时限的，按是否是整数，将多径信道分为整数采样信道和非整数采样信道。对进行时域采样的结果为： （4）图10为多径数为3的信道时域响应。从图中可以看出整数采样信道中，所有径的能量只映射到对应于的时域采样点。在非整数采样信道中，各径的能量映射到所有时域采样点上而造成能量泄露现象，并且每条路径上的绝大部分能量泄露在相邻的采样点上。图 10 整数采样和非整数采样信道时域响应系统模型通过N点离散傅里叶变换（N-DFT）可以表示为如下 （5）其中表示循环卷积操作，X=X0, X1, XN-1T，Y=Y0, Y1, YN-1T，n.=n.0, n.1, n.N-1T，均为复高斯独立分布矢量，而h=h0, h1, hN-1T，为确定性循环Sinc等效函数。对公式（5）调整可以得到如下 (6)其中复信道，复零均值高斯噪声矢量为。为了方便，我们将式子改写为如下矩阵模式 (7)其中为X元素的对角化矩阵，矩阵为DFT矩阵，如下 (8)从接收信号中估计出导频处的信道响应，再经过内插算法估计出整个频域的信道响应。这样，发送数据就可通过在每个子载波作简单的复数除法就可以恢复出来，即： （9）4.2 LS算法4.2.1 算法原理LS估计算法在通常情况下也被称为迫零ZF（Zero-Forcing）算法，该算法理论来源于最小二乘（Least Square）估计算法。在附录5.1中给出了一些关于LS估计器的介绍。根据其中公式64，我们可以知道LS估计器为 （10）其中A为已知的模型向量，对应式（7）中的X项；x为观测向量对应式中的Y；为待估参数，对应式（7）中的，即频域信道估计值；则信道估计LS估计器的结果应该为 （11）在LTE系统中，X为导频信号，X=X0, X1, XN-1T，Y=Y0, Y1, YN-1T，则。我们需要对LS估计器做的几点说明，在式（7）和公式61都有一个干扰噪声项n和w(n)，在LS估计器估计过程中，我们可以看到对它影响 （12）对于通常的无线通信系统中，作为导频信号的是一个恒幅度的实数或者复值信号，因此相比较而言它对噪声干扰项的统计属性不会有影响。但是由于多径时延产生的频率选择性会使随着不同k索引而不同，因此，我们可以知道对于频率选择性信道，信道估计的MSE（或者信噪比）对于不同频点是不同的。关于待估参数的均方误差MSE（mean square error）可以有如下定义： （13）其中E 表示数学期望。LS估计器并不依赖于信号以及待估参数本身的统计特性，它几乎适用于任何场景，同时它是一个无偏估计器。LS估计器或者说ZF估计器通常是其它估计器的基础，由于算法通过化简后有着非常简单的形式，而其它估计器则可以直接使用LS估计结果做进一步的估计算法操作，我们在后面的相应估计算法都是基于LS估计算法做的进一步研究。4.2.2 算法实现图 11 LS估计算法设计流程在上图中给出了一个LS算法实现流程，其中红色虚框中的为LS估计器，其后紧跟的为插值器，插值的方法和理论将在后面进行阐述。操作流程：对于接收信号，通过本地预先知道的导频参考信号地址索引提取导频信息。将提取后接收导频信息与本地参考导频做乘法，去除导频信息，获取信道信息。该信息即为LS算法所得到的信息。对于导频点的信道信息，根据已知天线数、时频排列关系和规则，进行信道插值，从而获取数据部分信道信息，为信道均衡、MIMO检测等其它模块服务。4.3 MMSE算法4.3.1 算法原理MMSE算法理论上是基于2-D Wiener Filter的设计的，Wiener滤波器设计的理论来源与著名的Wiener-Hopf方程，在已知待估参数是服从高斯分布的时候，干扰项也服从高斯分布时候，Wiener Filter估计器将有着比LS估计器更好的性能。该算法在时域和频域二维内进行处理，得到的信道估计结果可以表示为 （14）其中l为时间索引， ；k为频率索引，；为LS信道估计结果。