初中数学学案编写方法.doc

初中数学学案培训材料与编写方案成都市龙泉驿区教育研究培训中心 王富英第一部分 学案设计的基本理论一、 学案及其设计的概念 1. 学案的概念学案，是以学生的学为出发点，把学习的内容、目标、方法以及教师指导等要素有机地融入到学习过程之中而编写的一种引导和帮助学生自主学习、探究知识、主动发展的方案这个定义具有以下含义：第一，学案是以学生的“学”为出发点和归宿，其着眼点在于学生学什么和如何学，所追求的是让学生学会学习、主动发展，体现了“以学生发展为本”的教学理念第二，学案即是学生的学业与进程的结合，是对学习内容的安排与学习过程的规划；又是学习预设与生成的结合，是各种课程资源的整合因此，学案具有课程的属性，是一种学的课程第三，学案中既有学生自主学习的活动过程，也有教师对学生学习的要求和学法指导，是学生的学与教师的教的合一第四，学案将学生的学习带入到一个有效的探究发现过程之中，为学生问题意识的形成和创新能力的培养构建了一个良好的平台第五，学案的主要目的是更加有效的引导和帮助学生进行自主学习，它将教师的指导以“有形的文字”融合到学生的学习过程之中，为学生的主动发展提供了一个有效的通道学案致力于建立一种“学的课程”，所要解决的核心问题是“学什么”与“怎么学”学案既是一种教与学的课程资源，也是一种引导和帮助学生自主学习的方案；是教师用以帮助学生掌握教材内容的支架，是培养学生自主学习、探究能力和建构知识能力的一种重要工具与媒介，是教师主导取向的接受学习和学生自主取向的探究式学习的取中和平衡的产物，是沟通学与教的桥梁，是教与学的最佳结合点一份完整的、高质量的学案，需有两种相互融合的要素组成，一是显性要素，主要是指那些可以言明的、表述在学案之中的内容；二是隐性要素，主要是指那些默会的、起指导作用的思想和理念. （1）显性要素：目标要素；背景要素；知识要素；活动要素；问题要素； 学法要素.（2）隐性要素：思想要素；能力要素；对话要素；评价要素：对学习的评价、为学习的评价、学习内评价. 详见,王新民，王富英，谭竹著.数学学案及其设计【M】. 北京：科学出版社，2011:10-302.学案设计的概念学案设计是教师为了有效的改进学生的学习，促进学生主动和谐的发展，在教学理论与学习理论的指导下，在认真分析学情，深入钻研教材、整合各种学习资源的基础上，以学生的学为出发点，对学习目标、学习内容、学习过程、学法指导、学习评价等内容进行系统研究与规划，制定高效学习方案的过程由此可知，要进行有效的学案设计，首先，深入钻研教材和各种学习资料，并将其进行有机整合；其次，在学习教学理论和学习理论的指导下进行编写；第三，认真分析学情 ，以学生的学为出发点；第四，系统的分析研究，统筹规划各方面内容 参考文献 【1】 王富英，王新民. 数学学案及其设计J. 数学教育学报，2009,18(1):71-74 【2】 王新民，王富英，谭竹. 数学学案及其设计M.北京：科学出版社，2011:10-30,75. （二） 学案的主要栏目及设计【学习课题】【学习目标】【学习重点】【学习过程】【学习评价】【学习链接】1.学习课题的设计要求每课时要注明章节题目.格式： 第章 第 课时，节 （学习内容的题目）案例1： 七年级上 第二章 第一课时 第二章 有理数 第一节 有理数的概念 111 有理数的概念 2.【学习目标】的设计要求【学习目标】是写给学生的，是给学生指出学习的方向和目标要求，不要用教案中教学目标的语言.如不要用“提高学生的”、“培养学生的”之类的语言进行设计，而要用学生明确的、易懂的，可测的行为动词，如“能举例说出的含义”，“会运用公式解答问题”等，而且目标的设计要体现三维目标，不能只有知识技能目标.案例2： 一元二次方程的概念的【学习目标】 1. 能举例说明一元二次方程的含义与特征并能运用概念解题；2. 能从方程的解的概念和一元一次方程解的概念得出一元二次方程的解的概念并能运用它解题；3. 通过一元二次方程概念和一元二次方程解的概念的学习，认识数学概念的形成过程，体会归纳、演绎与类比的学习方法。3【学习重点】的设计要求重点是由其在知识体系中的地位确定的，具有稳定性，可能还比较好写，但要准确确定需要认真分析教材和研究高考.难点则因学生的基础和能力不同而不同，具有相对性，可能不一定把握准确.因此，可以只写【学习重点】不写【学习难点】.重点的确定要准确，表述要清楚.它可以是学习目标中的某一个或两个.但重点不要太多.它必须是一节课的核心内容和主要方法.如，案例2 中的学习重点是“正确理解一元二次方程的概念及并能利用概念正确解题 ”参考文献： 王富英. 怎样确定教学的重、难点【J】. 中国数学教育，2010（1-2）:17-18,38.4【学习过程】的设计【学习过程】是学案的主要部分，它包括“学习准备、学习探究、变式练习、学习反思”四个方面“学习过程”的设计一般按知识的发生、发展与形成过程来写为佳，也可以按学习活动的展开过程来写，同时还要根据学习知识的内容来确定.最好是按知识的发生、发展和形成过程并结合学生探究活动进行设计. 教师对学生的学法指导是结合学习内容有机地融入到学习过程之中.如对学法指导的具体设计可用“提示”、“建议”、“注意”、“要求”等指导语，把教师对学生的学习要求与建议、学法指导融入具体的学习内容之中，以引导学生自主学习（1）“学习准备”的设计“学习准备” 有两方面的含义:一是为学习本节内容做好知识、方法、情感和工具上的准备，是为学生顺利进入新课学习做好铺垫和扫清知识、方法上的障碍，并激发学生学习的求奇欲,起到“先行组织者”的作用,为新知识的产生做好铺垫. 二是学会如何进行学习的准备.案例3: 平方差公式的学习准备一、学习准备： 1.学习本节内容需要熟悉“多项式乘多项式”、“幂的乘方”和“积的乘方”的运算法则，学习前可先检查自己是否熟悉这几个法则，若不熟悉可翻到本册教材第32页，18-20页看看；2.同学们在利用多项式乘法方则进行多项式乘多项式的运算时，是否感到有些繁琐？是否渴望有一个公式能很快得出运算结果？学完本节内容后你的这一愿望就基本会如愿以赏了！ “知识准备”的撰写方式： 提问式：提问式就是把节将要用到的知识用提问的形式引导学生去复习.如，案例3的3问. 指导自查式：指导自查式是教师设计时用一些指导用语要求学生去复习相关内容 填空式：这是学习中将要用到的知识用习题填空的形式进行设计.实际上，也可以从这样几个方面展开：明确需要用到的基础知识，你准备好了吗？即方式2，指导自查式，以问题形式梳理相关知识准备，即所谓提问式.“情感准备”的撰写要设身处地地为学生着想，从学生的期盼中提出问题，激发兴趣.例如，案例3的第3问.注意：1. 不是每节课每种课型都有学习准备,例如，复习课的章节的第一节课主要是基础知识的系统整理，既可以不要这个栏目. 2.【学习准备】不是课前预习，不要写成看教材第页至第页，并回答以下问题. 参考文献： 王富英. 学案中“学习准备”的设计J.中学数学教学参考(中旬刊).2010(6)（2）“学习探究”的设计“学习探究”是学习过程设计的核心部分，它含有两方面的含义:一是对学习新知的探究;二是学习如何探究.它具有三种形式：一是阅读探究；二是发现探究；第三是两者的结合.同时,根据不同课型和不同内容又有不同的要求，如“概念的探究”、“公式的探究”、“定理的探究”、“法则的探究”、“解题规律的探究”等.这在后面各种类型的学案设计中将讲述.“学习探究”一般按知识的发生、发展过程进行设计，也可以按探究活动进行设计.学习探究的活动过程中，要根据探究的内容以“观察(阅读)思考”、“归纳概括”等小栏目引导学生进行探究.案例4： 平方差公式的【学习探究】（一）公式的探究阅读探究： 完成教材35页的“做一做”，并仔细观察算式及计算结果，你发现了什么规律？请你用自已的语言叙述你的发现的规律：_.思路启迪：注意观查“做一做”四个计算题中每一个题由哪些部分组成，它们中每个因式的项数、符号有何相同点和不同个点。想一想： 你能推导该公式吗？推导的依据是什么？ 请将你推导的过程写在下面。公式的推导：公式特征的认识 思考：1.公式左右两边各是什么形式？2公式中含有几个字母，这些字母有何特点？（3）“变式练习”的设计 “变式练习是在探究得出新知后,对知识进行巩固运用的设计.变式练习的设计要遵循”循序渐进”的原则,由浅入深,步步深入.设计的形式要多样，题型要多样.变式练习的处理方式有两种:一是在每个例题后的变式练习.二是用题组的形式进行专门的变式练习.若是公式的运用,则可设计三组:公式顺用、公式的逆用、公式的变用和公式的连用；若是命题的运用，则可以变为等价命题、否命题、逆命题、逆否命题等.变的方式可以是变条件、变结论、变形式、变内容、变背景等，还有一从一种形式逐渐变化为另一种形式，以培养学生知识迁移能力和创新能力.案例5：平方差公式的【变式练习】在弄清以上问题后请做例2后的“随堂练习”和以下的练习：用平方差公式计算下列各式：(套用公式了！)（1） (2) (3) (4) (5) (6) 用平方差公式计算下列各式：(位置有变化了！)（1) （2） （3） （4） （5） 填空：(公式反着用了！) （1）（ ）（3x+2y）=(9x2-4y2) (2)（ )( - )=0.04a4- (3) ( + )( )49s2-64t2 化简求值: (连用公式了！)已知x = - 3 ，求 的值（4）“学习反思”的设计“学习反思”有两方面的含义:一是对知识、方法和自我体验与感悟的反思，它属于学习内评价和为学习的评价；二是学会如何反思，进而学会学习。在学案的设计中“学习反思”有两部分内容，一是对某一问题解决后的反思；一类是作为一个栏目对全课的反思.