为2-D Wiener滤波器冲激响应参数。但是在实际中，由于和涉及到时频二维，计算复杂度太大而难以实现，故当系统模型为线性时，常采用一些简化的方法，如LMMSE，只在频域进行一维的维纳滤波，时域通过简单的插值算法来实现。其信道估计可表示为： （15） 其中， 为LS估计器输出结果，为高斯信道加性噪声方差，相关矩阵有如下表示： （16）其中，X为导频信号，正常情况下对于所有X的星座映射有相同概率，因此我们可以用的数学期望代替自己，而且我们知道，式子中的I为单位矩阵。则有下面的式子： （17）其中，为常数，由信号星座映射方式决定。在16QAM模式下，=17/9。这样，该算法归结为如何获得两个未知量：和。SNR的获得方法有：1）通过积累来求信道噪声的方法； 2）通过IFFT来恢复时域信道，对小值的tap求平均的方法。如果存在邻小区干扰，即各个TFU的噪声是不同的，则计算SNR是很困难的。可以通过下述办法来获得：1） 可以在用户接入时，计算CQI的时候保留信道的SNR或者SNIR用于以后OFDM符号MMSE信道估计。2） 如果方法1有困难，可以考虑相邻导频符号对应的导频子载波位置的接收符号相减的平方求平均，即假设一个时隙中有两个导频符号，每个导频符号的导频子载波位置的接收符号是：,其中p表示导频位置, i表示OFDM符号位置。在低速的情况下，认为两个导频符号的信道是恒定的，所以有 （18）当然，上述方法计算出的SNR也只是一种测量估计方法，不是很准确。总之，噪声的估计需要通过积累来获得。频域自相关有两种方法可以近似的求出：1）矩阵的第i行j列的元素为 （19）主要问题归结为求和LS算法相比，MMSE算法信道估计的精度大大提高，但该算法有两大缺点：（1）MMSE算法需要预先知道导频的频域自相关矩阵，这在时变无线信道中非常困难；（2）MMSE方法需要K阶矩阵求逆，当导频子载波数K很大时，运算量很大，使得算法实用性差。4.3.2 算法实现4.4 基于DFT操作的信道估计算法4.4.1 算法原理基于DFT操作信道估计器是通过时频域变换，获取信道信息，然后对其处理，从而实现对信道值的估计。下面介绍其操作流程 首先，通过LS算法（章节4.2）获取第一步信道估计的结果。根据式（11）我们可以知道 (19)其中k为向量中索引，如为向量Y中的第k个元素；而，分别为同一个OFDM符号不同频域索引k中的元素。需要注意的一点对于后面处理，在这里有一点要求就是连续索引的或者之间频率间隔要求一样。对LS估计器输出频域信道向量结果进行IDFT变换处理，有如下 (20)上式是一个时域的结果，它包括时域信道冲激响应和噪声项，而由于矩阵的特性，相比较而言从统计特性上没有任何改变。在LTE系统中一般认为信道冲激响应的长度小于CP的长度，步骤1中循环前缀长度外的时域响应主要是由噪声引起的。为了抑制噪声，提高信道估计本身SNR性能，我们需要进行步骤3的处理。对进行降噪处理。图 12 用于DFT信道估计器时域信道等效模型图12中给出一般的时域信道模型。从图中可以知道，只有序列前面的一些数据与最后的一些数据有效，其它则应该全部为零。如果信道有效径部分（图12中前面部分和结尾部分）的索引集合为（数量个数为），则我们可以令中有效长度外部分为零，即抑制信道有效部分以外所有的噪声项。则有下式： （21）对序列进行DFT操作，得到的频域结果。 （22）注：如果在步骤3中没有插值操作，则与、有相同长度，否则为插值后的长度。在上述整个过程中，我们都是假设为整数（正如操作3中所提），即多径位置与采样点位置相一致，但是在实际场景中，不可能每个样点都做到如此的一致，而也不再是整数而可能会出现小数部分。