反思的内容主要有两部分：一是解题规律和方法的反思，而是解题策略和学习策略的反思.前者得反思在学案设计中可以用一下提问引导进行:“此题还有其它解法吗？”“解决在此问题用到了那些数学思想方法，这种方法能否用于解决其他问题？”“问题的内在规律是什么？”“特殊形式是什么？一般形式如何？”“逆命题是否成立？”“能否推广？”后者在学案的设计中可以用一下提问引导进行：“自己没有很快找到解题思路的原因是什么？”“自己在解答的过程是否走了弯路？”“自己的解答是否最优？”等.“学习反思”的设计要遵循循序渐进的原则，特别是作为一个栏目的学习反思的设计.刚开始可以帮助写出对全课的反思小结，其后可以采用填空的形式引导学生进行，最后就以提问的形式引导学生反思.但这种方式只能用于对知识的反思.对于学生学习策略与方法的反思一开始就要用提问题的形式引导学生进行，从而教会学生学会反思.案 例5：数学41.3 诱导公式（1）的“学习反思”.【学习反思】（请认真阅读下面的反思小结，并认真体会）（1）本节课我们学习了诱导公式（二）至公式（四）.公式（一）至公式（四）记忆的口诀是 “函数名不变，符号看象限”.请注意口诀的意义.（2）在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤：（3）利用诱导公式（一）至公式（四）可以求出任意角的三角函数值.在解答时关键是要把角变成公式的形式，值得注意的是要注意符号.（4）利用诱导公式（一）至公式（四）求任意角的三角函数的值转化为求锐角的三角函数值，从而体现了划归的数学思想方法.点评：这里给出的是本节课知识学习的学习反思，学习反思还有学习者自己的体验与感悟，学习策略与方法的反思.对于前者，有一个循序渐进的过程，开始阶段可以设计者可以给出完整的反思小结，但要引导学生细细体味，逐渐过渡到让学生自己能进行知识的归类整理总结，从而达到由扶到放，教会学生学会反思的目的.对于后者，只能有学习者自己进行，设计者是不能代替的. 案例6： 一元二次方程的概念一节课“学习反思”。 1.本节课我们学习了那些知识？如何判断一个方程是一元二次方程？ 2.在利用概念解题的过程中用到了那些数学思想方法？5【学习评价】设计要求“学习评价”有两方面的含义：一是对“对学习的评价”、“为学习的评价”和“学习内评价”；二是学习如何评价。在学案的设计中，学习评价主要有“对学习的评价”和“学习内评价”.“学习内评价”主要在解决某一问题后和本课学习要结束时的学习反思中进行.“对学习的评价”主要是课后的“达标检测”，主要目的是检测自己本课的学习是否到达了学习目标的要求.它既可以作为学习者自己对学习的评价，也可以用于教师对学生学习的评价.为了满足不同学生的需要，可以设计两个层次：“自我测评一”和“自我测评二”.这个栏目可以分成几个层次，以满足不同学校和不同学生的需要.案例7： “因式分解应用”解题学习课的【学习评价】【学习评价】自我评价一（体验与感悟）： 1本节课我学习了哪些知识和方法，有何收获与感悟？ 2. 本课题我还有那些问题没有弄清楚？自我测评二（知识技能检测）：1利用分解因式计算：（1） （2）2先分解因式，然后计算求值：（1）已知：，求多项式的值 。（2）已知：，求多项式的值。3 已知：为ABC的三边长，求证：4. 已知多项式有一个因式是，求m的值。6【学习链接】的设计“学习链接”是指结合学习内容提供和介绍相关的学习材料、有关结论，以引导学生去自我检查和课后查阅与阅读，以开阔学生的眼界和视野.“学习链接”分为“问题结论的链接”、“思路与方法的链接”和“学习资源链接”等.前两者主要用于学习探究的过程中，对某一问题的解决.先让学生自己独立思考，探究的结论和解决问题的思路与方法放到学案的最后【学习链接】部分，这样的优点是避免事先告知结论干扰学生的独立探究，当学生实在不能解决或得出解答后再看学习链接告知的答案，既可以起到进行自我评价的作用，也可以起到提示的作用.而“学习资源链接”主要是开阔学生的眼界和视野.，设计时可以直接给出阅读材料，也可以只给参考文献或网站地址.案例8. （北师大版七年级下册 第一章 整式的运算 第一节”平方差公式（1）的【资源链接】 【阅读材料】 “一般”与“特殊” “特殊”与“一般”是对立统一的关系.二者相互依存、相互转化、互为存在的前提条件.“特殊”隐含有“一般”，“一般”包含有“特殊”.也就是说，特殊事务中一定隐藏事物的共有属性，如果我们善于挖掘特殊事物背后所隐含的一般属性，往往可发现事物的普遍规律.因此，它是人们认识事物，研究问题的一种有效的思想方法.在数学学习和研究中，我们经常利用从特殊到一般的认识规律，将特殊问题一般化以发现数学规律和掌握数学规律.如，本课中表现为从“做一做”的四个“特殊”例子归纳概括出“一般”的平方差公式.此外，由“一般”到“特殊”也是我们常用的认识和解决问题的思维方法数学中公式、定理的证明与运用就是由“一般”到“特殊”思维方法.本课中公式的运用就表现为一般到特殊的思想方法.在解答数学问题时，当你面对一个太抽象、条件太一般的问题时，看看能否利用各方面的信息来探讨问题的特殊状况，然后借助一般成立，特殊一定成立；特殊成立，一般不一定成立；特殊不成立，一般一定不成立的逻辑知识，根据问题的形式，往往就能做出问题的解答评析：这是设计者把教材中推导平方差公式所有用到的数学（不只是数学，它具有一般性）探究发现的方法归纳法（由特殊到一般）上升到哲学的层面，就“特殊与一般”的关系编写的一段供学生阅读的材料.使学生在阅读的过程中自觉接受数学文化的洗礼与熏陶.（三）学案设计的原则1目标性原则目标性原则包括两个方面的含义.一是学习过程中各个学习环节与学习内容的设计安排都必须紧紧围绕学习目标进行；二是学习评价的设计要以学习目标为标准.学习目标的设立既要能激发学生的学习需求，明确学习意向，对所学知识内容产生一种期盼的心情，又要能为学生的学习探究过程与学习效果提供一个明确而有效的评估或评价（包括过程性评价与结果性评价）依据和标准.在编制学案时，不论是对教材的理解与挖掘，公式、定理的推导，还是例题和练习题的设计，学生的反思小结，学习评价的设计都应以目标的达成为核心进行组织、安排和设计.学案设计中贯彻这一原则时有以下要求：（1）学习目标要准确具体.由于学习目标的行为主体是学生，设计时必须要从学生的角度出发，要树立一种“学”的课程意识.目标的指向要具体直观，要用学生学习的内在心理过程和外在行为表现相结合的语言来描述，即用学生熟悉的、动作指向明确的语言进行表述.不要笼统地使用“了解”、“理解”、“掌握”等术语，而多用“知道”、“说明”、“举例”、“解释”、“比较”、“推测”、“整理”等词语.关于如何准确具体的设计学习目标，我们将在下一章中进行了论述.（2）针对性要强.有两方面的要求，一是要针对学生的“最近发展区”来设计学习目标，要准确把握学生的实际发展水平与需要达到的目标之间的差距，使所设计的学习目标既要以学生已有的知识经验为基础，又是学生经过努力能够达到的；二是学案中每一内容的确定，每项活动的安排，都要针对某一具体学习目标的达成来设计.（3）要有目标意识.进行学案设计时，设计者心中必须要有目标意识，真正把学习目标作为学习材料选择、学习活动安排、学习方法指导以及学习评价设计的重要依据或准则.只有教师具有强烈的目标意识，在设计时，才能把这种目标意识体现在学案的字里行间，也才能由此而激发学生的目标意识，也才能使学习目标真正成为学生学习活动的指南.在实际的学案设计中，我们发现有的学案把学习目标作为一种摆设，有的学案根本就没有学习目标，从而导致学习内容设计随意性大、学习活动指向不明、学习重点不明确等弊端，甚至有的学案所设计的学习内容和学习活动与学习目标相脱离，从而严重影响了学案设计的质量.学案设计中贯彻启发指导原则时有以下几点要求：1）认真钻研教材和分析学情.只有深入钻研理解教材，认真全面的分析学情，才能真正把握教材，才能知道那些内容或问题是学生学习的重点、难点和薄弱点，在学案设计时，才能针对这些学习要点进行有效的铺垫、提示、点拨与引导.例如，对于学生学习新知时需要用到原有的某一知识，但由于间隔时间较长，大多学生已遗忘，在学案设计时就要在“学习准备”中启发指导学生去进行复习.2）启发指导要恰当和适度.恰当是指要根据教材内容和学生的实际，在学生需要时进行适时的点拨、指导.适度包括两个方面的内容：一是指数量要适度，不要过多，过滥，学生自己通过思考能解决的问题不要提示和指导；二是指提出启发思考的问题难度要适度，所提出的问题对于学生而言要具有潜在的心理意义，使多数学生在通过一定的思考与探究后能够获得答案或发现结论.3）启发性问题要简明、生动、有趣、富有价值.首先，提出的问题要明确具体，便于学生理解和操作；其次，所提出的问题要能够激发学生的“三欲”，即求奇欲、求知欲和求识欲；第三，问题的叙述形式要生动、新颖、亲切；第四，在内容上要有价值，要围绕学习的重难点设计问题，并能够较好地体现数学的科学价值、应用价值、文化价值和美学价值等.4）启发性问题要有挑战性.主要体现在两个方面：一是提出的启发问题要在学生思维的“最近发展区”内并有一定的难度，要使学生意识到，要解决学案中设计的问题，不看书不行，看书不细致也不行，光看书不思考不行，思考不深不透也不行；二是设计的问题要有一定的开放性，要有利于培养学生的问题意识、探究意识和创新意识；在思维能力上，要能够促进归纳思维与演绎思维和谐发展.特别是要加强归纳问题的设计，我国学生创新能力弱，主要就弱在归纳能力上.