由于OFDM在频域上有窗函数效果，所以在时域上每一个样点（径）相当于一个Sinc函数，这些函数只在每一个对应本样点的整数偏移点上为零，而其它本样点的非整数样点上都是有能量扩散的效应，因此当不是整数的时候，在步骤3中就会有的结论，而每个点上被扩散的能量是不一样的，通常是离主样点（径）越近能量越大，而离主样点（径）越远能量越小。而在某些位置后扩散能量可能会被噪声淹没，这就使我们在操作3中集合或者时域窗函数大小的选取这个问题上需要有所考虑。当或者窗函数选取过小，则会有信道能量信息泄露，同时破坏了OFDM的理论正交性。而当或者窗函数选取过大则会使噪声抑制不够，达不到提高信噪比的效果。4.4.2 算法实现4.5 插值理论这一节，我们将讨论如何从导频位置的信道响应恢复出全部信道响应。导频是时频二维分布的，因此这个问题需要从时频二维上来考虑。从处理的空间分类，可以分为一维处理的方法和二维处理的方法。对于一维处理的方法，又可以分成对于频域方向上的信道恢复（一个OFDM符号内各个子载波之间）和时域方向上的信道恢复（同一个子载波上不同的OFDM符号之间）。4.5.1 理想插值通常理想插值也可以认为是上采样（upsampling）过程，即基于已有参考数据信息恢复其参考样点之间信息，而简单讲插值或者上采样又可以分为整数倍插值或上采样和分数倍插值或上采样。我们这里讨论是与信道估计相结合，而在这种情况下通常没有分数倍插值的必要，因此，在这个章节中我们只讨论整数插值。当我们已经获取了导频点信道估计值以后，我们这里以LS结果为例，其它的结果在插值理论处理过程中是相一致的。下面我们将从一些概念上简单介绍理想插值理论的物理含义和一些简单的数学表达方式，而关于具体各种情况下有关性能分析，我们这里不会做太详细分析，如果有兴趣可以参看参考文献Error! Reference source not found.，其中有较为详细解释。图 13 理想插值理论示意图1（原始信号）上图中左图给出一个原始待插值信号，右图为其所对应频域信号，对以我们信道估计部分则就是，其中我们假设信号的采样频率为。需要注意一点，在通常的插值理论是在时域中介绍的（我们仍然遵守这一习惯），而OFDM系统中插值则认为需要在频域中完成，但是其二者并不冲突，我们都知道通过傅里叶变换的性质，时域与频域之间完全可以互换的，它所表示的仅仅是一个数学操作关系。图 14 理想插值理论示意图2（理想插值信号）图14中表示我们希望插值的结果，其中左图中黑线表示原始信号部分，红色部分表示插值部分，对应我们信道估计中则是黑线表示，红线则为数据业务信道所对应频率点，也就是我们需要插值最后获取的信道值，后续过程将用其做信道均衡操作，需要说明的图中仅为插值示意图，并不表示信道情况。上面简单讲述了插值所期望的结果，下面介绍插值操作的流程及时频物理意义。在原有时域参考信号间补零，补零的比例个数与期望插值比例相关，如图15中为原有速率三倍插值。图 15 理想插值理论示意图3（补零的意义）我们可以看到图15左图中蓝色点为补零点，黑色则为原始信号，而右图为其对应补零前后频域信号，黑色部分为原始信号谱，而蓝色与黑色共同组成补零后的谱。我们会发现补零在频域上就是谱信号复制，同时采样带宽也被扩展到（）。需要说明的是这里没有考虑功率归一化的问题，也就是说补零后频域谱幅度要按比例小于补零前谱（补零没有增加信号能量）。使补零后信号通过理想低通滤波器。从频域角度的理解是相对比较容易的，在图15的右图中我们期望的谱只有黑色部分，只要通过某种方式将蓝色部分滤除掉就可以了。由此最通用的方法就是设计理想的Nyquist滤波器（如图16右上红色部分）来滤除无用的信号。图 16 理想插值理论示意图4（经过理想LPF的效果）图16中左上图为通过理想Nyquist滤波器后的频域信号，其采样速率我们看到仍然保持在，而下面两幅图为上面两图的对应时域信号，在前面我们也已经见到过了。