设计时要体现“开而弗达”的思想，呈现给学生的不是结果，而是能够生成结果的事实与现象；给他们提供面对事实或现象的机会，使他们能够在宁静的观察思考中，做出大胆的归纳猜测.2循序渐进原则循序渐进原则，是指学案的设计要结合数学学科的逻辑结构和学习者的身心发展规律，有次序、有步骤、由易到难地逐渐进行，从而使学习者能够有效的掌握系统的知识技能，促进身心健康的向前发展.循序渐进原则是数学知识发展的客观要求，也是学习制约于学生身心发展规律的反映.我们知道，数学知识具有严密的逻辑结构体系，知识的前后顺序不能颠倒.学生要学习系统的数学知识，就必须遵照数学知识的逻辑顺序，掌握其基本结构.否则，就会逻辑混乱，杂乱无章；就会只见树木不见森林，看不到知识的全貌，从而造成学习上不必要的困难，还可能使数学学习异化为断章取义和死记硬背.学案设计中贯彻这一原则时有以下几点要求：（1）要把握好三个“序”1）学习内容的序.一般来说，课程标准和教科书体系与相应年级学生认识能力、掌握知识的顺序是相适应的.因此，设计者在设计学案前必须认真钻研教材和课程标准，掌握好教材内容的体系以及知识之间的内在联系，并把它们体现在学案材料的组织编排之中，使得学案中的知识保持应有的逻辑关系和结构体系（虽然当今的数学教学不再追求严密的形式化系统，但必要的逻辑结构还是应该要的）.2）学习活动的序.荷兰著名数学家和数学教育家弗莱登塔尔指出：“学校中的学习不是那些封闭的系统，而是作为一项人类活动的数学，是从现实生活开始的数学化过程.”既然数学是人类的一项活动，那么数学学习活动就必然要遵循人们的认识规律：实践认识再实践在认识.学案作为学习活动的方案，在设计时应该坚持更为实践的态度，尽可能地让学生经历知识的产生与形成过程，使他们在实践中发现提出问题，并且在实践中探寻规律和结论.从数学思维的角度来讲，就是先开展归纳活动，再开展演绎活动.3）学习过程的序.一般而言，任何学习过程都需经历先模仿熟悉、再理解掌握、最后达到灵活运用这三个阶段.在学案设计中，不要一味贪多，急于求成，要善于把教材内容进行分解，化难为易，化繁为简，从学生已有的知识经验出发，由易到难、由浅入深、由近及远地安排各个学习环节，使学生的学习能够真实的循序渐进、拾级而上.（2）把握好设计的层次性1）知识内容设计的层次性整体上看，学案体现了一个相对完整的学习过程，完成了学案中的学习内容，就完成了一个学习循环周期：课前课中课后.这一点，我们在第一章中曾讨论过.课前学习主要是一种准备性的学习，所要达到的是“最近发展区”的前端水平，相应的学习内容应以梳理旧知识和直观感受事实性的新知识为主.课中学习主要是一种师生互动的学习，所要达到的是“最近发展区”的后端水平，学习内容应以概念性知识与方法性知识为主.课后学习主要是一种反思拓展性的学习，其目的是使学习达到“后发展区”的水平，使学生对学知识的意义与价值所评价与认识，因此，设计是应以价值性知识为主.这样的设计可以使学生的学习，不但在知识层面上经历了一个由低到高的过程，即从事实性知识，到概念性知识与方法性知识，再到价值性知识，而且在思维层面上也经历了一个由低到高的过程，即从感性思维水平，到理性思维水平，再到辨证思维水平.2）问题设计的层次性“问题是数学的心脏！”问题是学案构成的核心要素之一，从一定角度讲，问题也是学案的心脏.一个好的数学学案应该体现“问题驱动”的教学原理，应以不同层级的问题作为学生学习、探究的导向以及学习进程的标志.因此，问题设计的层次性是学案设计必须要处理好的一个问题.在实际设计中，我们把学案中所涉及到的问题（包括习题）分成了由低到高的六种类型：）识别性习题、程序性习题、）变式性习题、应用性问题、）拓展性问题和情境性问题（详见本书第七章）.这是分类是针对学案整体而言的，若对于学习活动而言，则常常将问题设计成“问题串”的形式.为了提高“问题串”的层次性，可根据澳大利亚教育心理学家毕哥斯(J.B.Biggs)和科林斯(K.F.Collins)所提出的SOLO分类理论进行“问题串”的设计.跟据SOLO分类理论可将“问题串”中的问题设计成如下四种水平：单一结构水平问题：只使用一个相关的线索或资料，就得出问题的答案；多元结构水平问题：直接利用问题中两条或更多的相互独立的信息，可得出问题的答案；关联结构水平问题：只有把问题各个的信息整合为一个有机整体，才能够得出答案； 拓展抽象水平问题：解答时，需要从问题所蕴涵的信息中提取抽象的一般原理.第二部分 各种类型学案的设计一、 数学概念的学案设计1. 