下面就是Nyquist滤波器的设计，这个在常见的信号处理书籍中都能够见到，有如下 （23）图 17 Nyquist滤波器（=3为例）其中为插值倍数（只考虑整数倍）；为滤波器系数索引；M为原始信号在滤波器中同时处理的长度；为滤波器长度。其中式子中有两种表述，第二种为第一种的时间移位，其最终物理含义是一样的。而时域滤波器卷积操作则可以可写为 （24）原始信号带宽有自己特殊性的时候，有些插值滤波器也会有特殊考虑，比如有些信号的带宽远远小于，所以我们的Nyquist滤波器的截止带也可以根据其信号带宽做特殊设计，也就说不再像图16左上图中红色形状，而通带带宽要小于红色区间。4.5.2 多项式内插理想的Nyquist滤波器有着很好的理想性能，但是由于需要大量的乘法操作，同时有卷积过程使得其复杂度明显非常高，所以为了节省资源，提出了很多简化的方法。不同的内插算法，对信道估计的性能有较大的影响。而时域方向上的信道估计恢复主要有三种类型：基于内插的算法、基于判决反馈的跟踪估计算法和基于判决反馈和LMS算法的跟踪方法。由导频位置的信道响应恢复全部信道响应，最自然的想法就是利用内插算法，内插出各个导频位置之间的信道响应。事实上，由于信道响应在相邻符号、子载波之间具有很强的相关性，内插算法可以很好地工作。由于内插算法的通用性，不光可以在频域方向上做内插，还可以在时域方向上做内插，甚至还可以在时频二维空间上做二维内插。由于实现上简便，一维内插更多地在工程上使用。对于一维内插来说，时域方向上的内插算法和频域方向上的内插算法是一样的。拉格朗日内插（Lagrange）是最为常用的内插算法，在工程上也得到了很广泛的应用。拉格朗日内插的公式为：其中，是内插器的输入信号，是对应于采样时刻的采样值。是内插器的输出，对应于采样时刻的信号值。这样，根据连续输入的M个已知信号采样值（分别对应于，k=（0,1,M-1）时刻），就可以计算出任意时刻上的信号值。M是参与一次内插运算的采样点个数，通常称为拉格朗日内插的阶数。对于OFDM的信道估计，我们以频域方向上的内插为例，假设导频符号为等间隔分布并且间隔距离为d,则拉格朗日内插可以表示成：其中，是由第n个OFDM符号上的所有导频子载波组成的集合。是导频位置上的信道响应。代表取不大于X的最大整数。对应于不同的M，是不同的拉格朗日内插算法。常用的拉格朗日内插算法为一阶线性内插、二阶抛物线内插（Parabolic）和三阶Cubic内插。当M=1时，拉格朗日内插可以转化成一阶线性内插估计公式：可见，在一阶线性内插中，只需要两个复数乘法和一个复数加法，都是常数且满足。所以一阶线性内插具有很简单的结构，在实际工程中得到了最为广泛的应用。 上图给出了线性插值和理想插值时域响应比较，其中红色点为理想插值，蓝色点为线性插值点。图中很清楚显示出其二者之间差异，从时域中更多的显示是其二者差异，造成这种差异的原因从频域角度更能够被直观理解，下面我们给出其两种插值器在频域上的响应。图 线性插值与理想插值时域响应比较图 线性插值与理想插值频域响应比较上图中给出了线性插值和理想插值的频域响应，从图我们可以很清楚的看到，理想的Nyquist滤波器插值方法可以很好的保留带内信号，同时抑制带外噪声，但是对于线性插值的方法则会对带内信号有一定程度的抑制，尤其是对带内的高频部分抑制是尤其严重，这也就告诉我们如果线性插值对插值原始信号频域属性是有一些要求的，希望其只有低频信息，只有这样在使用线性插值时候才能够很好的保留原始信号的属性。对应在我们OFDM系统频域信道估计来开，只有在多径时延扩展不是很大的时候，使用线性插值才会有不太大的性能损失。当M=2时，拉格朗日内插可以转化成二阶Parabolic内插估计公式：其中，Kmax定义为最大的导频子载波位置。公式中需要满足条件。当M=3时，拉格朗日内插可以转化成三阶Cubic内插估计公式：在Cubic内插中，每次内插计算需要四个相邻的导频位置的信道估计，条件ljKmax和ljd确保Cubic内插只对夹在四个导频中间的那些位置进行进行内插计算。上面提到的三种基于拉格朗日内插的信道估计算法，都是利用了多项式内插的原理（实际上，拉格朗日内插就是多项式内插）。下面，我们将继续讨论另外一种基于多项式拟合的内插算法，并将它与拉格朗日内插比较。相邻子载波上的信道响应是具有相关特性的，我们可以将这种相关特性表示成多项式的形式，假设采用三阶一元多项式的表示方式：为了对信道相应进行拟合，需要确定A,B,C,D四个参数。已知四个相邻的导频位置的信道响应，A,B,C,D的最大似然解为：则：确定了参数A,B,C,D，对于范围内的导频位置，就可以利用上面的公式计算相应的信道响应。前面讨论的拉格朗日内插和多项式拟合内插都是多项式内插，为了研究它们的性能，我们分析它们的频率响应，如下图所示。图 多项式内插的频率响应从图中可以看出，不论是拉格朗日内插还是多项式拟合内插，它们的频率响应都可以看作是一个低通滤波器的形式。根据上图，可见Cubic内插和三阶多项式拟合内插具有完全一样的性能。根据上图可以解释为什么高阶多项式内插比低阶多项式内插具有更好的性能：低通滤波器的主瓣平坦度。平坦度越高，内插器带来的带内衰减就越小。从图中可以看出，一阶线性内插的带内平坦度最差；二阶Parabolic内插的带内平坦度好一些；而Cubic内插和三阶多项式拟合内插具有最好的带内平坦度，所以可以获得最好的内插性能。除了主瓣宽度，主瓣与旁瓣之间的阻带宽度也是影响性能的一个重要因素。阻带宽度越大，内插器抑制带外镜像谱的能力就越强。一阶线性内插的阻带宽度最小；Cubic内插和三阶多项式拟合内插的阻带宽度最大；二阶Parabolic的阻带宽度介于前二者之间。主瓣的衰减速度。衰减速度越快，内插器抑制带外镜像谱的能力也就越强。可见，一阶线性内插的主瓣衰减速度最慢；而Cubic内插和三阶多项式拟合内插的主瓣衰减速度最快。虽然多项式内插的阶数越高，内插的性能越好，但是当阶数大于3时，内插性能的提高就非常有限了，并且内插器的复杂度将会大大增加。因此，在实际的工程应用中，线性内插（结构最简单）和Cubic内插（具有较好的性能和适中的实现复杂度）的应用最为广泛。4.5.3 基于DFT内插4.5.3.1 基本的DFT内插DFT不仅可以用于提高导频位置上的信道估计性能，基于DFT的内插器也可以用来进行全部信道响应的恢复。基本的基于DFT内插的信道估计框图如下图所示。图 基本的基于DFT内插的OFDM信道估计首先，对导频位置上的信道响应作IFFT变换，得到信道的时域冲击响应。如果导频的个数大于信道冲击响应的采样长度，在的高频部分插零，然后再通过一个N点的FFT，就可以内插得到全部信道频域响应。和低通滤波内插算法类似，基于DFT内插的信道估计算法的前提是导频的结构必须是等间隔的。和低通滤波内插算法比较，DFT内插也是一个等效的低通滤波器，并且这个低通滤波器具有理想的低通特性，似乎应该具有理想的性能。实际上，信道冲击响应的采样为：是第个多径的包络值；是第个多径的延迟时间。当信道的多径延迟不是整数倍采样间隔时，由于sinc函数的拓展特性，信道时域冲击响应实际上是无限长度的，在频域上会造成频谱泄漏。也就是说，经过IDFT后得到的会有很大的误差。此外，内插器的结构和输入信号没有关系，这样在均方误差的意义上来说也不是最优的。4.5.3.2 频域加窗型DFT内插（这个可以考虑是否能申请专利？需要查查清华大学申请了没有）我们可以对基本的基于DFT内插的基本内插结构进行改进。首先对内插器的输入作限带处理，消除由于Sinc函数造成的频谱泄漏。这种限带处理可以通过在频域上加窗函数来实现。其次，根据信道的长度，当信道的长度（保护间隔长度）小于导频个数M时，只保留