概念学习的学习过程许多教师在教学中都存在这样的问题大家都知道数学学习概念很重要，也清楚，很多学生在解题中犯一些低级错误、许多成绩优秀的学生常常在简单题上出错，都是由于概念不清而不能自如的运用概念造成的，但在概念教学上却舍不得花时间许多教师在教学中直接给出概念后就急急忙忙将大量的时间用于解题训练上，他们也许认为概念很简单，直接给予学生就可以了实际上“知识和概念是不能直接给予学生的我的知识或者概念也很难转化为他的的知识或者概念，根本原因在于每个人的知识都必须有一个形成和发展的过程”季萍著叫什么知识-对教学知识论基础的认识M北京：教育科学出版社，2009：233因此，要学好数学概念，就必须亲历概念形成的过程，在“再创造”的过程中理解数学概念的本质，体会蕴含在概念中的思想方法一般地，数学概念学习要经历以下几个基本过程：操作想象概括固化（逗留）应用结构第一，操作指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个个客观的数学对象的过程操作就是让学生“回到事实面前”，通过观察、实验、尝试等活动，为概念的形成积累丰富的感觉经验操作活动是学生理解概念的一个必要条件，操作活动可使学生亲身体验和感受概念的直观背景与概念间的关系操作可分为具体行为操作和思维操作例如，在学习等差数列的概念时，先让学习者观察概括几个数列前几项的特点，所进行的学习活动就是一种思维的操作只有学习者经历一定量的操作后，才能形成一定的感性认识，为下一步想象的开展提供直观基础和感性经验因此，在数学概念的学案设计中，要提供给学生一定量的隐含概念本质特征的事实材料，并提出具体的操作要求，让学生主动的、有目的的开展丰富多样的行为操作和思维操作活动第二，想象想象是对操作过程的压缩与内化想象的前提是具体事例“共同性印象”的形成，而“共同性印象”的形成的前提是一定量直观感知经验的积累当“操作”经过多次重复而被个体熟悉后，就可以引起联想或想象而转化为内容的心理操作活动（即产生“内观”）学习者就可以直接想象这个“操作”，而不需要通过外显的直观操作过程，他可以在头脑中实施这个操作过程进而，他还可以对这个过程进行逆转以及与其它程序进行组合例如，通过对数列前三项2，4，6的观察，可以想象得出第四项为8，第10项为20，等等因此，想象是在操作的基础上向抽象跨出的第一步在以往的概念教学中，由于缺少了“想象”这一环节，使得所形成概念或者只停留在感觉经验的层面上，或者只是一些纯粹的抽象符号或术语在学案的设计中一般通过设计一些思考问题来帮助学生进行过反思、联想和想象如案例5-3中，在操作活动1、2、3之后，为了引导和激发学生进行想象，可设计一些思考下的问题在操作活动1、2后可设计反思性问题：字母x、n分别表示什么？字母有何作用？在操作活动3后可设计反思性问题：（1）在活动1，2，3中各问题的答案是由什么组成的？从中你能否发现“字母”可以表示什么？（2）这些答案的共同特点是什么？（3）你想象出一些类似的式子吗？ 第三，概括在经历“操作”与“想象”两个过程后，结合对具体操作事实材料的观察思考和想象得出的具体事例，再通过“由表及里，去伪存真，由此及彼”的反复运作过程，归纳抽象出概念的本质特征，由此而得出科学的概念例如，在对数列（1）2，4，6，；（2）0，5，10，15，；（3）1，-1，-3，-5，等进行观察操作与想象类似数列后，通过比较与区分，便可以概括出这类数列的共同特征：从第二项起，每一项与前一项的差都是常数，在此基础上给出等差数列的定义可以说是水到渠成的事了又如，在案例5-3中，通过学生对活动1、2、3的特点、反思和想象的概括，可以抽象出所得答案与所想象的式子的共同特征：“它们含有加、减、乘、除、乘方等运算”；“都含有字母”；“ 字母可以表示具有一般性的数”；“含有字母的式子可以表示一般规律、运算律以及一些事物的数量关系”等在此基础上，提出代数式的概念就比较自然第四，固化（逗留）大家应当明白“概念不能一次性学会”季平叫什么知识-对教学知识论基础的认识M北京：教育科学出版社，2009：233给出了概念的定义并不意味着概念就形成了，而只是概念形成的开端因此，在给出概念的定义之后，不要急忙往前走，应在概念的定义处作一些逗留因为概念的内涵具有丰富性，但这些丰富性是抽象的，它们并不会自动地显现出来，只有专心地“逗留”其面前，以安宁的心态对待它，概念的内在丰富性才可能显现出来，由此也才能丰富对概念的理解和认识根据现象学的观点，“逗留”就是“回到事实本身”的一种具体方式季平叫什么知识-对教学知识论基础的认识M北京：教育科学出版社，2009：277但遗憾的是，教学中教师并不逗留在概念面前，带领学生从各个不同的角度和层次去审视概念，而是急忙进入到“题海”训练之中，就如现象学家海德格尔所说的那样：“放任自己从一个事实到下一个事实，追逐不停”，从而割断了学生探究和感受概念丰富性的道路逗留，不是停下来休息，而是对给概念进行进一步的挖掘与分析、对概念的形成过程进行回味、思考概念定义语句的特点和含义，通过正反例析和各种不同角度的审视，以达到内化概念、固化概念和认识概念的目的如，在给出等差数列的概念后，要审视、分析定义的语句特点和关键词的含义，结合正例与反例的辨析，使学生从各种角度挖掘和感受等差数列概念的丰富性我们用下面的例子来加以说明例：判别以下数列是否为等差数列，若不是请说明理由（1） -1，3 ，6，9， 12 ，15 ，18；（2） 2， 4， 6， 8，11，14，17，20，；（3） 2，3，2，3，2，3，（4） 10，7，4，1，-2，-5，数列（1）从第三项其每一项与前一项的差都是常数3，但第二项与第一项的差却是4，不符合定义中的“从第二项起”；数列（2）的前四项和后四项中，每一项与前一项的差都是常数，但不是同一个常数，由此可使学生体现或感受到“每一项与前一项的差是常数”这一本质特征的真正含义；数列（3），从第二项起，每一项与前一项的和是常数，而相应的差不是常数只有数列（5）符合要求是等差数列通过这样正反几个例子的辨析，使学生感受与理解了定义中“从第二项起”，“每一项与前一项的差”、“都是同一个常数”等关键词的真正含义，深化了对“等差”这一本质特征的认识；明白了为什么叫“等差数列”而不叫“等和数列”、“等积数列”的道理同时还可以引发学生去进一步联想和思考有没有“等和数列”、“等积数列”等问题第五，运用是指通过运用概念去分析解决具体的问题，以进一步加深对概念的理解，进而达到活化概念理解水平当然，在“逗留（固化）”时也在运用概念去辨析真伪，但主要目的是为了认识和理解概念的本质特征和定义本身的特点与含义而这里的运用主要是运用概念解释实际想象和分析解决具体的问题，使概念内化为学生的认识的一种观念，成为他们解决问题的工具或经验第六，结构是指一个概念通过“操作”、“想象”、“运用”以及与相关概念、原理的联系所形成的一种在个体头脑中的认知框架，它可以用于解决与这个概念相关的问题“结构”既是一个静态的结果，也是一个动态的过程，需要在长期的学习活动不断丰富和完善起初的结构包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，通过不断应用逐步建立起与相关概念、原理、事物、背景的联系，在头脑中形成一种具有丰富性的认知结构在学案设计中，通过操作、想象、概括、固化（逗留）、运用的学习环节的设计，积累丰富的基本活动经验，深化对概念含义及其价值的理解和认识，广泛地与其他概念建立联系，以形成清晰、稳定、有效的认知结构我们提出概念学习的六个基本过程，是对数学概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”进行切实分析的基础上提出的，比较真实的反映了学生学习数学概念过程中的思维活动其中的“操作”阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“操作”让学生亲身体验与感受概念的直观背景以及概念产生的最初形态“想象”阶段是学生对“操作”活动过程进行压缩、内化的过程，是由直观感知向概括抽象过渡的必然环节“概括”阶段是通过对“操作”、“想象”中所形成的各种具体属性进行区分、抽象与综合，认识到概念的本质属性，并对其赋予形式化的定义及符号表示，使其达到精致化而成为一个具体的对象实体，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动“固化”、“运用”阶段是通过正反例析和运用概念分析问题和解决问题的过程，进一步巩固和加深对概念本质特征的理解以及概念内涵与外延的认识“结构”阶段的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含典型特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式2从现象学看概念学习的基本过程现象学认为，当感知一个对象时，一般要经历“个别的看”、“想象的看”和“一般的看”季萍叫什么知识-对教学知识论基础的认识M 北京：教育科学出版社，2009：136-137我们在本书第一章第六节“学案的理论思考-知识的学习形态”中从现象学的“三看”分析了学习者知识学习的过程，将知识经验的形成划分为五个阶段：“个别的看”、 “重复的看”、 “想象的看”、 “一般的看”和“认识的看”现在我们运用这五个阶段来分析概念学习的基本过程概念学习过程的个别“操作”就是让学生直接观察经验中的事物，获得的对事物特征的直观感受（经验）这是“个别的看；为了揭示概念的本质特征只看个别的实例是不够的，还要多看几个同类的事例，使学生在积累直观感受的过程中，聚焦经验中事物的共同特征（变化中不变的东西），这就需要“重复的看”（形成印象性概念）；在重复看几个同类事例后，就可以超越视界，想象出同类的事物，在大脑中形成一种事物的“内观”（可以说是经验的一种复制）这就是“想象的看”（形成共同性概念）；当学习者将所有看到的与想象的事物都看成是某个“一般下的个别”，也即形成一种关于事物的“本质直观”（经验基础上的知识），在此基础上抽象概括出概念的本质属性而给出概念的定义，这个过程就是“一般的看”（形成抽象性概念）获得概念后在“逗留”与“运用”阶段，深化巩固概念，用概念的“本质直观”去看世界，去解释、寻找和创造出更多的同类事物，并通过反思形成概念知识结构体系，这就是“认识的看”（ 维果斯基指出：“当一系列被抽象了的特征重新综合时，当用这种方法获得的抽象的综合成为主要的思想形式时（儿童借助这种抽象的综合理解和认识他周围的现实），才会出现概念。”余震球维果斯基教育论著选M北京：人民教育出版社，2005：172就是说，当学生在“一般的看”的过程中抽象出概念后，并不意味着他们就获得了概念，只有当运用概念的定义去解释或解决相关问题时，他们才能感受到概念的真实存在；只有当概念的定义成为学生知识经验的一部分、成为一种内在的观念时，才表明他们获得了概念）其中，“操作”是向外看，“想象” 与“概括”是向内看，而“逗留”、“运用”和“结构”是内外一致的看这种“内外一致的看”的知识，源于经验，又高于经验，最终又为经验服务，这才是真正活的知识3. 概念学习学案的类型与设计（1） 概念形成学习学案的设计步骤给出操作材料引导分析属性-抽象归纳概括-正反例析固化-变式应用活化-反思形成结构（2） 概念的同化学习学案的设计过程概念的同化学习有两种类型：一是下位概念的学习；二是没有上下位关系的概念的学习.前者学案的设计过程与环节为：复习上位概念-给出分析材料-剖析属与种差-给出概念定义-正反例证固化-变式应用活化-反思形成结构.后者学案设计的过程或环节为：前者学案的设计过程与环节为：复习先关知识-给出概念定义-建立相互联系-正反例证固化-变式应用活化-反思形成结构.如函数定义域的概念，就是在复习函数定义的三要素的基础上直接给出定义的. 案例9：一元二次方程与一元二次方程的解的概念学习学案设计1一元二次方程的概念观察思考： 观察“学习准备”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程吗？（ ）含有 个未知数，未知数的最高次数为 ，化简整理成右边为零的形式后得 ；观察“学习准备”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程吗？（ ）含有 个未知数，未知数的最高次数为 ，化简整理成右边为零的形式后得 ；观察“学习准备”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程吗？（ ）含有 个未知数，未知数的最高次数为 ，化简整理成右边为零的形式后得 ；思考： （1）学习准备中的“做一做”得出的方程、有什么共同特点呢？温馨提示：观察方程是什么形式的方程，方程中未知数的个数、次数和化简后的形式几个方面进行。 （2）你能举出几个具有这种特点的方程吗？ 。归纳概括：我们把具有上述特征的方程叫做一元二次方程。请你给一元二次方程下一个定义： 。（链接2）注意：我们把（其中、为常数，且）称为一元二次方程的一般形式。二次项、一次项、常数项分别为 、 、 。二次项系数、一次项系数分别为 、 。 想一想：一元二次方程的定义中的关键词是什么？一元二次方程的特征是什么？巩固应用：将下列方程整理后判断是否为关于的一元二次方程，若是，指出它的各项系数。（ ） ( ) （ ） （ ） （ ） ( ) 解后反思：判断一个方程是否为一元二次方的步骤是什么？例1 当满足什么条件时,方程（这里没有方程！）是关于的一元一次方程； 当满足什么条件时,上述方程才是关于的一元二次方程思路启迪：一元二次方程的条件是什么？解：解后反思：解决本题的关键是什么？用到了什么数学思想和方法？变式练习：当取何值时，关于的方程是一元二次方程；当取何值时，上述方程是一元一次方程。2一元二次方程的解（或根）请回忆什么是方程的解？你能否由此得出一元二次方程的解的定义？请写出你得出的定义： 叫做一元二次方程的解。 的方程的解也叫做方程的根 思考：你能类比一元一次方程的解的定义给一元二次方程的解下定义吗？巩固应用：一元二次方程的解是（ ） A . =-5 B. =1 C. =5或-1 D. =-5或1 解题反思：判断一个数是否为一元二次方程的解的关键是什么？所用的方法是什么？ 例2 关于的一元二次方程有一个解是0，求m的值.思路启迪：由已知课联想到什么？要求m的值的需要得到一个什么？解： 解后反思：解答本题的关键是什么？要求某个字母的值，一般都要转换为什么问题来解决？这里体现了什么样的数学思想？变式练习： 当为何值时，关于的一元二次方程（1）有一根为0； （2）有一根为-1.三、学习反思： 1.本节课我们学习了那些知识？如何判断一个方程是一元二次方程？ 2.在利用概念解题的过程中用到了那